c) V :={p∈R[x] :Grad(p)≤2}, hp, qi:=p(α)·q(α) +p0(α)·q0(α) +p00(α)·q00(α) für einα ∈R

Prof. Dr. Jörg Winkelmann SS 2009

Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra II

Blatt 7 Aufgabe 1

Sei hx, yi := x^ty das kanonische Skalarprodukt im R³. Zeigen Sie, dass damit für alle v, w, y, z∈R³ die folgenden Identitäten gelten:

a) w×(y×z) =hw, zi ·y− hw, yi ·z

b) w×(y×z) +y×(z×w) +z×(w×y) = 0 c) hv×w, y×zi=hv, yihw, zi − hw, yihv, zi Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass h., .i in den folgenden Fällen ein Skalarprodukt auf dem jeweiligen Vek- torraumV ist:

a) V :=R²,

hx, yi:=x^t

µ 2 −1

−1 4

¶ y.

b) V :={p∈R[x] :Grad(p)≤n},

hp, qi:=

Z1

−1

p(x)q(x)dx.

c) V :={p∈R[x] :Grad(p)≤2},

hp, qi:=p(α)·q(α) +p⁰(α)·q⁰(α) +p⁰⁰(α)·q⁰⁰(α) für einα ∈R.

d) V :={S ∈M(n×n,R), S symmetrisch},

hS, Ti:=Spur(ST).

Aufgabe 3

Bestimmen Sie die darstellende MatrixM_A(B_i) der folgenden symmetrischen Bilinearfor- menB_i bezüglich der jeweiligen BasisA={a₁, . . . , a_n}, d.h. eine MatrixM_A(B_i), sodass

B_i(v, w) =x^tM_A(B_i)y gilt mitv= Pⁿ

i=1

a_ix_i undw= Pⁿ

i=1

a_iy_i.

a) V :={p∈R[x] :Grad(p)≤2}mit BasisA:={1, x, x²},

B₁(p, q) :=

Z1

−1

p(x)q(x)dx.

b) V :={p∈R[x] :Grad(p)≤1}mit BasisA:={1, x},

B₂(p, q) :=

Z1

0



 Z1

0

(x+y)p(x)q(y)dx



dy.

c) V :={p∈R[x] :Grad(p)≤2}mit BasisA:={1, x, x²},

B₃(p, q) :=p(α)·q(α) +p⁰(α)·q⁰(α) +p⁰⁰(α)·q⁰⁰(α) für einα ∈R.

d) V :={S ∈M(2×2,R), S symmetrisch} mit BasisA:={(^{1 0}_{0 0}), (^{0 0}_{0 1}), (^{0 1}_{1 0})}, B₄(S, T) :=Spur(ST).

Aufgabe 4

SeiV einn-dimensionaler Vektorraum überK ∈ {R,C},B :V×V →Keine symmetrische Bilinearform und seienv₁, . . . , v_m∈V, sodass die Matrix

M =





B(v₁, v₁) . . . B(v₁, v_m) ... . .. ... B(v_m, v₁) . . . B(v_m, v_m)





invertierbar ist.

Zeigen Sie: die Vektorenv₁, . . . , v_m sind linear unabhängig.

Abgabe: Montag, den 15.06.2009, bis 18:00 Uhr.

Hinweise: Bitte Namen und Übungsgruppe auf das Blatt schreiben. Maximal 2 Namen zusammen.