Dann gibt es eine lineare Abbildung f : V → k mit f(ai) =αi f¨uri= 1

§2 Die Tensor-Algebra

Sei V ein endlich-dimensionaler k-Vektorraum, a1, . . . , ar ∈ V linear unabh¨angige Vektoren, α₁, . . . , α_r ∈ k. Dann gibt es eine lineare Abbildung f : V → k mit f(a_i) =α_i f¨uri= 1, . . . , r. Bilden diea_% sogar eine Basis von V, so ist f eindeutig bestimmt.

Diese Aussagen lassen sich auf multilineare Abbildungen verallgemeinern. Sind V, V1, . . . , Vm endlich-dimensionalek-Vektorr¨aume, so bezeichnen wir mit

L_m(V₁, . . . , V_m;V)

den (ebenfalls endlich-dimensionalen) k-Vektorraum der m-fach k-multilinearen Abbildungen f :V₁×. . .×V_m →V.

Wir betrachten hier nur den Fall V = k. Ist {a⁽ⁱ⁾₁ , . . . , a⁽ⁱ⁾ni} eine Basis von Vi, f¨ur i= 1, . . . , m, so gibt es eindeutig bestimmte Elementef_ν1,...,νm ∈L_m(V₁, . . . , V_m;k) mit

fν1,...,νm(a⁽¹⁾_µ1, . . . , a^(m)_µm) =

1 fallsνi =µi f¨ur i= 1, . . . , m , 0 sonst.

Diese Elemente bilden eine Basis von L_m(V₁, . . . , V_m;k).

Im Falle eines einzelnen Vektorraumes V mit Basis {a1, . . . , an} erh¨alt man auf diesem Wege die duale Basis {α¹, . . . , αⁿ} des Dualraumes V^∗ = Hom_k(V, k), mit α^ν(a_µ) = δ_νµ.

2.1 Satz. Die Abbildung ιV :V →V^∗∗ = Homk(V^∗, k) mit ιV(x)(f) =f(x) f¨ur x∈V und f ∈V^∗ ist ein Vektorraum-Isomorphismus.

Die Abbildung ι_V ist

”kanonisch“ in dem Sinne, dass man zu ihrer Definition kei- ne Basis ben¨otigt. Sie ist auch

”nat¨urlich“ in folgendem Sinne: Zu jeder linearen Abbildung ϕ : V → W gibt es eine lineare Abbildung ϕ^∗∗ : V^∗∗ → W^∗∗, so dass folgendes Diagramm kommutiert:

V −→^ιV V^∗∗

ϕ ↓ ↓ϕ^∗∗

W −→^ιW W^∗∗

Man kann deshalbV und V^∗∗ miteinander identifizieren.

Die Abbildung ι_V existiert auch bei unendlich-dimensionalen Vektorr¨aumen, aller- dings ergibt sich dann i.a. kein Isomorphismus.

Unter dem Tensorprodukt zweier Linearformen f, g ∈V^∗ versteht man die Biline- arformf⊗g mit (f⊗g)(x, y) := f(x)·g(y). Dies und die IdentifikationV ∼= (V^∗)^∗ liefern die Idee zu Folgendem:

Definition.

V₁, . . . , V_m seien endlich-dimensionale k-Vektorr¨aume. Unter einem Tensorpro- dukt von V₁, . . . , V_m versteht man ein Paar (V, η_V) mit folgenden Eigenschaften:

1. V ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum.

2. η_V :V₁×. . . V_m →V istm-fach multilinear.

3. Die Elemente η_V(x₁, . . . , x_m) mit x_i ∈V_i erzeugen V.

4. Ist U ein beliebiger (endlich-dimensionaler) k-Vektorraum und ϕ :V1×. . .×Vm →U

m-fach multilinear, so gibt es eine lineare Abbildung h : V → U, so dass h◦ηV =ϕ ist.

