October 1, 2013 1
EINF ¨UHRUNG IN DAS MATHEMATISCHE ARBEITEN
zu 3.2 Einige wichtige Tautologien
Michael Grosser
Der Beweis, dass es sich bei jeder der folgenden Formeln der Aussagenlogik um eine Tautologie handelt, verl¨auft jeweils analog zum Fall der logischen Transposition, der in der Vorlesung behandelt wurde, mit Hilfe einer Wahr- heitstafel.
Wir wollen hier nicht bloß eine trockene Aufz¨ahlung bringen, sondern zu den einzelnen Formeln auch Hintergrundinformationen vermitteln.
1. p∨ ¬p tertium non datur
2. ¬ ¬p⇔p Doppelte Verneinungen fallen weg.
1. und 2. (ebenso wie gewisse weitere Formeln) gelten nicht in der intuitionistischen Logik.
3. ¬(p∧q)⇔ ¬p∨ ¬q
Regeln von De Morgan
¬(p∨q)⇔ ¬p∧ ¬q
Diese ¨außerst wichtigen Regeln sollte man sich unbedingt auch intuitiv, auf der Ebene des Hausverstandes klarmachen:
Wennnichtpundqgilt, also nicht beide gelten, dann bedeutet das, dass mindestens eines von p undq nichtgilt, also dass mindestens eines von ¬p und ¬q sehr wohl gilt, letztendlich also dass ¬p∨ ¬q gilt; und das Ganze auch umgekehrt.
Wenn nicht mindestens eines vonp und q gilt, dann sind sie beide falsch. Damit ist jedoch ¬p∧ ¬q wahr; und das Ganze wiederum umgekehrt.
Auf der Basis von 2. und 3. kann man man mttelsp∧q⇔ ¬(¬p∨ ¬q) beziehungs- weise mittels p∨q ⇔ ¬(¬p∧ ¬q) entweder ∧durch ¬ und ∨ oder umgekehrt∨ durch ¬ und∧ ausdr¨ucken. Auf diese Weise kann man die Aussagenlogik nur mit zwei Junktoren aufbauen (zu ⇒ und⇔ siehe unten).
4. (p⇒q)⇔(¬p∨q)
5. (p⇔q)⇔(p⇒q)∧(q ⇒p)
Mit 4. und 5. k¨onnte man⇔ durch ⇒(und∧) definieren und ⇒wiederum durch
¬ und∨. Insgesamt k¨onnte man damit⇒ und ⇔ alsabgeleitete Zeichen (also als
EmA: Implikation 1. Oktober 2013 2
Zeichen, die durch vorangehend eingef¨uhrte Zeichen ersetzbar sind) in die Aus- sagenlogik einf¨uhren statt als weitere Grundzeichen, wie wir es in der Vorlesung getan haben.
Zusammenfassend w¨urden also jedes der beiden Junktorenpaare ¬,∨ und ¬,∧ gen¨ugen, um alle ¨ubrigen Junktoren dadurch ¨aquivalent auszudr¨ucken. Diese Re- duktion l¨asst sich sogar noch auf die Spitze treiben: Es gen¨ugt sogar ein einzi- ger Junktor, n¨amlich NAND (
”negated and“: p∧q mit dem Wahrheitswerten von
¬(p∧q)), um s¨amtliche anderen ¨aquivalent auszudr¨ucken; siehe Beispiel 3.1.3 und Bemerkung 3.1.4 im Buch.
6. (p⇒q)⇔(¬q ⇒ ¬p) Logische Transposition, auch Kontraposition Die logische Transposition stellt ein h¨aufiges Muster (des Kernst¨ucks eines) indirekten Beweiseseiner Aussage der Formp⇒qdar: Unter der Voraussetzung pnimmt man das Gegenteil der Behauptungq an. Gelingt nun der Beweis von¬p dadurch, dass man ¬q ⇒ ¬p (die transponierte Aussage zu p ⇒ q!) nachweist, dann hat man den Widerspruch p∧ ¬p erhalten. Somit muss die Annahme ¬q falsch und die Behauptungq damit richtig sein.
7. ¬(p⇒q)⇔p∧ ¬q
Mit dieser Formel f¨ur die Negation einer Implikation finden wir best¨atigt, dass man ein Gegenbeispiel bringen muss, um eine Implikation zu widerlegen (das heisst, als falsch zu erweisen): Eine Implikation p ⇒ q ist n¨amlich genau dann als falsch nachgewiesen, wenn man einen Fall aufzeigen kann, in dem die Voraussetzung psehr wohl, nicht jedoch die Folgerung q erf¨ullt ist.
Insbesondere ist¬(p⇒q) durchkeineder folgenden Formeln richtig beschrieben:
¬p⇒ ¬q q⇒ p
¬p⇒ q ¬q⇒ p p⇒ ¬q q⇒ ¬p
¬q⇒ ¬p
Alle diese sind mehr oder weniger beliebte und immer wieder auftretende Kandida- tinnen f¨ur einschl¨agige Irrt¨umer. Beachten Sie, dass in der voranstehenden Tabelle jeweils in derselben Zeile stehende Formeln gem¨aß der logischen Transposition (und dem Wegfall der doppelten Verneinung) ¨aquivalent sind. Abgesehen davon treten in allen vier Zeilen verschiedene Wahrheitverl¨aufe auf (von oben nach unten: 1011, 0111, 1110, 1101) deren keiner mit dem von ¬(p⇒q) (0010) ¨ubereinstimmt.
8. (p⇔q)⇔ ¬(p∨q) Die ¨Aquivalenz verneint das exklusive Oder.
Das Gegenteil von
”beide oder keins“ ist nat¨urlich
”genau eins von beiden“.
