Finanzmathematik II
Seminar 4: Optionen im 1-Perioden-Modell Wiederholung:
Claim: Zgr. X (bzw. stochastischer Prozess (Xt)t∈T mit T = {1})
Interpretation: X ist eine Zahlung von zufälliger Höhe, die dem Besitzer bei t = 1 zusteht.
Der Kauf/Verkauf der Option erfolgt früher, also bei t = 0.
Beispiel: Der Erlös aus dem Verkauf einer Aktie bei t = 1 ist ein Claim.
Gegeben sei ein bestimmtes Finanzgut (z. B. Aktie), das sog. Basispapier (engl. underlying).
Dies sei unser Finanzgut Nr.1, also S1(t) dessen Preis zum Zeitpunkt t.
Kaufoption: Der Besitzer hat das Recht (nicht die Pflicht!), das Basispapier bei t = 1 (engl. Call) (Ausübungszeitpunkt) zu einem fest vereinbarten (also nicht zufälligen!) Ausübungspreis (engl. strike price) e zu kaufen.
î jeder Call ist ein Claim mit X =(S1(1)−e)+ =max{S1(1)−e ,0}
Verkaufsoption: Der Besitzer hat das Recht (nicht die Pflicht!), das Basispapier bei t = 1 (engl. Put) (Ausübungszeitpunkt) zu einem fest vereinbarten (also nicht zufälligen!) Ausübungspreis (engl. strike price) e zu verkaufen. Das ist mit Leerverkauf auch dann möglich, wenn er das Basispapier vorher gar nicht besitzt.
î jeder Put ist ein Claim mit X =(e−S1(1))+ =max{e−S1(1),0}
1. Wir betrachten ein 1-Perioden-Modell mit 2 Finanzgütern, einer Aktie und einer Option (Call / Put) auf diese Aktie zum Ausübungszeitpunkt t = 1 mit Ausübungspreis e.
a) Stellen Sie den Wert XC =S2C(1) des Calls bzw. XP =S2P(1)des Puts bei t = 1 in Abhängigkeit vom Preis S1(1)der Aktie grafisch dar (sog. Pay-off-Diagramm)!
b) Welche Beziehung besteht zwischen Call-Preis, Put-Preis, Ausübungs- und Aktienpreis bei t = 1?
c) Geben Sie den Gewinn und den diskontierten Gewinn der Option (also eines Portfolios, das nur aus 1 Option besteht) in Abhängigkeit vom Aktienpreis an, wenn der Optionspreis bei t = 0 genau c=S2C(0) beim Call bzw. p=S2P(0) beim Put beträgt! Stellen Sie die Abhängigkeit grafisch dar! Ab welchem Aktienkurs ist der Gewinn positiv?
2. Gegeben sei ein 1-Perioden-Modell mit 1 Finanzgut und K > 1 möglichen Fällen, also Ω =K. B1 = 1 + r sei determiniert.
Nun betrachten wir einen Call und einen Put auf das Finanzgut zum gleichen Ausübungspreis e.
Beweisen Sie:
a) Entweder sind beide Optionen absicherbar oder beide nicht absicherbar.
b) Beide Optionen seien absicherbar und haben die fairen Preise c bzw. p. Dann gilt
r
S e p
c− = − +
) 1 0
1( . (Put-Call-Parität)
S4
3. Wir betrachten Beispiel 2.1 mit einem risikobehafteten Finanzgut.
1 1 1
2
60 9 falls (0) 5, (1)
40 9 falls
S S ω
ω
= =
, r = 1/9.
a) Bestimmen Sie den Pay off XC eines Calls zum Ausübungspreis 5 und den Pay off XP eines Puts zum gleichen Ausübungspreis.
b) Prüfen Sie an diesem Beispiel die Put-Call-Parität bei t = 1!
c) Wenn man weiß, dass der Call bei t = 0 zum Preis von 3/4 gehandelt wird, wieviel müsste dann der Put kosten?