2.2 Satz.

a) Zu V₁, . . . , V_m existiert immer ein Tensorprodukt.

b) Sind(V, η_V)und(W, η_W)zwei Tensorprodukte vonV₁, . . . , V_m, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus Φ :V →W mit Φ◦η_V =η_W.

Beweis: a) Wir setzen V := L_m(V₁^∗, . . . , V_m^∗;k) und definieren η_V : V₁ ×. . .× V_m →V durch

η_V(x₁, . . . , x_m)(f₁, . . . , f_m) :=f₁(x₁)· · ·f_m(x_m).

Es ist klar, dass dies eine multilineare Abbildung ist. F¨ur i = 1, . . . , m sei nun {a⁽ⁱ⁾₁ , . . . , a⁽ⁱ⁾ni} eine Basis von V_i und {α_(i)¹ , . . . , αⁿ_(i)ⁱ} die dazu duale Basis von V_i^∗. Dann ist

η_V(a⁽¹⁾_ν

1 , . . . , a^(m)_ν

m)(α^µ₍₁₎¹, . . . , α^µ_(m)^m) = α^µ₍₁₎¹(a⁽¹⁾_ν

1 )· · ·α^µ_(m)^m(a^(m)_ν

m )

= δν1µ1· · ·δνmµm

= f_ν^∗_1,...,νm(α^µ₍₁₎¹, . . . , α^µ_(m)^m),

wobei dief_ν^∗_1,...,νm eine (wie oben konstruierte) Basis vonL_m(V₁^∗, . . . , V_m^∗;k) bilden.

Also wird V von den ElementenηV(x1, . . . , xm) erzeugt.

Sei schließlich ϕ : V₁ × . . .×V_m → U m-fach multilinear. Dann definieren wir h:V →U durch

h(f_ν^∗_1,...,νm) := ϕ(a⁽¹⁾_ν1 , . . . , a^(m)_νm ).

Weil f_ν^∗_1,...,νm =η_V(a⁽¹⁾ν1 , . . . , a^(m)νm) ist, folgt (aus der Multilinearit¨at der beteiligten Abbildungen), dass h◦ηV =ϕ ist.

b) Sind zwei Tensorprodukte (V, η_V) und (W, η_W) gegeben, so gibt es lineare Ab- bildungen Φ : V → W mit Φ◦η_V = η_W und Ψ : W → V mit Ψ◦η_W = η_V, also Φ◦Ψ◦ηW = Φ◦ηV =ηW. Weil die Bilder vonηV bzw.ηW die Tensorproduktr¨aume V bzw. W erzeugen, folgt: Φ◦Ψ = id_W, und analog Ψ◦Φ = id_V. Also ist Φ ein Isomorphismus und Ψ = Φ⁻¹. Durch die Gleichung Φ◦η_V = η_W ist Φ auf einem Erzeugendensystem von V (und damit auf ganz V) eindeutig festgelegt.

Definition.

Das (im Wesentlichen eindeutig bestimmte) Tensorprodukt von V₁, . . . , V_m wird mitV₁⊗ · · · ⊗V_m bezeichnet, und die Elementeη_V(x₁, . . . , x_m) mit x₁⊗. . .⊗x_m. Man beachte, dass die

”zerlegbaren Tensoren“ x₁⊗. . .⊗x_m lediglich ein Erzeu- gendensystem des Tensorproduktes bilden. Sie sind i.a. nicht linear unabh¨angig

(z.B. ist (x⁰₁+x⁰⁰₁)⊗x₂⊗. . .⊗x_m =x⁰₁⊗x₂⊗. . .⊗x_m+x⁰⁰₁ ⊗x₂ ⊗. . .⊗x_m ) und es sind auch nicht alle Tensoren zerlegbar. Ist allerdings {a⁽ⁱ⁾₁ , . . . , a⁽ⁱ⁾ni} eine Basis vonV_i, so bilden die Tensorproduktea⁽¹⁾_i

1 ⊗. . .⊗a^(m)_i

m eine Basis vonV₁⊗. . . V_m. Sind Fi :Vi →Wi lineare Abbildungen, f¨uri= 1, . . . , m, so definiert man

(F₁⊗. . .⊗F_m) :V :=V₁⊗. . .⊗V_m →W :=W₁⊗. . .⊗W_m durch (F₁ ⊗. . .⊗F_m)(x₁⊗. . .⊗x_m) := (F₁(x₁))⊗. . .⊗(F_m(x_m)).

