offen. Eine Abbildung f = (f

1.5 Der Umkehrsatz

Definition

Sei B ⊂ R

offen. Eine Abbildung f = (f

, . . . , f

) : B → R

heißt in a ∈ B dif- ferenzierbar, falls alle Komponentenfunktionen f

, . . . , f

in a differenzierbar sind.

Die durch Df (a)(v) := (Df

(a)(v), . . . , Df

(a)(v)) gegebene lineare Abbildung Df (a) : R

→ R

heißt die Ableitung von f in a. Die Matrix J

(a) ∈ M

( R ), die Df (a) (bez¨ uglich der Standardbasen) beschreibt, nennt man die Funktionalmatrix oder Jacobi-Matrix von f in a. (Es ist dann Df (a)(v) = v · J

(a)

).

Die j-te Spalte der Funktionalmatrix J

(a) ist der Vektor J

(a) · e

= (Df (a)(e

))

= ∂f

∂x

(a), . . . , ∂f

∂x

(a)

.

So erh¨ alt man:

5.1. Gestalt der Funktionalmatrix

J

(a) =













∂f

∂x

(a) · · · ∂f

∂x

(a)

.. . .. .

∂f

∂x

(a) · · · ∂f

∂x

(a)













=







∇f

(a) .. .

∇f

(a)





 .

Definition

Ist n = m, also J

(x) eine quadratische Matrix, so heißt det J

(x) die Funktio- naldeterminante oder Jacobi-Determinante von f in x.

5.2. Beispiele

A. Ist n = m = 1, so ist J

(a) = f

(a) die gew¨ ohnliche Ableitung.

B. Ist n beliebig und m = 1, so besitzt die skalare Funktion f nur eine Kompo- nente. Also ist J

(a) = ∂f

∂x

(a), · · · , ∂f

∂x

(a)

= ∇f(a).

C. Ist n = 1 und m beliebig, so ist f = (f

, . . . , f

) ein differenzierbarer Weg im R

, mit m Komponenten, der aber nur von einer Variablen abh¨ angt. Weil die verschiedenen Komponenten in verschiedenen Zeilen der Jacobi-Matrix stehen m¨ ussen, ist zwar J

(a) = f

(a)

die gew¨ ohnliche Ableitung, aber als Spaltenvektor geschrieben!

D. Ist a ∈ R

, so ist die Translation T

: x 7→ x + a eine differenzierbare Abbildung von R

nach R

. Ist a = (a

, . . . , a

), so ist

T

(x

, . . . , x

) = (x

+ a

, . . . , x

+ a

)

und daher J

(x) = E

die Einheitsmatrix und det J

(x) = 1 (beides un- abh¨ angig von x).

E. Sei A ∈ M

( R ) eine beliebige Matrix, f

: R

→ R

die durch f

(x) := x · A

definierte zugeordnete lineare Abbildung von R

nach R

.

Sind a

, . . . , a

die Zeilen von A, so ist f

(x) = (x

a

, . . . , x

a

). Da die Ableitung einer Linearform mit eben dieser Linearform ¨ ubereinstimmt, ist

Df

(x)(v) = (v

a

, . . . , v

a

) = v · A

= f

(v),

also J

(x) = A, unabh¨ angig von x. Die Funktionaldeterminante kann nat¨ urlich nur gebildet werden, wenn n = m ist.

F. Sei f (x, y) := (e

cos y, e

sin y). Dann gilt:

J

(x, y) =

ke

cos y −e

sin y ke

sin y e

cos y

und

det J

(x, y) = ke

cos

y + ke

sin

y = ke

.

Wie bei den skalaren Funktionen steht auch f¨ ur Abbildungen ein alternatives Kri- terium f¨ ur die Differenzierbarkeit zur Verf¨ ugung.

5.3. Grauert-Kriterium f¨ ur die Differenzierbarkeit

Sei B ⊂ R

offen. Eine Abbildung f : B → R

ist genau dann in x

∈ B (total) differenzierbar, wenn es eine in x

stetige Abbildung ∆ : B → M

( R ) gibt, so dass gilt:

f (x) = f (x

) + (x − x

) · ∆(x)

.

Speziell ist dann ∆(x

) = J

(x

).

Beweis: Die Abbildung f = (f

, . . . , f

) ist genau dann in x

differenzierbar, wenn alle Komponentenfunktionen f

es sind, wenn es also in x

stetige Funktionen

∆

: B → R

gibt, so dass f

(x) = f

(x

) + (x − x

) · ∆

(x)

f¨ ur µ = 1, . . . , m gilt.

