Gegeben sei die Menge U

Studiengang Kommunikationsinformatik (Master) Prof. Dr.–Ing. Damian Weber

Sicherheit und Kryptographie – ¨ Ubung 2

Aufgabe 1 (Gruppe U

)

Gegeben sei die Menge U

als

U

:= {x ∈ R|x

= 1}.

a) Zeigen Sie, daß (U³,·) eine Gruppe ist.

b) Berechnen Sie die Elemente der Gruppe explizit.

c) Geben Sie die Multiplikationstafel der Gruppe an.

d) Berechnen Sie die Ordnung aller Gruppenelemente.

Aufgabe 2 (Gruppe U

)

Gegeben sei die Menge U

als

U

:= {x ∈ C|x

= 1}.

a) ¨Uberzeugen Sie sich (ohne Rechnung), daß auch (U8,·) eine Gruppe ist.

b) Raten Sie vier Elemente vonU8und begr¨unden Sie, daß diese zuU8geh¨oren.

c) Seiξ eine L¨osung vonx²=i, wobeiidie imagin¨are Einheit vonC ist. Zeigen Sieξ ∈U⁸. d) Raten Sie die restlichen Gruppenelemente von U⁸ und begr¨unden Sie, daß diese zu U⁸

geh¨oren.

e) Berechnen Sie die Ordnung aller Gruppenelemente.

Aufgabe 3 (Nullstellen von Polynomen)

Wenn ein Polynom vom Grad n

f (X ) := X

+ a

X

+ . . . + a

X + a

in einem K¨orper n Nullstellen ξ

,. . . , ξ

besitzt, dann l¨aßt es sich in Linearfaktoren zerlegen f (X) = (X − ξ

)(X − ξ

) · · · (X − ξ

).

a) Welchen Wert hat das Produkt aller ξ

? b) Welchen Wert hat die Summe aller ξ

?

c) ¨ Uberpr¨ ufen Sie Ihre Aussagen anhand eines Beispiels f¨ ur n = 2.

d) Welchen Wert hat die Summe aller Elemente aus U

, aus U

, aus U

?

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