Dann ist (F₁⊗. . .⊗F_m) :V →W die lineare Abbildung, die ¨uber die Gleichung (F₁⊗. . .⊗F_m)◦η_V =ϕ

der multilinearen Abbildungϕ :V1×. . .×Vm →W mit ϕ(x₁, . . . , x_m) := (F₁(x₁))⊗. . .⊗(F_m(x_m)) zugeordnet ist.

2.3 Satz. Es ist V^∗⊗W ∼= Homk(V, W), verm¨oge f⊗w:v 7→f(v)w.

Beweis: Die bilineare Abbildungϕ :V^∗×W →Hom_k(V, W) mitϕ(f, w)(v) :=

f(v)w induziert die lineare Abbildung ϕb:V^∗⊗W ∼= Hom_k(V, W) mit ϕb◦η_V^∗⊗W =ϕ.

Sei nun {a₁, . . . , a_n} eine Basis von V und {α¹, . . . , αⁿ} die dazu duale Basis von V^∗. Dann definieren wir θ: Hom_k(V, W)→V^∗⊗W durch

θ(f) :=

n

X

ν=1

α^ν⊗f(a_ν).

Es ist ϕb◦θ(f)(v) = P

νϕ(α^ν, f(a_ν))(v) = P

να^ν(v)f(a_ν) = f(v) und θ◦ϕ(fb ⊗ w) = θ(ϕ(f, w)) = P

να^ν ⊗f(a_ν)w = (P

νf(a_ν)α^ν)⊗w = f ⊗w. Also ist ϕb ein Isomorphismus undθ =ϕb⁻¹.

Ubungsaufgabe:¨ (V ⊗W)^∗ ∼=V^∗⊗W^∗.

Unter einerk-Algebra versteht man einen (nicht notwendig endlich-dimensionalen) k-VektorraumA, zusammen mit einer k-bilinearen Abbildungm:A×A→A. An

Stelle von m(x, y) schreiben wir x·y. Erf¨ullt diese Multiplikation das Assoziativ- gesetz, so spricht man von einer assoziativen Algebra.

Ist F ⊂ A ein Untervektorraum und liegt das Produkt zweier Elemente von F wieder in F, so spricht man von einer Unteralgebra.

Ein Untervektorraum I ⊂Aheißt ein Links-bzw. Rechts-Ideal inA, falls gilt: F¨ur x∈A undy∈I liegt x·y (bzw.y·x) wieder in I. Gilt beides, so spricht man von einem zweiseitigen Ideal.

Beispiele.

1. Jeder K¨orper k ist auch eine k-Algebra. Dar¨uber hinaus ist z.B. C eine R- Algebra.

2. Der Raum M_n,n(k) dern-reihigen Matrizen ¨uberk ist eine k-Algebra. Ist X₀ eine feste Matrix, so ist I ={A·X₀ : A ∈M_n,n(k)}ein Links-Ideal.

3. Sei V ein k-Vektorraum mit Basis{a₁, . . . , a_n}. Dann istT^m(V) dasm-fache Tensorprodukt von V mit sich selbst: T^m(V) = V ⊗. . .⊗V (m-mal). Nun sei T(V) := M

m≥0

T^m(V), mit T⁰(V) :=k. Das ist ein k-Vektorraum. Er wird zu einer Algebra durch die Multiplikation

((x₁⊗. . .⊗x_l),(y₁⊗. . .⊗y_m))7→x₁⊗. . .⊗x_l⊗y₁⊗. . .⊗y_m. Aus der universellen Eigenschaft ergibt sich, dass T(V) assoziativ ist. Außer- dem wirdT(V) (als Algebra) von V erzeugt, d.h., jedes Element ist endliche Summe von Produkten von Elementen aus V.