Wir definieren dann ∆(x) als die Matrix, deren Zeilen die Vektoren ∆

(x) sind.

Es ist klar, dass auch umgekehrt aus dem Kriterium die Differenzierbarkeit folgt.

5.4. Allgemeine Kettenregel

Sei B ⊂ R

offen, f : B → R

in x

∈ B differenzierbar, U ⊂ R

offen, f (B ) ⊂ U und g : U → R

in y

= f (x

) differenzierbar. Dann ist g ◦ f : B → R

in x

differenzierbar und es gilt:

D(g ◦ f )(x

) = Dg(f (x

)) ◦ Df (x

) bzw.

J

(x

) = J

(f (x

)) · J

(x

).

Beweis: Wir haben Darstellungen

f (x) = f (x

) + (x − x

) · ∆(x)

und g(y) = g(y

) + (y − y

) · ∆

(y)

,

wobei jeweils ∆ in x

und ∆

in y

stetig ist. Setzt man die Gleichungen ineinander ein, so erh¨ alt man

g ◦ f (x) − g ◦ f (x

) = (f (x) − f (x

)) · ∆

(f (x))

= (x − x

) · ∆(x)

· ∆

(f (x))

= (x − x

) · (∆

(f (x)) · ∆(x))

,

mit einer in x

stetigen Funktion x 7→ ∆

(f (x)) · ∆(x). Das zeigt, dass g ◦ f in x

differenzierbar ist. Weil ∆(x

) = J

(x

) und ∆

(y

) = J

(y

) ist, folgt die Gleichung

J

(x

) = ∆

(f (x

)) · ∆(x

) = J

(f (x

)) · J

(x

).

F¨ ur die zugeh¨ origen linearen Abbildungen gilt dann die analoge Beziehung D(g ◦ f )(x

) = Dg(f (x

)) ◦ Dg(x

).

5.5. Folgerung

Ist n = m = k, so ist det J

(x) = det J

(f (x)) · det J

(x).

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Determinanten-Produktsatz.

5.6. Beispiele

A. Ist k = 1, also g : U → R eine skalare Funktion, so ist auch g ◦ f eine skalare Funktion und man erh¨ alt die Formel

∇(g ◦ f )(x) = ∇g(f (x)) · J

(x).

Mit f = (f

, . . . , f

) folgt dann f¨ ur die einzelnen Komponenten die Formel (g ◦ f )

= (g

◦ f ) · (f

)

+ · · · + (g

◦ f ) · (f

)

, f¨ ur ν = 1, . . . , n.

Um es noch deutlicher zu machen, betrachten wir den Fall n = m = 2 und bezeichnen die Variablen, von denen g abh¨ angt, mit x und y und die Variablen, von denen f abh¨ angt, mit u und v. Dann schreibt sich die obige Formel wie folgt:

∂(g ◦ f )

∂u = ∂g

∂x ◦ f

· ∂f

∂u + ∂g

∂y ◦ f

· ∂f

∂u und ∂(g ◦ f )

∂v = ∂g

∂x ◦ f

· ∂f

∂v + ∂g

∂y ◦ f

· ∂f

∂v .

B. Sei g(x, y) := 1/(x

− y

) und f (r, t) := (r cos t, r sin t). Es ist g

= −2x

(x

− y

)

und g

= 2y (x

− y

)

, sowie

J

(r, t) =

cos t −r sin t sin t r cos t

. Dann folgt:

(g ◦ f )

= (g

◦ f ) · (f

)

+ (g

◦ f ) · (f

)

= −2r cos t

r

(cos

t − sin

t)

· cos t + 2r sin t

r

(cos

t − sin

t)

· sin t

= −2

r

(cos

t − sin

t)

und (g ◦ f )

= (g

◦ f ) · (f

)

+ (g

◦ f ) · (f

)

= −2r cos t · (−r sin t)

r

(cos

t − sin

t)

+ 2r sin t · (r cos t) r

(cos

t − sin

t)

= 4 sin t cos t r

(cos

t − sin

t)

.

Bei solchen konkreten Aufgaben kann man nat¨ urlich auch f zuerst in g ein- setzen und die dann entstandende Funktion von u und v direkt differenzieren.

Welcher Weg einfacher ist, muss man von Fall zu Fall pr¨ ufen.

