Zeigen Sie damit, dass gilt: 0 = Z ∂Bρ(y) ∇u·ν ds=ρn−1 ∂ ∂ρ

Numerik, Sommersemester 2010 Aufgabenblatt 10

Prof. Peter Bastian Abgabe 9. Juli 2010

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 MITTELWERTEIGENSCHAFT

Seiu ∈ C²(Ω)eine harmonische Funktion aufΩ⊂ Rⁿ(also∆u(x) = 0 ∀x ∈ Ω). SeiB_R(y) ⊂ Ω eine Kugel von RadiusRumy∈Ω.

1. Verwenden Sie die Polarkoordinatenr=|x−y|undω = ^x−y_r und schreiben Sieu(x) =u(y+rω).

Zeigen Sie damit, dass gilt:

0 = Z

∂Bρ(y)

∇u·ν ds=ρⁿ⁻¹ ∂

∂ρ





ρ¹⁻ⁿ Z

∂Bρ(y)

u ds





, ∀ρ∈(0, R).

2. Allgemein gilt

ρ→0limρ¹⁻ⁿ Z

∂Bρ(y)

uds=nωnu(y),

wobeiω_ndas Volumen der Einheitskugel innDimensionen bezeichnet. Folgern Sie mit dieser und der zuvor bewiesenen Beziehung die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen

u(y) = 1 nωnRⁿ⁻¹

Z

∂BR(y)

u ds

und damit dann auch

u(y) = 1 ω_nRⁿ

Z

BR(y)

u dx.

4 Punkte U¨BUNG2 DISKRETESVERGLEICHSPRINZIP

Seienu^h, v^h : ¯Ωh→RGitterfunktionen und

(L_hu^h)_i,j := 4u^h_i,j−u^h_i+1,j−u^h_i−1,j−u^h_i,j+1−u^h_i,j−1

h² f ¨ur i, j= 1, . . . , n−1 die Diskretisierung des Laplace-Operators auf einem uniformen Gitter. Es gelte

L_hu^h≤L_hv^h, ∀x∈Ω_h undu^h≤v^h, ∀x∈∂Ω_h. Zeigen Sie, dass dannu^h ≤v^h aufΩ¯^h.

Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst, dass das diskrete Maximumsprinzip auch f ¨urLhu^h ≤ 0gilt. Wenden Sie es dann aufu_h−v_han.

4 Punkte U¨BUNG3 INVERS-MONOTONEMATRIZEN

SeiA∈R^n×neine invers-monotone Matrix, d.h. f ¨urx, y∈Rⁿgelte

Ax≤Ay (komponentenweise)⇒x≤y(komponentenweise),

dann istAinvertierbar und f ¨ur alle Elementea⁻¹_i,j vonA⁻¹gilt:a⁻¹_i,j ≥0. 4 Punkte

U¨BUNG4 KLASSISCHESMAXIMUMSPRINZIP

1. Seiu∈C²(Ω)∩C( ¯Ω),b∈C¹( ¯Ω)und es gelte

L(u) :=−∆u+b(x)· ∇u <0, ∀x∈Ω.

Zeigen Sie, dass dann gilt:

max

x∈Ω¯

u(x) = max

x∈∂Ωu(x).

Hinweis: Dies ist ein Spezialfall des allgemeinen Maximumsprinzips, welchen man am einfachsten durch Widerspruch beweisen kann.

2. Seienu, v∈C²(Ω)∩C( ¯Ω)mit

L(u)< L(v), ∀x∈Ω und u≤v, ∀x∈∂Ω.

Zeigen Sie, dass dannu≤v, ∀x∈Ω.¯

Hinweis: Wenden Sie das Maximumsprinzip an.

4 Punkte U¨BUNG5 KETTENEIGENSCHAFT

SeiA∈R^n×n. Man nenntAreduzibel, falls es eine PermutationsmatrixP ∈R^n×ngibt, so dass

P^TAP =

A11 A12

0 A22

mit quadratischen MatrizenA11undA22(beide mindestens von Dimension 1).

Falls demgegen ¨uber A die Eigenschaft hat, dass es f ¨ur jedes Paar (i, j) ∈ {1, . . . , n}² eine Fol- gei = i₀, i₁, . . . , i_l = j gibt, so dass die Elementea_i,j von A die Bedingungen a_i0,i1 6= 0, a_i1,i2 6=

0, . . . , ail−1,il6= 0erf ¨ullen, dann sagt manAbesitze dieKetteneigenschaft.

Zeigen Sie, dass Agenau dann irreduzibel (also nicht reduzibel) ist, wenn sie die Ketteneigen-

schaft besitzt. 4 Punkte