Behauptung:Ist f :V →Aeine lineare Abbildung in eine k-Algebra A, so gibt es genau einen Algebra-Homomorphismusfb:T(V)→A, derf fortsetzt.

Beweis daf¨ur: Definiere fb_m :T^m(V)→A durch

fb_m(x₁⊗. . .⊗x_m) :=f(x₁)· · ·f(x_m).

Allefb_m zusammen ergeben den gew¨unschten Homomorphismus. Die Eindeu- tigkeit folgt aus der Tatsache, dass T(V) vonV erzeugt wird.

4. Sei f : A → B ein k-Algebra-Homomorphismus. Ist f(x) = 0, so ist auch f(a·x·b) =f(a)·f(x)·f(b) = 0, f¨ura, b∈A. Also ist Ker(f) ein zweiseitiges Ideal.

Definition.

Sei L eine (additiv geschriebene) kommutative Halbgruppe (mit neutralem Ele- ment 0) und A eine k-Algebra. Eine Graduierung auf A vom Typ L ist eine Familie (A_λ)λ∈L von k-Untervektorr¨aumen, so dass gilt:

1. Es ist A=M

λ∈L

A_λ.

2. Ist x∈Aλ und y∈Aκ, so ist x·y∈Aλ+κ.

Man nennt A in diesem Fall eine graduierte k-Algebra vom Typ L. Ein Element x∈A heißt homogen vom Grad λ, falls es inA_λ liegt.

Jedes Element x 6= 0 in A besitzt eine eindeutig bestimmte Zerlegung in eine Summe von homogenen Elementen. Gibt es in A ein Eins-Element, so hat dieses den Grad 0.

Beispiele.

1. Der Polynomring R[x] ist eineN⁰-graduierte kommutative und assoziativeR- Algebra mit Eins-Element. Dabei istR[x]_n={axⁿ : a∈R}, f¨urn ∈N. Man kann R[x] auch als Z-graduierte Algebra auffassen, indem man R[x]_n = 0 setzt, f¨ur n <0.

2. Die TensoralgebraT(V) istN0-graduiert. Wir haben aufT(V) aber auch eine Z2-Graduierung. Dazu setzen wir

T₀(V) :=

∞

M

µ=0

T^2µ(V) und T₁(V) :=

∞

M

µ=0

T^2µ+1(V).

Dann ist T =T₀⊕T₁, T₀·T₀ ⊂T₀, T₁·T₁ ⊂T₀ und T₀·T₁ ⊂T₁.

Definition.

Sei A eine graduierte k-Algebra vom Typ L. Ein Ideal I ⊂ A heißt graduiert, falls I =M

λ∈L

I∩A_λ ist, falls also mit einem Element x∈I auch alle homogenen Komponenten von x zu I geh¨oren.

2.4 Satz. Ein Ideal I ⊂ A ist genau dann graduiert, wenn es von homogenen Elementen erzeugt wird.

Beweis: Ein Ideal I ⊂A wird von einer Teilmenge E ⊂A

”erzeugt“, falls jedes Elementx∈I als endliche Summex=P

νa_νe_ν mita_ν ∈Aunde_ν ∈Egeschrieben werden kann.

a) Sei I graduiert. Ist x∈ I, so gibt es eine eindeutige Zerlegung x= P

λx_λ, mit x_λ ∈I∩A_λ. F¨uhrt man die Zerlegung f¨ur allex∈I durch, so bildet die Gesamtheit aller dabei auftretenden x_λ ein Erzeugendensystem von homogenen Elementen.

b) Sei umgekehrt I durch homogene Elemente erzeugt, etwa durch eine Familie von Elementen (e_ι)ι∈J. Es sei n_ι = deg(e_ι). Jedes Element x∈I kann als endliche Summe x=P

ι∈Ja_ιe_ι geschrieben werden, mit a_ι ∈A. Nun sei a_ι,λ die homogene Komponente vom Gradλ von aι. Dann gilt:

x=X

ι∈J

X

λ∈L

a_ι,λe_ι

!

