Analysis 3 - Definitionen und Rechenregeln zum Nabla-Kalk¨ ul

(1)

Analysis 3 - Definitionen und Rechenregeln zum Nabla-Kalk¨ ul

PD Dr. B. Rummler

Wir vereinbaren gem¨ aß Standard-Definition die Bezeichnung ∇ f¨ ur den Nabla-Operator, wobei

∇ =







∂

∂x

₁

∂

∂x

₂

.. .

∂

∂x

_n







sei.

Im Sinne der klassischen Matrizen-Multiplikation erkl¨ aren wir den Laplace-Operator 4 durch:

4 :=

n

X

j=1

∂

²

∂x

²_j

= ∇

^T

· ∇

Bem: Alle im folgenden verwandten skalaren Funktionen f (x) , g(x) und vektorwer- tigen Funktionen u(x) , v(x) seinen als hinreichend oft stetig differenzierbar voraus- gesetzt.

Vektor-Produkt und Rotation seien hier nur im Sinne des E

³

, also n = 3, verstanden.

I.) Standard Definitionen im Nabla-Kalk¨ ul sind Gradient, Rotation und Divergenz:

(i) grad f = ∇ f (ii) rot u = ∇ × u (iii) div u = ∇

^T

· u II.) Produkte von Operationen im Nabla-Kalk¨ ul

(i) rot grad f = ∇ × (∇ f ) = 0 (ii) div rot u = ∇

^T

· (∇ × u) = 0 (iii) div grad f = ∇

^T

· (∇ f ) = 4 f

(iv) rot rot u = grad div u − 4 u =

∇ × (∇ × u) = ∇ (∇

^T

u) − 4 u

III.) Produkt-Regeln im Nabla-Kalk¨ ul - Produkte skalarer und vektorieller Funktio- nen

(i) grad (f g) = f grad g + g grad f =

∇(f g) = f ∇ g + g ∇ f

(ii) rot (f u) = f rot u + grad f × u =

∇ × (f u) = f (∇ × u), + (∇f) × u (iii) div (f u) = f div u + u

^T

· grad f =

∇

^T

· (f u) = f ∇

^T

· u + u

^T

· (∇ f)

(2)

Die Ableitungs-(Jacobi-)Matrix u

⁰

hat im Nabla-Kalk¨ ul die Gestalt:

u

⁰

= ∂u

∂x = (∇ · u

^T

)

^T

=







∂u

₁

∂x

₁

∂u

₁

∂x

₂

. . . ∂u

₁

∂x

_n

∂u

₂

∂x

₁

∂u

₂

∂x

₂

. . . ∂u

₂

∂x

_n

.. . .. . . .. .. .

∂u

n

∂x

₁

∂u

n

∂x

₂

. . . ∂u

n

∂x

_n







IV.) Produkt-Regeln im Nabla-Kalk¨ ul - vektorielle Produkte im E

³

(i) grad (u

^T

· v) = u × rot v + v × rot u + ∂u

∂x · v + ∂v

∂x · u =

∇(u

^T

· v) = u × (∇ × v) + v × (∇ × u) + (∇ · u

^T

)

^T

· v + (∇ · v

^T

)

^T

· u

(ii) rot (u × v) = (div v)u − (div u)v + ∂u

∂x · v − ∂v

∂x · u =

∇ × (u × v) = (∇

^T

· v)u − (∇

^T

· u)v + (∇ · u

^T

)

^T

· v − (∇ · v

^T

)

^T

· u (iii) div (u × v) = v

^T

· (rot u) − u

^T

· (rot v) =

∇

^T

· (u × v) = v

^T

· (∇ × u) − u

^T

· (∇ × v)

2