Universit¨at Karlsruhe SS 2005 Institut f¨ur Theoretische Teilchenphysik
Prof. Dr. J.H. K¨uhn, Dr. A. Kulesza
http://www-ttp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/
Elftes ¨ Ubungsblatt zur Theorie D (QM I)
Abgabe: 05.07.2005 10:45 Uhr
NAME: GRUPPE:
Aufgabe 1 (2 Punkte)
Der RadialanteilRnl(r) der Wellenfunktion h~r|n, l, mi=Rnl(r)Ylm(Ω) f¨ur das Wasserstoff- atom ist durch
Rnl(r) = 2 n2
s
(n−l−1)!
[(n+l)!]3 a−30 /2Fnl
2r na0
, Fnl(ρ) = ρle−ρ/2L2nl−+1l−1(ρ)
gegeben. Dabei lauten f¨ur p, k∈N0 die Laguerre-Polynome
Lkp(ρ) = (p+k)!
p!
eρ ρk
dp
dρp[ρp+ke−ρ] und erf¨ullen die Orthogonalit¨atsrelation
p!
[(p+k)!]3 Z ∞
0
dρρke−ρLkp(ρ)Lkp0(ρ) =δp,p0 .
(i) Berechnen Sie den Erwartungswert des Operators 1/R f¨ur die gebundenen Energie- eigenzust¨ande.
(ii) Verifizieren Sie den Virialsatz
2hEkini=−hVi unter Verwendung Ihres Ergebnisses aus (i).
Aufgabe 2 (4 Punkte) Wir wollen das Korrespondenzprinzip am Beispiel das Wasserstoffatoms veranschaulichen.
Dazu betrachten wir die Summe aus Zentrifugal- and Coulombpotential f¨url=n−1 mit l6= 0:
V(r) = ~2l(l+ 1) 2mr2 − e2
r .
(i) F¨ur welchen Wertrm nimmtV(r) sein Minimum an? Vergleichen Sie diesen Wert mit dem Erwartungswert des Operators R und ebenso 1/rm mit dem Erwartungswert des Operators 1/R. Bilden Sie den Limes großer n.
(ii) Vergleichen Sie V(rm) mit dem exakten Wert hVi f¨ur die Bindungsenergie.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Mit Hilfe der dimensionlosen Variablen ρ=kr, ~2k2 = 2mE, lautet die radiale Schr¨odin- gergleichung f¨ur ein freies Teilchen
TlRl(ρ) = d2
dρ2 + 2 ρ
d
dρ− l(l+ 1) ρ2 + 1
Rl(ρ) = 0. Ihre L¨osungen lauten
jl = (−ρ)l 1
ρ d dρ
l sinρ
ρ
, nl =−(−ρ)l 1
ρ d dρ
l cosρ
ρ
.
(i) Pr¨ufen Sie nach, dass diese Funktionen t¨atsatlich die Gleichung l¨osen.
Hinweis: Benutzen Sie vollst¨andige Induktion. Versuchen Sie in Tljl (oder Tlnl) den Faktorρ−1d/dρnach links durchzukommutieren und auf den Ausdruck [(l−1)ρ−1− d/dρ]Tl−1jl−1(ρ) (bzw. [(l−1)ρ−1−d/dρ]Tl−1nl−1(ρ)) zu kommen.
(ii) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionen jl und nl f¨ur sehr kleine und sehr große Werte vonρ.