=X

λ∈L

X

ι∈J

a_ι,λe_ι

!

=X

µ∈L







 X

(λ,ι)∈L×J λ+nι=µ

a_ι,λe_ι







 .

Das ist die Zerlegung vonx=P

µ∈Lx_µin homogene Komponenten, und alle Kom- ponenten geh¨oren wieder zu I. Daraus folgt, dassI graduiert ist.

2.5 Satz. Sei Aeine graduiertek-Algebra vom Typ Lund I ⊂A ein graduiertes (zweiseitiges) Ideal. Dann ist auch A/I eine graduierte Algebra vom Typ L (mit (A/I)_λ ∼=A_λ/(I∩A_λ), und die Multiplikation ist gegeben durchq(x)·q(y) =q(x·y) (wobei q:A→A/I die kanonische Projektion ist).

Beweis: Sei u:=x−x⁰ ∈I und v :=y−y⁰ ∈I. Dann folgt:

x·y= (x⁰+u)·(y⁰+v) = x⁰y⁰+ (x⁰v+uy⁰+uv)≡x⁰y⁰ mod I.

Also ist die Multiplikation in A/I wohldefiniert. Die Algebra-Eigenschaften sind schnell nachgerechnet.

Sei (A_λ)λ∈L die Graduierung von A und j_λ : A_λ ,→ A die kanonische Injektion.

Dann ist A_λ/(I∩A_λ)∼=q(A_λ), verm¨oge (x mod I∩A_λ)7→ q(x). Die Abbildung ist offensichtlich wohldefiniert und linear. Ist x ∈ Aλ und q(x) = 0, so liegt x in I∩A_λ. Also ist die Abbildung injektiv. Die Surjektivit¨at ist klar.

Wir behaupten, dass A/I = M

λ

q(A_λ) ist. Es ist klar, dass A/I = X

λ

q(A_λ) ist.

Sind nun xλ ∈ A_λ mit P

λq(x_λ) = 0, dann ist P

λx_λ ∈ I. Aber weil I graduiert ist, m¨ussen die xλ sogar in I∩Aλ liegen, und das bedeutet, dass q(xλ) = 0 ist, f¨ur alle λ. Also ist die Summe direkt.

Ist x_λ ∈A_λ und x_κ ∈A_κ, so ist q(x_λ)·q(x_κ) =q(x_λ·x_κ) in q(A_λ+κ). Also ist A/I graduiert vom Typ L.

SeiJ ⊂T(V) das (zweiseitige) Ideal, das von allen Elementenx⊗x,x∈V, erzeugt wird. Dann besteht J aus allen endlichen Summen der Gestalt

X

i

t_i⊗x_i⊗x_i⊗s_i, x_i ∈V, t_i, s_i ∈T(V).

Weil (x+y)⊗(x+y)−x⊗x−y⊗y = x⊗y+y⊗x ist, wird J auch von den Elementen x⊗y+y⊗x erzeugt.

Da J von den homogenen Elementen x⊗x (vom Grad 2) erzeugt wird, ist J ein graduiertes Ideal.

Definition.

Die ¨außere Algebra uber¨ V ist die Algebra V

(V) := T(V)/J, wobei J das von den Elementen x⊗xerzeugte zweiseitige Ideal ist.

Bemerkung. Weil J ein graduiertes Ideal ist, ist V

(V) eine graduierte k- Algebra, mit

m

^(V) := (^

(V))_m =T^m(V)/T^m(V)∩J.

Weil T⁰(V)∩J =T¹(V)∩J = 0 ist, ist V0

(V) =k und V1

(V) =V.