C. Sei M ⊂ R

eine offene Teilmenge mit der Eigenschaft, dass mit x ∈ M und λ ∈ R auch λx zu M geh¨ ort (man nennt eine solche Menge M auch eine

” Kegelmenge“). Eine differenzierbare Funktion f : M → R heißt homogen vom Grad p, falls f (λx) = λ

· f (x) f¨ ur jedes x ∈ M und jedes λ ∈ R gilt.

Wir betrachten die Funktion g (λ) := f (λx) f¨ ur ein festes x. Nach der Ket- tenregel ist

g

(1) = ∇f(x) · x

.

Wegen der Homogenit¨ at von f ist aber auch g(λ) = λ

· f(x), also g

(1) = p · λ

· f(x)

|

= p · f(x).

Zusammen ergibt das die Euler’sche Homogenit¨ atsgleichung

Ist f homogen vom Grad p, so ist ∇f (x)

x = p · f(x).

Zum Beispiel ist f (x, y) := x

+ y

− 4x

y

eine homogene Funktion vom Grad 4 auf dem R

. Es ist ∇f(x, y) = (4x

− 8xy

, 4y

− 8x

y), also

∇f(x, y)

(x, y) = 4x

+ 4y

− 16x

y

= 4 f (x, y).

Definition

Es seien G

, G

⊂ R

Gebiete und f : G

→ G

eine differenzierbare Abbildung.

f heißt ein Diffeomorphismus, wenn f bijektiv und f

: G

→ G

ebenfalls differenzierbar ist.

Bemerkung: Ist f : G

→ G

ein Diffeomorphismus, so ist einerseits J

(x) = J

(x) = E

und andererseits J

(x) = J

(f (x)) · J

(x), also

J

(f (x)) = J

(x)

.

5.7. Beispiel

Wir betrachten die ebenen Polarkoordinaten

(x, y) = f (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ).

Definitionsbereich ist R

× R , die Bildmenge ist R

\ {(0, 0)}. Leider ist f

nicht injektiv, es ist ja f (r, ϕ) = f (r, ϕ + 2π). Die Menge R

× [0, 2π) ist kein

Gebiet, weil sie nicht offen ist. Also benutzen wir als Definitionsbereich das

Gebiet G

:= R

× (0, 2π).

π 2π

r ∈ R

ϕ

G

f

x y

Jetzt ist f : G

→ R

injektiv, aber was ist die Bildmenge? Nach wie vor kommt jeder Punkt (x, y) ∈ R

als Bildpunkt vor, sofern er nicht auf der positiven x-Achse liegt. Also setzen wir G

:= R

\{(x, y) : y = 0 und x ≥ 0}.

Dann ist f : G

→ G

eine bijektive differenzierbare Abbildung.

Ist f nun auch ein Diffeomorphismus? Wir versuchen, die Umkehrabbildung zu bestimmen, d.h. zu einem gegebenen Punkt (x, y) ∈ G

suchen wir ein (r, ϕ) ∈ G

mit

(x, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ).

Dann ist auf jeden Fall x

+ y

= r

, also r(x, y) = p

x

+ y

.

Ist x 6= 0, so ist tan ϕ = y/x. Daraus folgt aber nicht, dass ϕ = arctan(y/x) ist, denn der Arcustangens nimmt nur Werte zwischen −π/2 und +π/2 an, w¨ ahrend ϕ zwischen 0 und 2π liegen soll. Außerdem wird der Fall x = 0 dabei noch nicht ber¨ ucksichtigt.

Wir m¨ ussen also etwas sorgf¨ altiger vorgehen. Dazu f¨ uhren wir die Halbebenen H

= {(x, y ) ∈ R

: y > 0}, H

= {(x, y) ∈ R

: y < 0} und H

= {(x, y ) ∈ R

: x < 0} ein. Sie sind offene Mengen, und es ist H

∪ H

∪ H

= G

. Im folgenden verwenden wir einige Formeln aus der Trigonometrie:

• cos π 2 − t

= sin t und sin π 2 − t

= cos t,

• arctan t = arcsin t

√ 1 + t

= arccos 1

√ 1 + t

,

• arctan(1/t) = ± π

2 − arctan t, je nachdem, ob t > 0 oder t < 0 ist.

1. Fall: Ist (x, y) ∈ H

, so setzen wir ϕ

(x, y) := π

2 − arctan x

y

∈ (0, π).

