Die lineare Abbildung f : R

(1)

Dr. habil. Sebastian Petersen

Dr. Anen Lakhal Lineare Algebra f¨ ur

Ubungsblatt 12 ¨ Elektrotechniker/Informatiker 01.02.2016

Mechatroniker/Wirtschaftsingenieure Aufgabe 1

Die lineare Abbildung f : R

⁵

→ R

³

wird durch die folgende Matrix A von f bez¨ uglich der kanonischen Basen gegeben:

A =





3 −6 −3 −6 −2

0 0 1 3 0

1 −2 −1 −2 0





Man bestimme eine Basis des Kerns sowie eine Basis des Bildes von f und best¨ atige die Dimensionsformel.

Aufgabe 2

Die lineare Abbildung f : R

³

→ R

³

wird gegeben durch

f ( e ~

1

) = 2 e ~

1

+ e ~

2

+ e ~

3

, f ( e ~

2

) = e ~

1

+ e ~

2

, f ( e ~

3

) = e ~

1

+ e ~

3

.

Dabei sind e ~

₁

=



 1 0 0



 , ~ e

₂

=



 0 1 0



 , ~ e

₃

=



 0 0 1



 die kanonischen Basisvektoren des R

³

.

(a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von f bez¨ uglich der kanonischen Basis des R

³

.

(b) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns sowie eine Basis des Bildes von f und best¨ atigen Sie die Dimensi- onsformel.

(c) Wie lautet die Darstellungsmatrix von f bez¨ uglich der Basis

b ~

₁

=



 3 0 0



 , ~ b

₂

=



 0 1 0



 , ~ b

₃

=



 1 0 1



 .

Aufgabe 3

Gegeben sei die reelle 3 × 3-Matrix

A

_α

=





α + 1 α + 1 1

−α −α −1

α α − 1 0



 .

Man berechne das charakteristische Polynom der Matrix A

α

.