October 11, 2013 1
EINF ¨UHRUNG IN DAS MATHEMATISCHE ARBEITEN
zu 3.2 Rechenregeln & Logikregeln
Michael Grosser
Boolesche Algebren:
Kommutativgesetze: a∨b=b∨a a∧b=b∧a
Assoziativgesetze: a∨(b∨c) = (a∨b)∨c a∧(b∧c) = (a∧b)∧c Distributivgesetze: a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) Verschmelzungsgesetze: a∨(b∧a) = a
a∧(b∨a) = a Idempotenzgesetze: a∨a=a
a∧a=a Neutralit¨atsgesetze: a∨0 =a a∧1 =a Absorptionsgesetze: a∨1 = 1 a∧0 = 0 Komplementarit¨atsgesetze: a∨ ¬a= 1
a∧ ¬a Dualit¨atsgesetze: ¬0 = 1
¬1 = 0 Doppelnegationsgesetz: ¬(¬a) =a
Gesetze von De Morgan: ¬(a∨b) = ¬a∧ ¬b
¬(a∧b) = ¬a∨ ¬b Aussagenlogik:
In den obigen Formeln ersetze man die Gleichheit = durch die ¨Aquivalenz⇔ und interpretiere a, b, c als Aussagen sowie 0 und 1 als
”Aussagekonstanten“
ohne Inhalt, aber mit den Wahrheitswerten
”falsch“ beziehungsweise
”wahr“.
EmA: Implikation 11. Oktober 2013 2
Pr¨adikatenlogik:
Seien P(x) und Q(x) Pr¨adikate, die von der freien Variable x abh¨angen, und sei q eine Aussage, die nicht von x abh¨angt. Dann gelten die folgenden logischen Regeln:
(i) ¬(∀x:P(x)) ⇔ ∃x:¬P(x) (ii) ¬(∃x:P(x)) ⇔ ∀x:¬P(x)
(iii) ∃x:P(x)∨Q(x) ⇔ (∃x:P(x))∨(∃x:Q(x)) (iv) ∀x:P(x)∧Q(x) ⇔ (∀x:P(x))∧(∀x:Q(x))
(v) ∀x:q∨P(x) ⇔ q∨(∀x:P(x)) (vi) ∃x:q∧P(x) ⇔ q∧ ∃x:P(x) (vii) (∀x:P(x))⇒q
⇔ ∃x: (P(x)⇒q) (viii) (∃x:P(x))⇒q
⇔ ∀x: (P(x)⇒q) (ix) q ⇒(∀x:P(x)
) ⇔ ∀x: (q⇒P(x)) (x) q ⇒(∃x:P(x))
⇔ ∃x: (q⇒P(x))
Die Beweise der Formeln f¨ur boolesche Algebren und der f¨ur die Aussagenlo- gik erfolgen durch entsprechende Wahrheitstafeln (Theorem 3.1.10 im Buch).
Die pr¨adikatenlogischen Formeln werden durch ¨ubliche Beweise auf Basis der Hausverstandslogik verifiziert (Theorem 3.2.22 im Buch).