Dann ist

cos(ϕ

(x, y )) = sin

arcsin x/y p 1 + x

/y

= x

p x

+ y

und sin(ϕ

(x, y )) = cos

arccos 1 p 1 + x

/y

= y

p x

+ y

. Offensichtlich ist (x, y) 7→ (r(x, y), ϕ

(x, y)) eine Umkehrung der Polarkoor- dinaten, denn es ist

f r(x, y), ϕ

(x, y)

= (x, y), r(r cos ϕ, r sin ϕ) = r und

ϕ

(r cos ϕ, r sin ϕ) = π

2 − arctan 1 tan ϕ

= π 2 − π

2 − arctan tan ϕ

= ϕ.

2. Fall: Ist (x, y) ∈ H

, so setzen wir ϕ

(x, y) := 3π

2 − arctan x

y

∈ (π, 2π).

3. Fall: Ist (x, y) ∈ H

, so setzen wir

ϕ

(x, y) := π + arctan y x

∈ π 2 , 3π

2

.

Auch in diesen beiden F¨ allen erh¨ alt man eine Umkehrung der Polarkoordi- naten, und die Funktionen ϕ

, ϕ

, ϕ

sind differenzierbar.

Ist y/x < 0, so ist arctan(y/x) = −π/2− arctan(x/y). Auf H

∩ H

ist x < 0, y > 0 und deshalb ϕ

(x, y) = ϕ

(x, y).

Ist y/x > 0, so ist arctan(y/x) = π/2 − arctan(x/y). Auf H

∩ H

ist x < 0, y < 0 und deshalb ϕ

(x, y) = ϕ

(x, y).

Zusammen ergibt das eine differenzierbare Umkehrabbildung f

: G

→ G

.

5.8. Lemma

Sei M ⊂ R

offen, F : M → R

in x

differenzierbar und det J

(x

) 6= 0.

Außerdem habe f := kFk

in x

ein lokales Minimum. Dann ist F(x

) = 0.

Beweis: Sei v ∈ R

und α(t) := x

+ tv f¨ ur −ε < t < ε. Dabei sei ε > 0 so klein gew¨ ahlt, dass die Spur von α in M liegt. Weil f in x

ein Minimum besitzt, ist

0 = ∇f(x

)

v = (f ◦ α)

(0) = d dt

(F ◦ α(t))

(F ◦ α(t))

= 2 · F ◦ α(0)

•

(F ◦ α)

(0)

= 2 · F(x

)

J

(x

) · v

= 2 · F(x

)

•

DF(x

)(v) .

Weil DF(x

) surjektiv ist, ist F(x

)

w = 0 f¨ ur alle w ∈ R

, also F(x

) = 0.

5.9. Schrankensatz

Sei B ⊂ R

offen, K ⊂ B kompakt und konvex, F : B → R

stetig differenzierbar und C := sup

kDF(z)k

. Dann gilt f¨ ur x, y ∈ K :

kF(x) − F(y)k ≤ C · kx − yk.

Beweis: Die Punkte auf der Verbindungsstrecke von x und y liegen in K . Nun sei f : [0, 1] → R

definiert durch f (t) := F x + t(y − x)

. Dann ist kF(x) − F(y)k = kf (1) − f (0)k = k

Z

f

(t) dtk

≤ Z

0

kf

(t)k dt = Z

0

kDF x + t(y − x)

(x − y)k dt

≤ kx − yk · Z

0

kDF x + t(y − x)

k

dt ≤ C · kx − yk.

5.10. Satz von der Umkehrabbildung

Sei M ⊂ R

offen, f : M → R

stetig differenzierbar. Ist x

∈ M , f (x

) = y

und det J

(x

) 6= 0, so gibt es offene Umgebungen U (x

) ⊂ M und V (y

) ⊂ R

, so dass gilt:

1. det J

(x) 6= 0 f¨ ur alle x ∈ U . 2. f : U → V ist bijektiv.

3. f

: V → U ist wieder differenzierbar.

4. F¨ ur x ∈ U und y = f (x) ist Df

(y) = (Df (x))

.

Beweis: Ist det J

(x) 6= 0, so nennt man f regul¨ ar in x. Die Funktionalma- trix J

(x) ist dann eine invertierbare Matrix, und man kann die Umkehrmatrix (J

(x))

bilden.

Sei L := Df (x

), k := kL

k

> 0 und 0 < c < 1/k. Weil f stetig differenzierbar ist, gibt es ein ε > 0, so dass gilt:

det J

(x) 6= 0 und kJ

(x) − J

(x

)k

< c f¨ ur x ∈ B

(x

).