2.6 Satz. Sei E eine beliebige k-Algebra und f :V →E eine lineare Abbildung, so dass gilt:

f(x)² = 0 f¨ur alle x∈V.

Dann gibt es genau einen k-Algebra-Homomorphismus fb:V

(V)→E, der f fort- setzt.

Beweis: Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass V

(V) von V erzeugt wird. Zur Existenz benutzen wir die eindeutige Fortsetzung f_T :T(V)→E von f.

Ker(f_T) ist ein zweiseitiges Ideal, das auf jeden Fall die Elemente x⊗x enth¨alt.

Das bedeutet, dass J ⊂Ker(f_T) ist. Wir k¨onnen alsofb(t mod J) :=f_T(t) setzen.

Definition.

Das Produkt zweier Elementeu, v ∈V

(V) vom Grad≥1 wird mitu∧v bezeich- net (Dachprodukt).

Die Elemente von Vm

(V) sind also Summen von Produkten u₁ ∧ . . .∧ u_m mit u_i ∈V. Man nennt solche Produkte auch m-Vektoren.

Definition.

F¨ur q∈N setzen wir

A^q(V) :={ϕ :V ×. . .×V →k : ϕ ist q-fach multilinear und alternierend}.

2.7 Hilfssatz. Es seienM, N k-Vektorr¨aume undU ⊂M ein Unterraum. Dann ist

{f ∈Hom_k(M, N) : U ⊂Ker(f)} ∼= Homk(M/U, N).

Beweis: Ist f ∈ Hom_k(M, N) und f|_U = 0, so ist f ∈ Hom_k(M/U, N) durch f(x mod U) := f(x) wohldefiniert. Ist umgekehrt g ∈ Homk(M/U, N) gegeben und p:M →M/U die kanonische Projektion, so ist bg :=g◦p∈Hom_k(M, N) und bg|_U = 0. Man sieht, dass diese beiden Zuordnungen zueinander invers sind.

Nun folgt unmittelbar:

Hom_k(^^q

(V), k)∼={f ∈Hom_k(T^q(V), k) : f|_J = 0}.

2.8 Satz. Sei ϕ:V ×. . .×V →k q-fach multilinear und alternierend (also ein Element von A^q(V)). Dann gibt es genau eine lineare Abbildung g : Vq

(V) → k mit

g(x₁∧. . .∧x_q) =ϕ(x₁, . . . , x_q).

Beweis: Die Eindeutigkeit folgt daraus, dassVq

(V) von denq-Vektorenx₁∧. . .∧

x_qerzeugt wird. Wegen der Existenz sei daran erinnert, dass es zu der multilinearen Abbildung ϕ genau eine lineare Abbildung h : T^q(V) → k mit h◦η_T^q_V =ϕ gibt.

Weilϕalternierend ist, verschwindethaufJ∩T^q(V). Sei nunp:T^q(V)→Vq

(V) = T^q(V)/(J∩T^q(V)) die kanonische Projektion. Dann gibt es eine lineare Abbildung g :Vq

(V)→k mit g◦p=h. Es ist

g(x₁ ∧. . .∧x_q) = g(p(x₁⊗. . .⊗x_q))

= h(x₁⊗. . .⊗x_q)

= ϕ(x₁, . . . , x_q).

2.9 Satz.

1. Es ist x∧x= 0 und x∧y=−y∧x f¨ur x, y ∈V.

2. Sind x₁, . . . , x_m ∈V und ist σ ∈S_m eine Permutation, so ist x_σ(1)∧. . .∧x_σ(m) = sign(σ)·x₁∧. . .∧x_m. 3. Ist {e₁, . . . , e_n} eine Basis von V, so bilden die Elemente

e_i1 ∧. . .∧e_ip, 1≤i₁ < . . . < i_p ≤n, eine Basis von Vp

(V). Insbesondere ist dimVp

(V) = ⁿ_p

f¨ur 0≤p≤n und Vq

(V) = 0 f¨ur q > n.

