September 30, 2013 1
EINF ¨UHRUNG IN DAS MATHEMATISCHE ARBEITEN
zu 3.2.2.1 Implikation
Michael Grosser
Im Falle der Implikation (Wenn-dann-Aussage) gibt es in der mathematischen Fachsprache Abweichungen vom Alltagsgebrauch und vielleicht auch vom Hausverstand.
Wir illustrieren die Lage mit einer (erfundenen) Bauernregel/B¨auerinnenre- gel:
St¨urmt es im M¨arzen recht wild, dann wird der Oktober gar mild.
Das will besagen:
Wenn der M¨arz st¨urmisch ist
| {z }
p
, dann herrscht im Oktober mildes Wetter
| {z }
q
.
In Formeln der Aussagenlogik: p⇒q.
Wann ist die Bauernregel nun in der Alltagssprache richtig oder falsch? Wir beobachten das Wetter in vier aufeinanderfolgenden Jahren:
M¨arz Oktober Regel
Jahr 1 nicht st¨urmisch nicht mild nicht anwendbar Jahr 2 nicht st¨urmisch mild nicht anwendbar Jahr 3 st¨urmisch nicht mild falsch
Jahr 4 st¨urmisch mild richtig
K¨urzen wir nun st¨urmisch/mild/richtig mit
”1“ ab und nicht st¨urmisch/nicht mild/falsch mit
”0“, dann sieht diese Tabelle (ohne die Jahresspalte) so aus:
M¨arz Oktober Regel
0 0 n.a.
0 1 n.a.
1 0 0
1 1 1
Die mathematische Fachsprache ist nun viel toleranter zur Bauernregel als die Alltagssprache: Sie z¨ahlt die beiden obigen F¨alle
”nicht anwendbar“ ebenfalls als”richtig“ =
”wahr“! Das f¨uhrt manchmal zu merkw¨urdigen Reslutaten und erfordert Umdenken — siehe weiter unten.
EmA: Implikation 30. September 2013 2
Wir sehen uns einige Alltagsbeispiele zur Implikation an:
(1) Physikalisches Gesetz: Wenn ein Topf mit Wasser bei Normaldruck auf 100◦C erhitzt wird, dann beginnt das Wasser zu kochen.
(2) Strafbestimmung: Wenn jemand des Diebstahls ¨uberf¨uhrt wird, dann erh¨alt er/sie eine entsprechende Strafe.
(3) Spielregel: Wenn man im Roulette auf die richtige Zahl gesetzt hat, dann erh¨alt man das 36-fache des Einsatzes.
Implikationen in der Alltagssprache. In der Alltagssprache dr¨ucken
”Wenn p dann q-Regeln“ oft Ursache-Wirkungsbeziehungen ((1)) oder ge- sellschaftlich gesetzte Regeln ((2), (3)) aus. Dabei ist es meist so, dass die Regel im Fall, dass die Voraussetzung p nicht erf¨ullt ist, als
”nicht anwend- bar“ (n.a.) gilt, aber nicht als richtig oder falsch:
p q p⇒q
0 0 n.a.
0 1 n.a.
1 0 0
1 1 1
Im Gegensatz dazu verteilt die mathematische Implikation anjeden der vier F¨alle einen Wahrheitswert (tertium non datur!). Dabei ist sie
1. nett zur Regel:
”richtig“ statt
”n.a.“ in den ersten beiden Zeilen;
2. kalt und ignorant gegen¨uber sachlichen Zusammenh¨angen zwischen p und q. Deren Bedeutung ist ihr egal, es z¨ahlen nur die Wahrheitswerte.
Punkt 2 ist so zu verstehen: Die mathematische Implikation fragt nur
”Ist p erf¨ullt (J/N)? Ist q erf¨ullt (J/N)?“ und vergibt dann an p ⇒ q stur Wahr- heitswerte gem¨aß der Tabelle
p q p⇒q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Das hat allerdings zur Folge, dass die beiden folgenden — auf den ersten Blick ab etwas absurd erscheinenden — S¨atze in der Mathematik als wahre S¨atze gelten (sie entsprechen den ersten beiden Zeilen in der Tabelle):
Wenn 4 = 5 ist, dann ist 7 gerade.
Wenn 4 = 5 ist, dann ist 7 ungerade.
EmA: Implikation 30. September 2013 3
Mit einiger M¨uhe habe ich ein Beispiel einer Wenn-dann-Situation aus ei- nem allt¨aglichen Kontext zusammengestellt, bei dem die Implikation in der Alltagssprache in der Tat genauso gehandhabt wird wie in der Mathematik:
Familienurlaub in der N¨ahe eines Badesees. Ein tr¨uber Tag; die Tochter bet- telt beim Vater, dass er doch mit ihr zum See schwimmen gehen m¨oge. Der Vater gibt das Versprechen ab:
”Wenn morgen die Sonne scheint, dann ge- hen wir zum See.“ Nun k¨onnen am n¨achsten Tag die folgenden vier F¨alle eintreten:
Wetter Tagesprogramm Moral des Vaters Sonne scheint nicht nicht zum See reine Weste Sonne scheint nicht zum See reine Weste Sonne scheint nicht zum See wortbr¨uchig
Sonne scheint zum See reine Weste
Wenn wir hier Sonne scheint/zum See/Vater beh¨alt eine reine Weste jeweils mit”1“ und Sonne scheint nicht/nicht zum See/Vater wortbr¨uchig jeweils mit
”0“ abk¨urzen, erhalten wir genau die Wahrheitstabelle f¨ur die mathematische Implikation:
p q p⇒q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Die drei bin¨aren (zweiwertigen) Variablen
”Wetter“,
”Tagesprogramm“ und
”Anstand des Vaters“ zeigen in diesem Beispiel also denselben Zusammen- hang wie die Wahrheitswerte von p, q und p⇒q in der Aussagenlogik.
Die beiden ersten Zeilen der obigen Wahrheitswertetabelle gemeinsam tra- gen ¨ubrigens eine ber¨uhmte lateinische Bezeichnung: ex falso quodlibet, das heißt:
”Aus Falschem [folgt] was immer man will (also Beliebiges).“ Frei ubersetzt: Wenn sich einmal ein Widerspruch auf dem Tisch liegt, kann man¨ eh gleich aufgeben und jeden Unsinn als wahr bezeichnen.
Genauso tr¨agt das Paar aus der zweiten und der vierten Zeile eine lateinische Bezeichnung:verum ex quolibet, das heißt:
”Wahres [folgt] aus was immer man will (also aus Beliebigem).“ Frei ¨ubersetzt: Wenn etwas eh schon als wahr bekannt ist, dann kann es meinetwegen aus jeder x-beliebigen Aussage gefolgert werden.