Wir setzen U := B

(x

). Das ist eine (i.a. sehr kleine) offene, konvexe Umgebung von x

in M , und die Aussage (1) gilt auf U .

1. Schritt: Die fundamentale Ungleichung

F¨ ur w ∈ R

ist kL

wk ≤ kL

k

· kwk = k · kwk. Da jeder Vektor w ∈ R

die Gestalt w = Lv besitzt, folgt f¨ ur beliebige Vektoren v ∈ R

die Ungleichung

kLvk ≥ 1 k kvk.

Die Abbildung h := f − L : M → R

ist ebenfalls stetig differenzierbar, und es ist sup

x∈U

kDh(x)k

= sup

x∈U

kDf (x) − Lk

= sup

x∈U

kDf (x) − Df (x

)k

≤ c.

Nach dem Schrankensatz ist nun

kh(x) − h(y)k ≤ ckx − yk, f¨ ur alle x, y ∈ U.

Weil f (x) − f (y) = h(x) − h(y) + L(x − y) ist, folgt:

kf (x) − f (y)k ≥ kL(x − y)k − kh(x) − h(y)k

≥ 1

k kx − yk − ckx − yk

= 1 − ck

k kx − yk f¨ ur x, y ∈ U.

Dabei ist 0 < ck < 1, also auch 0 < 1 − ck < 1. Insbesondere ist (1 − ck)/k > 0.

2. Schritt: Die Injektivit¨ at von f auf U

Ist x 6= y, so ist kx − yk > 0, nach der fundamentalen Ungleichung also auch kf (x) − f (y)k > 0, d.h. f (x) 6= f (y).

3. Schritt: Die Stetigkeit der Umkehrabbildung

Sei V := f (U ), v

= f (u

) ein Punkt in V , ε > 0 und 0 < δ < (1 − ck)ε/k. Ist v = f (u) ∈ V mit kv − v

k < δ, so folgt aus der fundamentalen Ungleichung:

kf

(v) − f

(v

)k = ku − u

k ≤ k

1 − ck kv − v

k < k

1 − ck δ < ε.

4. Schritt: Die Offenheit von V = f (U ) Sei α := 1 − ck

2k . Dann ist 1 − ck

k − α = 2α − α = α.

Sei b

= f (a

) ∈ V ein beliebiger Punkt und r > 0 so gew¨ ahlt, dass B

(a

) ⊂⊂ U ist. Wir setzen ε := αr und wollen zeigen, dass B

(b

) ⊂ f B

(a

)

⊂ V ist.

Dazu sei y

∈ B

(b

) fest, aber beliebig, und g(x) := kf (x) − y

k. Die stetige Funktion g nimmt auf B

(a

) ihr Minimum an.

1. Es ist g(a

) = kf (a

) − y

k = kb

− y

k < ε = αr.

2. F¨ ur x ∈ ∂B

(a

) ist kx − a

k = r, also

g(x) ≥ kf (x) − b

k − kb

− y

k

> 1 − ck

k kx − a

k − ε

= 1 − ck

k r − αr = αr.

Also nimmt g sein Minimum in einem Punkt x

im Innern der Kugel B

(a

) an.

Dort wird auch kf (x) − y

k

minimal, und nach dem Lemma muss dann f (x

) = y

sein. Das bedeutet, dass y

in f (B

(a

)) liegt, was zu beweisen war.

5. Schritt: Die Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung

Jetzt beweisen wir, dass f

in jedem Punkt y

= f (x

) ∈ V differenzierbar ist.

Da f in x

differenzierbar ist, gibt es eine Darstellung f (x) = f (x

) + (x − x

) · ∆(x)

,

mit einer in x

stetigen Abbildung ∆ : U → M

( R ). Dann ist d(x) := det ∆(x) in x

stetig und d(x

) 6= 0. Es gibt also eine offene Umgebung von x

, auf der d(x) 6= 0 ist. Das bedeutet, dass ∆(x) dort invertierbar ist.