4. Istu∈Vp

(V)undv ∈Vq

(V), so istu∧v = (−1)^pqv∧u(man spricht deshalb auch von einer alternierenden graduierten Algebra).

Beweis: 1) ist trivial.

2) Aus (1) folgt: Enth¨alt x₁ ∧ . . .∧ x_m zwei gleiche Vektoren, so verschwindet das Produkt. Vertauscht man zwei aufeinanderfolgende Faktoren, so wechselt das Vorzeichen. Per Induktion folgt die Behauptung.

3) Wegen (2) ist klar, dass die Elemente e_i1 ∧. . .∧e_ip, 1 ≤i₁ < . . . < i_p ≤n, ein Erzeugendensystem vonVp

(V) bilden. Wir m¨ussen nur noch zeigen, dass sie linear unabh¨angig sind.

a) Wir beginnen mit dem Fall p=n. Zu der alternierenden Multilinearform det :V ×. . .×V

| {z }

n-mal

→k

gibt es eine lineare Abbildung δ:Vn

(V)→k mit

δ(x₁∧. . .∧x_n) = det(x₁, . . . , x_n).

Ist nun c·e₁ ∧. . .∧e_n = 0, so ist det(c·e₁, . . . , e_n) = 0. Das bedeutet, dass die Vektorenc·e₁, e₂, . . . , e_nlinear abh¨angig sind. Aber das ist nur m¨oglich, wennc= 0 ist.

b) Sei nun 1< p < n und X

1≤ν₁<...<νp≤n

c_ν1...νpe_ν1∧. . .∧e_νp = 0.

Zu festem (λ1, . . . , λp) mit λ1 < . . . < λp w¨ahlen wir µ1, . . . , µn−p, so dass gilt:

{λ₁, . . . , λ_p, µ₁, . . . , µn−p}={1, . . . , n}.

Dann ist

0 = e_µ1 ∧. . .∧e_µn−p ∧0

= X

ν1<...<νp

c_ν1...νpe_µ1 ∧. . .∧e_µn−p∧e_ν1 ∧. . .∧e_νp

= cλ1...λpeµ1 ∧. . .∧eµn−p∧eλ1 ∧. . .∧eλp

= ±c_λ1...λpe₁ ∧. . .∧e_n.

Also ist c_λ1...λp = 0, und diee_ν1 ∧. . .∧e_νp sind linear unabh¨angig.

4) folgt leicht f¨ur Basiselemente e_i1 ∧. . .∧e_ip und e_j1 ∧. . .∧e_jq mit {i₁, . . . , i_p} ∩ {j₁, . . . , j_q}=∅. Daraus ergibt sich dann die allgemeine Aussage.

2.10 Satz. Es ist A^q(V)∼= (Vq

(V))^∗.

Beweis: Jedem ϕ ∈ A^q(V) wird die Linearform f_ϕ ∈ Hom_k(Vq

(V), k) zugeord- net, mitfϕ(x1∧. . .∧xq) =ϕ(x1, . . . , xq). Ist umgekehrtg ∈(Vq

(V))^∗, so kann man ein ϕ ∈ A^q(V) definieren, durch ϕ(x₁, . . . , x_q) := g(x₁ ∧. . .∧x_q). Dazu braucht man die Eigenschaften des Dachproduktes aus dem obigen Satz. Offensichtlich sind die beiden Zuordnungen zueinander invers.

Umgekehrt kann man auch einen Isomorphismus Vq

(V^∗)→A^q(V) angeben, etwa verm¨oge

f₁∧. . .∧f_q7→



(x₁, . . . , x_q)7→ X

σ∈Sq

sign(σ)f₁(x_σ(1))· · ·f_q(x_σ(q))



.

Man nennt die rechte Seite auch den alternierenden Anteil von f₁⊗. . .⊗f_q. Er ist nicht eindeutig festgelegt, h¨aufig wird noch durch q! geteilt.