Quantenmechanik (SS 2020) ¨Ubung 4 (Abgabe: 20.05.20) 1. Teilchen auf dem Ring

Quantenmechanik (SS 2020)

Ubung 4¨ (Abgabe: 20.05.20) 1. Teilchen auf dem Ring (insg. 4 Punkte)

Die Bewegung eines Teilchens mit der Massemsei auf einen Kreisring beschr¨ankt, also ist x=Rφ, und aus ˆH =−_2m^~2∂_x² wird

Hˆ =− ~² 2mR²∂_φ². (a) (4 Punkte)

Welche normierten Eigenfunktionenu_n(φ) und welche EigenwerteE_nbesitzt H?ˆ

(Hinweis: Die Eigenfunktionen m¨ussen auf dem gesamten Kreisring stetig und eindeutig sein, d.h.u_n(0) =u_n(2π). Die Eigenfunktionen sind f¨urn >0 zweifach entartet, d.h. zu jedem E_n, n > 0, gibt es zwei Eigenfunktionen un±(φ).)

(b) (4* Bonuspunkte)

Das System sei im Zustand ψ(φ) =αΘ(π−φ). Schreiben Sie ψ(φ) als Line- arkombination der Eigenfunktionen des Hamiltonoperators und normieren Sie diese Funktion, d.h. bestimmen Sie α.

(Hinweis: Θ(x) entspricht der Heaviside Funktion, d.h. Θ(x) = 0 f¨urx < 0 und Θ(x) = 1 sonst.)

2. Streuung an einer Potentialstufe (insg. 6 Punkte)

Ein von links (x < 0) einlaufendes, freies Teilchen der Masse m > 0 und des Impulses ~k trifft bei x= 0 auf eine Potentialstufe der H¨ohe α, d.h.

V(x) = αΘ(x).

(a) (3 Punkte)

Berechnen Sie f¨ur den Fall E ≤ α die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Intervall [x, x+ dx ] und geben Sie die Intensit¨atsmaxima an. Berechnen Sie das Betragsquadrat der Transmissions- und Reflexionsamplitude (siehe Vorlesung: |T|²,|R|²).

(b) (3 Punkte)

F¨uhren Sie die gleichen Berechnungen f¨ur den FallE ≥α durch. Skizzieren Sie |T|² und |R|² in Abh¨angigkeit von _E^α.

3. Reflexionsfreier Potentialtopf (insg. 7 Punkte) Ein Teilchen der Masse m >0 sei einem Potential der Form

V(x) = − mµ² cosh²(^mµ

~ x)

ausgesetzt. Skizzieren Sie das Potential.

(a) gebundene Zust¨ande (2 Punkte)

Berechnen Sie die station¨are L¨osung f¨ur die gebundenen Zust¨ande (E < 0) und geben Sie die entsprechenden Energieeigenwerte an.

(Hinweis:Es gibt genau einen gebundenen Zustand. Verifizieren Sie f¨urb ∈ R zun¨achst, dass _dx^d22[coshbx]⁻¹ =b²(1−2[coshbx]⁻²)[coshbx]⁻¹ gilt.) (b) freie Zust¨ande (5 Punkte)

Zeigen Sie, dass der station¨are Anteil aller freien Zust¨ande von der Form ψ_k(x)∝(αtanhbx+β)e^ikx

ist und bestimmen Sieα, b∈R, undβ ∈Csowie die Energie eines Teilchens im Zustand ψk(x). Beschr¨anken Sie im Folgenden Ihre Betrachtungen auf

|bx| 1:

i. Woran erkennt man, dass das Potential das Pr¨adikat “reflexionsfrei”

verdient?

ii. Wie groß ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Intervall [x, x+ dx]?

(iii.)* Welche Phasendifferenz (im Vergleich zur Situation ohne Potential) tritt in Abh¨angigkeit von k auf?

*(2 Bonuspunkte)