Geben Sie im Fall m = 2 die Koeffizienten in Abh¨angigkeit der beliebigen Schrittweitenhn, hn−1an

Numerik, Sommersemester 2010 Aufgabenblatt 8

Prof. Peter Bastian Abgabe 18. Juni 2010

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 BDF 2

Die Koeffizienten der impliziten R ¨uckw¨artsdifferenzenformeln

m

X

µ=0

L⁰_µ,m(tn)yn−µ=fn

ergeben sich direkt aus den Ableitungen der Lagrange-Polynome

Lµ,m(t) =

m

Y

l=0,l6=µ

t−tn−l

tn−µ−tn−l

zu den St ¨utzstellen tn, . . . , tn−m. Geben Sie im Fall m = 2 die Koeffizienten in Abh¨angigkeit der beliebigen Schrittweitenh_n, hn−1an.

4 Punkte

U¨BUNG2 LMM STABILITATSINTERVALLE¨

Man bestimme die Stabilit¨atsintervalle (und -gebiete) der folgenden beiden expliziten Mehr- schrittformeln:

y_n−yn−2 = 2hfn−1

yn−yn−2 = 1

2h(fn−1+ 3fn−2).

Bemerkung: Es gen ¨ugt die Untersuchung der Stabilit¨at in der Umgebung des Ursprungs, d.h. f ¨ur kleineh.

4 Punkte

U¨BUNG3 LMMNACHSKEEL

Gegeben sei das lineare Mehrschrittverfahren

α_ky_j+k+· · ·+α₀y_j =hβ_kf_j+k+· · ·+hβ₀f_j

mitf_l=f(t_l, y_l). Zeige, dass zur rekursiven Auswertung des Mehrschrittverfahrens die Speicherung des Vektorss_j = (s⁰_j, . . . , s^k−1_j )^T gen ¨ugt, welcher rekursiv wie folgt definiert ist:

s^k_j = s^k−1_j−1 +α_ky_j+k−hβ_kf_j+k= 0, s^k−1_j = s^k−2_j−1 +αk−1y_j+k−hβk−1f_j+k,

...

s¹_j = s⁰_j−1+α1yj+k−hβ1fj+k, s⁰_j = α₀y_j+k−hβ₀f_j+k

4 Punkte

U¨BUNG4 PRADIKATOR¨ - KORREKTOR

Man zeige durch Nachrechnen f ¨ur ein Paar von einer expliziten und einer impliziten LMM:

R

X

r=0

α^(P_R−r⁾ yn−r=h

R

X

r=1

β_R−r^(P) fn−r,

R

X

r=0

α^(K)_R−ryn−r =h

R

X

r=0

β_R−r^(K)fn−r.

1. Die Ordnung m der zugeh ¨origen Pr¨adikator-Korrektor Verfahrens in der P(EC)^kE-Form ist m= min(m^(C), m^(P)+k).

2. Gilt f ¨ur die Ordnungenm^(C)< m^(P)+k, so ist die FehlerkonstanteC_m+1^∗ des Gesamtverfahrens gleich der FehlerkonstanteC_m+1^(C) des Korrektors.

4 Punkte