¨Ubungen zur Vorlesung Numerik I Sommersemester 2010

Ubungen zur Vorlesung Numerik I ¨

Sommersemester 2010

PD Dr. Thorsten H ¨uls Dipl.-Math. Denny Otten

Ubungsblatt 13¨ 08.07.2010

Abgabe: Donnerstag, 15.07.2010, 10:00 Uhrin das Postfach des jeweiligen Tutors.

Mo.-Tutorium: Paul Voigt, paulvoigt@web.de, Postfach 195 in V3-128

Di.-Tutorium: Denny Otten, dotten@math.uni-bielefeld.de, Postfach 44 in V3-128

Mi.-Tutorium: Ingwar Petersen, ipeterse@math.uni-bielefeld.de, Postfach 227 in V3-128

Aufgabe 36:(Programmieraufgabe, Ausgleichsproblem)

Gegeben seienm Datenpaare(t_k, s_k)_k=1,...,m, die wie folgt konstruiert werden:

t_k = 2π(k−1)

m−1 , s_k = t²_ksin(4t_k)

10 , k = 1, . . . , m, m= 100.

(a) Bestimmen Sie zu diesen Daten das Ausgleichspolynom vom Grad19, d. h.

f(t) =

p

X

i=1

a_itⁱ⁻¹ mit p= 20

durch

(i) L¨osen der Normalgleichung

A^TAy =A^Tb.

Geben Sie auch die Kondition der Gramschen Matrix A^TA aus (in MAT-

LABcond-Befehl).

(ii) L¨osen des Ausgleichsproblems unter Verwendung der QR-Zerlegung. Hier- bei k¨onnen Sie auf die MATLAB-Funktionqrzur ¨uckgreifen.

(b) Geben Sie jeweils die Minimal- und Standardabweichung aus.

(c) Plotten Sie beide Ausgleichsfunktionen zusammen mit den Messdaten in eine Abbildung.

(d) Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.

(6 Punkte) (e) Zusatz 1: Implementieren Sie die QR-Zerlegung nach Householder und plot-

ten Sie die L¨osung zusammen mit denen aus Aufgabenteil (c).

(3 Bonuspunkte) (f) Zusatz 2: Berechnen Sie das Interpolationspolynom (f ¨ur m = 20, p = 20) so- wie das Ausgleichspolynom (f ¨urm= 100,p= 20) jeweils vom Grad 19 mit der NUMLAB-GUI: Interpolation und erzeugen Sie einen Screenshot. Mit welcher Methode l¨ost die GUI das Ausgleichsproblem?

(2 Bonuspunkte)

Aufgabe 37:(Nicht-Eindeutigkeit der QR-Zerlegung) SeiA∈^Rm,mnicht-singul ¨ar und seien zwei Zerlegungen

A=Q₁R₁ und A=Q₂R₂

mit orthogonalen MatrizenQ₁, Q₂ und rechten oberen DreiecksmatrizenR₁, R₂ ge- geben. Zeigen Sie:

∃D∈^Rm,m Diagonalmatrix mit |D_i,i|= 1∀i= 1, . . . , m:







(1):Q₁ =Q₂D und

(2):R₁ =DR₂. (6 Punkte)

Aufgabe 38:(Normalgleichung bez ¨uglich w-Norm)

Gegeben sei ein Vektorw= (w₁, . . . , w_m)^T ∈^Rm mitw_i >0f ¨uri= 1, . . . , m.

(a) Weisen Sie nach, dass durch

kxk_w =

m

X

i=1

w_ix²_i

!1/2

, x∈^Rm

eine Norm im^Rm definiert ist.

(b) Zeigen Sie, dass das lineare Ausgleichsproblem bez ¨uglich dieser gewichteten Norm

kAy−bk_w =^! Minimum ¨ubery∈^Rp

f ¨ur ein gegebenes b ∈ ^Rm und eine Matrix A ∈ ^Rm,p, m >p mit Rang(A) = p genau eine L¨osung besitzt.

(c) Geben Sie die zugeh¨orige Normalgleichung an.

(6 Punkte)