Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH) 26.4.2007 Fachbereich Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften
Prof. Dr. G. Laue / Prof. Dr. T. Martin Abgabe: 10.5.2007
Finanzmathematik II
Beleg 2
1. Gegeben sei das folgende 1-Perioden-Modell mit zwei Finanzgütern und drei möglichen Ereignissen:
=
=
=
=
, falls ,4 4
, falls ,6 6
, falls ,8 8 ) 1 ( , 5 ) 0 ( , falls ,4 4
, falls ,5 5
, falls ,6 6 ) 1 ( , 5 , 4 ) 0 (
3 2 1 2
2 3 2 1 1
1
ω ω ω
ω ω ω
S S
S S
r = 10%.
a) Bestimmen Sie die Menge aller risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaße!
b) Ist das Modell arbitragefrei?
2. Wir betrachten jetzt im Modell aus Aufgabe 1 den Claim X mit
=
3 2 1
falls ,1 1
falls ,2 2
falls 3 , 3 ) (
ω ω ω
X ω
a) Bestimmen Sie den fairen Preis s(X) dieses Claims mit Hilfe des Ergebnisses aus Aufgabe 1!
b) Ist dieser Claim absicherbar?
c) Bestimmen Sie die Menge aller Hedges zu diesem Claim? Gibt es einen Hedge ohne Benutzung der risikolosen Anlage?
d) Berechne Sie noch einmal den fairen Preis s(X) dieses Claims, diesmal unter Benutzung der Hedges!
e) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Absicherbarkeit eines beliebigen Claims in diesem Modell an!
3. Ein 1-Perioden-Finanzmarktmodell enthalte eine Aktie (N = 1) mit dem bekannten Wert A0 zum Zeitpunkt t = 0 und dem zufälligen Wert A1 zum Zeitpunkt t = 1. Nur zwei Fälle sind möglich (K = 2):
−
=
p dA
p A uA
1 it heinlichke mit Wahrsc
, it heinlichke mit Wahrsc
0 0 1
mit 0 < p < 1. Außerdem werde die risikolose Anlage mit Zinssatz r verzinst und es gelte u > 1 + r > d > 0.
Dieses Modell ist arbitragefrei und das risikolose Wahrscheinlichkeitsmaß Q lautet d
u r Q u
d u
d Q r
− +
−
=
−
− +
= (1 )
) ( ) , 1 ) (
(ω1 ω2 (vgl. ÜA Serie 1, Nr.2).
a) Warum ist dieses Modell vollständig ?
b) Bestimmen Sie den fairen Preis s(X) eines beliebigen Claims X !
c) Wie lauten die fairen Preise s(XP) für einen Put bzw. s(XC) für einen Call auf die Aktie bei t = 1 zum Ausübungspreis e? Unterscheiden Sie dabei die Fälle e≤dA0, dA0<e<uA0 und uA ≤e
0 !
d) Stellen Sie die Abhängigkeit von s(XP) bzw. s(XC) von e grafisch dar!
b. w.
4. Gegeben sei ein arbitragefreies 1-Peroden-Modell.
Wir bezeichnen mit M die Menge aller risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaße und mit H die Menge aller absicherbaren Claims. Für einen beliebigen (nicht notwendig absicherbaren!) Claim X definieren wir
( ) inf{ Q( 1) , }
s+ X = E Y B Y∈H Y≥X (sog. upper hedging price)
( ) sup{ Q( 1) , }
s− X = E Y B Y∈H Y≤X (sog. lower hedging price)
a) Warum ist diese Definition korrekt? Dazu ist zu prüfen, ob der upper / lower hedging price tatsächlich unabhängig vom konkreten Maß Q∈M ist.
b) Was gilt für den upper / lower hedging price in dem Fall, wenn X absicherbar ist?
c) Beweisen Sie: Für jedes Q∈M ist s−(X)≤EQ(X B1)≤s+(X).
Anmerkung: Diese Ungleichungskette besagt, dass für jeden (auch nicht absicherbaren!) Claim der faire Preis zwischen lower und upper hedging price liegen muss. Welchen Wert er genau annimmt, hängt von der Wahl von Q ab. Man kann zeigen (ist aber schwieriger), dass tatsächlich jeder Wert zwischen lower und upper hedging price angenommen wird, wenn man das risikoneutrale W.-Maß Q nur geeignet wählt.
d*) Bestimmen Sie s+(X) und s−(X) im Beispiel 2.2 (vgl. Seminar 1) für eine Put-Option mit Ausübungspreis e=399 !
Hinweis: Formulieren Sie die Suche nach einem absicherbaren Claim Y mit Y≥X zur Realisierung des upper hedging price als lineare Optimierungsaufgabe!
*) = Lösung ist etwas aufwändiger
