Quantenmechanik (SS 2020)
Ubung 11¨ (Abgabe: 08.07.20) 1. Fermionen und Bosonen (insg. 6 Punkte)
Zwei Teilchen bewegen sich in einem 1D Kasten mit potentieller EnergieV(x) = 0 f¨ur|x|< a2 und V(x) =∞ sonst. Sie besetzen den Grundzustand und den ersten angeregten Zustand mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
(a) (2 Punkte)
Stellen Sie die Gesamtwellenfunktion ψ(x1, x2) f¨ur den Fall auf, dass (i) die Teilchen unterscheidbar sind, (ii) es sich um ununterscheidbare (spinlose) Fermionen handelt und (iii) es sich um ununterscheidbare (spinlose) Bosonen handelt.
(b) (2 Punkte)
Die nachfolgenden Abbildungen zeigen von links nach rechts|ψ(x1, x2)|2 f¨ur die F¨alle (i)-(iii). Auf der horizontalen Achse ist die Koordinate x1 und auf der vertikalen Achse die Koordinatex2 aufgetragen (hier: a=π). Diskutie- ren Sie die Unterschiede.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
(c) (2 Punkte)
Mit welchen Wahrscheinlichkeiten findet man in den drei F¨allen beide Teil- chen in derselben H¨alfte des Kastens? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eines der Teilchen beixanzutreffen (ohne Ber¨ucksichtigung des zweiten Teil- chens)?
2. Addition vom Spin-1 und Spin-12 Drehimpuls (6 Punkte)
Gegeben sei ein System, das aus einem Spin-1 und einem Spin-12 Teilchen zusam- mengesetzt ist. Verwenden Sie die Eigenzust¨ande der Drehimpulsoperatoren ~S21, S1z des ersten Spins und die Eigenzust¨ande der Drehimpulsoperatoren ~S22, S2z des zweiten Spins als vollst¨andige Basis. Berechnen Sie alle Eigenzust¨ande der Gesamtdrehimpulsoperatoren ~S2 (wobei ~S = ~S1+S~2) und Sz = Sz1 +Sz2 in dieser Basis. Welche Symmetrie besitzen diese Zust¨ande?
(Hinweis: Gehen Sie analog wie in der Vorlesung f¨ur zwei Spin-12 vor, und be- rechnen Sie die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.)
3. He-Atom (insg. 7 Punkte)
F¨ur ein Elektron mit Spin-12 im Coulombpotential des Atomkernes betrachten wir nur die Zust¨ande |(ν = 1)lmi |αi und |(ν = 2)lmi |αi, wobei |αi den Spinanteil beschreibt und |αi=|↑i,|↓i.
(a) (1,5 Punkte)
Begr¨unden Sie, dass untenstehende Abbildung das zugeh¨orige Zustandsdia- gramm darstellt und geben Sie die Quantenzahlenν, l, m, αf¨ur die jeweiligen Zust¨ande an.
E
(b) (1,5 Punkte)
Es befinden sich zwei Elektronen (zun¨achst ohne Wechselwirkung) im Cou- lombpotential des Atomkernes. Zeichnen Sie die Besetzung der Zust¨ande f¨ur den Grundzustand in das obige Diagramm. Berechnen Sie den Grundzustand des Systems mit der Slaterdeterminante.
(c) (3 Punkte)
Betrachten Sie im Folgenden nur die Zust¨ande mit l = m = 0. Falls nun ein Elektron ν = 1 hat und eines ν = 2, dann gibt es vier M¨oglichkeiten, die beiden (ununterscheidbaren) Elektronen auf die Zust¨ande zu verteilen.
Zeichnen Sie diese vier M¨oglichkeiten jeweils in ein Zustandsdiagramm und berechnen Sie per Slaterdeterminante die zugeh¨origen Zust¨ande. Zeigen Sie, dass deren geschickte Addition und Subtraktion auf die vier Zust¨ande
|ψSi = 1
√2(|100i1|200i2+|200i1|100i2) 1
√2(|↑i1|↓i2− |↓i1|↑i2),
|ψT ,−1i = 1
√2(|100i1|200i2− |200i1|100i2)|↓i1|↓i2,
|ψT ,0i = 1
√2(|100i1|200i2− |200i1|100i2) 1
√2(|↑i1|↓i2+|↓i1|↑i2),
|ψT ,1i = 1
√2(|100i1|200i2− |200i1|100i2)|↑i1|↑i2
f¨uhrt. Der Zustand|ψSiwird als Singulett-Zustand und|ψT ,−1i,|ψT ,0i,|ψT ,1i werden als Triplett-Zust¨ande bezeichnet.
(d) (1 Punkt)
Wird nur die attraktive Coulombwechselwirkung zwischen Atomkern und den Elektronen ber¨ucksichtigt, dann haben alle obigen Zust¨ande die gleiche Energie. Diese Entartung wird durch die repulsive Coulombwechselwirkung zwischen den Elektronen aufgehoben. Begr¨unden Sie (ohne Rechnung), dass in diesem Fall die Energie der Triplett-Zust¨ande niedriger ist als die des Singulett-Zustandes.
