Lineare Abbildung

4.2 Matrizen

4.2.1 Lineare Abbildungen

Lineare Abbildung

Abbildung L : V → W zwischen Vektorr¨aumen

• additiv:

L(u + v) = L(u) + L(v)

• homogen:

L(λv) = λL(v)

insbesondere: L(0 V ) = 0 W , L( − v) = − L(v) Komposition linearer Abbildungen

Hintereinanderausf¨uhrung linearer Abbildungen S : U → V , T : V → W lineare Abbildung

T ◦ S : U → W, (T ◦ S)(u) = T (S(u))

Matrix

Rechteckschema mit m Zeilen und n Spalten

A = (a ij ) =



 

 

 

a ₁₁ a ₁₂ · · · a _1n a 21 a 22 · · · a 2n

... ... ...

a m1 a m2 · · · a mn



 

 

 

komponentenweise Definition von Operationen

C = A ± B ⇔ c ij = a ij ± b ij , B = λA ⇔ b ij = λa ij

Matrix einer linearen Abbildung

lineare Abbildung L : V 7−→ W zwischen Vektorr¨aumen mit Basen E = { e 1 , . . . , e n } und F = { f 1 , . . . , f m } eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren

L(e j ) = a 1,j f 1 + · · · + a m,j f m

lineare Abbildung der Koordinaten

w F = Av E ⇔ w i = X n

j=1

a i,j v j , i = 1, . . . , m

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Basiswechsel

Transformation der Koordinaten bei einem Basiswechsel E → E ⁰ v _E

= Av _E , e _k = X

j

a _jk e ⁰ _j

Bild und Kern

lineare Abbildung L : V → W

Kern L = { v ∈ V : L(v) = 0 } ⊆ V

Bild L = { w ∈ W : ∃ v ∈ V mit L(v) = w } ⊆ W dim V < ∞ = ⇒

dim V = dim Kern(L) + dim Bild(L)

Inverse Abbildung

L : V → W injektiv ⇔ Kern L = 0 _V lineare Umkehrabbildung

w 7→ v, w = L(v)

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