Lösungen zu Übungsaufgaben Serie 2

Hochschule für Wirtschaft, Technik und Kultur Leipzig (FH) Fachbereich Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften Herr Dr. R. Laue

Wirtschaftsmathematik

Lösungen zu Übungsaufgaben Serie 2

1. a) x=a+ (1−a)² =a+1−a .

Für a≤1ergibt sich (wegen 1−a≥0)x=a+1−a=1, für a>1 hingegen x=a−(1−a)=2a−1.

b) = − + =

+

−

+

−

= +

−

−

− +

−

= ^{−16 −16}

2 1 2 1

3 1 3 1 2

1 2

1 3

1

) ( ) lg(

) ( ) (

) ( ) lg( ) lg(

) lg(

)]

)(

lg[(

lg u v u v

v u v u

v u v v u

u v

u v

u v u

x

6 2 2

6 1 2

2 1

) lg(

v u x v

u

−

=

⇔

−

=

−

c) Quadrieren: x+2+ 2x+7=16 ⇔ 2x+7=14−x. Nochmaliges Quadrieren:

2x+7=(14−x)²=196−28x+x² ⇔ x²−30x+189=0. Lösung der quadratischen Gleichung:

x=15± 225−189=15±6, x₁=9, x₂=21. Probe Nur x1 ist Lösung der Ausgangsgleichung.

d) log₅(log₂(log₄x))=0 ⇔ log₂(log₄ x)=1 ⇔ log₄x=2 ⇔ x=4² =16. 2. a) L = (2 – ε, 2 + ε)

b) Nullstellen von f(x)=x²−4x+3: x1 = 1, x2 = 3

Fall 1: x²−4x+3≥0⇔x≤1∨x≥3 (Fallvoraussetzung)

x²−4x+3=x²−4x+3≤x−2⇒x²−5x+5≤0, d. h. ₂¹(5− 5)≤x≤₂¹(5+ 5) zusammen mit Fallvoraussetzung: L₁=[3,¹₂(5+ 5)]

Fall 2: x²−4x+3<0⇔1<x<3 (Fallvoraussetzung).

x²−4x+3=−x²+4x−3≤x−2⇒x²−3x+1≥0, d. h. x≤₂¹(3− 5)∨x≥₂¹(3+ 5) zusammen mit Fallvoraussetzung: L₂ =[¹₂(3+ 5),3)

Lösungsmenge insgesamt: L=L₁∪L₂=[₂¹(3+ 5),¹₂(5+ 5)]

3. A(1,2,…,10)=5,5, G(1,2,…,10)=4,5287, H(1,2,…,10)=3,4142 A > G > H

4. a) 10 3 4 7 5 4200

6 ) 3 2 (

5 6 7 8 9 10 4!

3!

3!

10!

, 576 6 12 8

! 3 ) 3 4 ( 7! 8 2!

3!

4!

! 8 , 20 4

! 5 3

!

5 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

= ⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

⋅

=

b) 252

5 4 3 2 1

6 7 8 9 10 5 10 4 9 5 9 , 2 28 1

7 8 2 8 6 8 , 2 4950

99 100 2 100 , 1 100 100 99

100 =

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

= ⋅









=









+









=

⋅

= ⋅









=









⋅ =

=









=









=









c) (a+b)⁶ =a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶,

8 7 6 2 5 3 4 4 3

5 2

6 7

8

8 7 6

2 5

3 4

4 3

5 2

6 7

8 8

16 112

448 1120

1792 1792

1024 256

2 8 4

28 8

56 16

70 32

56 64

28 128 8 256 ) 2 (

y xy y x y x y x y

x y

x y x x

y xy y

x y

x y

x y

x y

x y

x x

y x

+

− +

− +

− +

−

=

+

⋅

−

⋅ +

⋅

−

⋅ +

⋅

−

⋅ +

⋅

−

=

−

5. a) a₂ =a+(2−1)d=2+5=7, a₁₂=2+11⋅5=57, a₅₅=2+54⋅5=272,

5) 87

2 2 5 ( 6 2 )

1 ( 6 6 , 9 7 2 ,

2 _{2 6}

1 − = + ⋅ =

+

=

= +

=

=

=a s s a d

s

b) a₂ =aq²⁻¹=0,25⋅2=0,5, a₅ =0,25⋅2⁴=4, 0,25 31 7,75 1

2 1 252 , 1 0 1

, 75 , 0 5 , 0 25 , 0

5 5 5

2 = ⋅ =

−

−

=

−

−

=

= +

=

q aq s s

6. Der Preisindex 2005 sei P1, der im Jahr 2006 sei P2 usw., der Preisindex 2015 ist dann P11

a) Weil 1 2,5% 1,025 konst.

1

=

= +

=

n− n

P

P , bilden die Preisindizes eine geometrische Folge mit q=1,025. b) P₁₁ P₁=P₁q¹¹⁻¹ P₁=q¹⁰ =1,025¹⁰=1,28008. Der Zuwachs beträgt nach 10 Jahren rd. 28%.

c) Nach n Jahren möge sich der Index verdoppelt haben, also P_n=P₁qⁿ⁻¹=2P₀. Daraus ergibt sich 07

, 025 29 , 1 ln

2 1 ln 2 log

1+ = + =

= _q

n . Der Index hat sich also nach 28 Jahren (fast) verdoppelt.

7. Strecke in km, die der LKW zurückgelegt hat, wenn der PKW startet: 90/60 * 20 = 30 LKW: 90 km in 60 min. PKW: 105 km in 60 min.

x km in x * 60/90 min. (30 + x) km in (30 + x) * 60/105 min.

x * 2/3 = (30 + x) * 4/7 bzw. 7 x = 6 * (30 + x) bzw. x = 180

Vor B: 250 – 30 – 180 = 40. Der PKW überholt den LKW 40 km vor B.