Die Menge G := GL

( R ) := {A ∈ M

( R ) : det(A) 6= 0} ist eine offene Teilmenge von M

( R ) und die Abbildung i : G → G mit i(A) := A

ist stetig, denn die Koef- fizienten von A

sind rationale Funktionen der Koeffizienten von A (Cramer’sche Regel). Also ist auch ∆

(y) := i(∆(f

(y))) = ∆(f

(y))

stetig in y

. Aus der Gleichung (f (x) − f (x

)) · (∆(x)

)

= x − x

folgt nun:

f

(y) = f

(y

) + (y − y

) · ∆

(y)

. Das liefert die Differenzierbarkeit von f

in y

und die Formel

Df

(y

) = (Df (x

))

. Damit ist der Umkehrsatz bewiesen.

5.11. Beispiele

A. Die Polarkoordinaten (x, y) = f (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ) haben wir schon an fr¨ uherer Stelle betrachtet. Es ist

det J

(r, ϕ) = det

cos ϕ −r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ

= r.

In jedem Punkt (r, ϕ) mit r > 0 und ϕ ∈ R ist f also lokal umkehrbar.

f : R

× [0, 2π) → R

\ {(0, 0)}

ist sogar global umkehrbar.

B. Sei f : R

→ R

definiert durch f (x, y) := (x

− y

, 2xy). Dann gilt:

J

(x, y) =

2x −2y

2y 2x

, also det J

(x, y) = 4(x

+ y

).

Damit ist det J

(x, y) 6= 0 f¨ ur (x, y) 6= (0, 0) und f ¨ uberall außerhalb des Nullpunktes lokal umkehrbar.

f ist aber nicht global umkehrbar, denn es ist z.B. f (−x, −y) = f (x, y).

C. Zylinderkoordinaten:

Sei G := {(r, ϕ, z) ∈ R

: r > 0, 0 < ϕ < 2π und z beliebig} und F

(r, ϕ, z) := (r cos ϕ, r sin ϕ, z).

Dann ist J

(r, ϕ, z) =





cos ϕ −r sin ϕ 0 sin ϕ r cos ϕ 0

0 0 1



 und det J

(r, ϕ, z) = r.

Also ist F

außerhalb der z-Achse ein lokaler Diffeomorphismus.

z

r

s

F

(r, ϕ, z)

x

ϕ

y

D. R¨ aumliche Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten):

Sei G := {(r, ϕ, ψ) : r > 0, 0 < ϕ < 2π und −

< ψ <

}, und F

: G → R

definiert durch

F

(r, ϕ, ψ) := (r cos ϕ cos ψ, r sin ϕ cos ψ, r sin ψ).

Dann ist r der Abstand vom Nullpunkt, ϕ der Winkel in der x-y-Ebene gegen die positive x-Achse (also die geographische L¨ ange) und ψ der Winkel des Radiusvektors gegen die x-y-Ebene (also die geographische Breite).

ψ

ϕ

r

(r cos ϕ cos ψ, r sin ϕ cos ψ, r sin ψ)

x

y z

Leider gibt es in der Literatur verschiedene Definitionen der Kugelkoordina- ten. Ebenso gebr¨ auchlich wie die obige Version ist die Abbildung

F e

(r, θ, ϕ) = (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ)

mit r > 0, 0 < θ < π und 0 < ϕ < 2π. Dabei ist θ der Winkel gegen die positive z-Achse, also θ + ψ = π/2, cos θ = cos(π/2 − ψ) = − sin(−ψ) = sin ψ und sin θ = sin(π/2−ψ) = cos(−ψ) = cos ψ. Die Reihenfolge der Koordinaten ist wichtig aus Gr¨ unden, die erst sp¨ ater erkl¨ art werden k¨ onnen. Bei beiden Versionen ist die Funktionaldeterminante positiv. Man findet in der Literatur auch Variationen der Kugelkoordinaten, bei denen dies nicht der Fall ist, was relativ unsinnig ist.

Im Falle der Abbildung F = F

ist θ

= ψ und

det J

(r, ϕ, ψ) = det





cos ϕ cos ψ −r sin ϕ cos ψ −r cos ϕ sin ψ sin ϕ cos ψ r cos ϕ cos ψ −r sin ϕ sin ψ

sin ψ 0 r cos ψ





= sin ψ · r

(sin

ϕ sin ψ cos ψ + cos

ϕ sin ψ cos ψ) + r cos ψ · r(cos

ϕ cos

ψ + sin

ϕ cos

ψ)

= r

sin

ψ cos ψ + r

cos

ψ = r

cos ψ.

F¨ ur r > 0 und −π/2 < ψ < π/2 ist tats¨ achlich det J

(r, ϕ, ψ) > 0 und F

ein lokaler Diffeomorphismus.