SS 2004
Prof.Dr. G. Nebe
Andreas Martin Blatt 2
Ubungen zur Linearen Algebra¨ Abgabe : Dienstag, 4.5.2004, vor den ¨Ubungen 1. Es seien α :M →N und β :N →O Abbildungen. Zeigen Sie:
(i) β◦α injektiv =⇒α injektiv.
(ii) β◦α surjektiv =⇒β surjektiv.
(iii) β◦α injektiv, α surjektiv =⇒β injektiv.
(iv) β◦α surjektiv, β injektiv =⇒α surjektiv.
(je 2 P.) 2. Es sei α :Rn → Rm eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, daß es genau eine MatrixA ∈ Rm×n gibt mit α = Lin(A). Und zwar ist A die Matrix, deren i-te Spalte das Bild des i-ten Einheitsvektors unter α ist. (4 P.) 3. Es sei M ∈ Rm×n eine gegebene Matrix. F¨ur feste i, j ∈ {1, . . . , m} und
a∈Rbetrachten wir die (m×m)−Matrix
A:=A(i, j, a) :=
1
. ..
1 a
. ..
1
,
wobeia der Eintrag in der i−ten Zeile und j−ten Spalte sei.
(i) Zeigen Sie, daß die Multiplikation vonM mitAvon links der Addition des a-fachen der j−ten Zeile von M zur i-ten Zeile von M entspricht.
(ii) Stellen Sie entsprechende MatrizenM(i, a) f¨ur das Multiplizieren einer Zeile vonM mit asowie V(i, j) f¨ur das Vertauschen zweier Zeilen von M auf und beweisen Sie dies.
(4 P.) 4. Bestimmen Sie alle Parabeln der Form y = ax2 +bx+c mit a, b, c ∈ R, welche durch die Punkte (1,0) und (2,2) gehen. (4 P.) 5. Bestimmen Sie die L¨osungsmenge des folgenden Gleichungssystems.
x1 +2x2 +x4 +x6 = 5
3x1 +6x2 +4x3 +3x4 +8x5 +23x6 = 59 x1 +2x2 +x3 +x4 +3x5 +7x6 = 19 2x1 +4x2 +3x3 +2x4 +6x5 +17x6 = 43
(4 P.) Die ¨Ubungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse:
www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/nebe/Vorl/la
Tutoriumsaufgaben:
1. Es sei f : A → B eine Abbildung, und ∼f sei die ¨Aquivalenzrelation aus der Tutoriumsaufgabe 2 von Blatt 1. Zeigen Sie, daß die Abbildung
f¯:M/∼f → Bildf, [m]∼f 7→ f(m) eine wohldefinierte Bijektion ist.
2. Bestimmen Sie die L¨osungsmenge des folgenden Gleichungssystems.
x1 +2x2 −x3 +4x5 = 2 x1 +4x2 −5x3 +x4 +3x5 = 1 3x1 +2x2 +5x3 +2x4 +2x5 = 12 2x1 −2x2 +10x3 +x4 −x5 = 11
