Zeigen Sie, dass die Abbildung ρ:Q→GL(2,C), die mittels (±1)ρ i)ρ= ±i 0 0 ∓i , (±j

HHU D ¨USSELDORF Mathematisches Institut

Alejandra Garrido 28. November 2017

Seminar zur Darstellungs- und Charaktertheorie endlicher Gruppen Blatt 3

Ubung 1¨

Sei G eine Gruppe und π: G → G/G⁰ der kanonische Homomorphismus von G auf die Fak- torkommutatorgruppe. Zeigen Sie: Jede lineare Darstellung ρ : G → C^∗ hat die Form ρ = πψ (Hintereinanderasf¨urung von π und dann ψ), wobei ψ : G/G⁰ → C^∗ eine lineare Darstellung con G/G⁰ ist.

Ubung 2¨

Bestimmen Sie die Charaktertafel der Kleinschen Vierergruppe C₂×C₂. Ubung 3¨

Sei Q={±1,±i,±j,±k}die Quaternionengruppe.

1. Zeigen Sie, dass die Abbildung ρ:Q→GL(2,C), die mittels (±1)ρ=

±1 0

0 ±1

, (±i)ρ=

±i 0

0 ∓i

, (±j) =

0 ±1

∓1 0

, (±k) =

0 ±i

±i 0

definiert ist, eine irreduzible Darstellung von Q liefert.

2. Finden Sie vier paarweise nicht-¨aquivalente lineare Darstellungen von Q. (Hinweis: N = {1,−1}CQ und beachten Sie die ersten beiden ¨Ubungsaufgaben).

3. Zeigen Sie, dass{1},{−1},{i,−i},{j,−j},{k,−k} die Konjugationsklassen von Q sind.

4. Bestimmen Sie die Charaktertafel (d.h. alle irreduziblen Charaktere) vonQ.

1