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Dr. habil. Sebastian Petersen

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Dr. habil. Sebastian Petersen

Dr. Anen Lakhal Lineare Algebra f¨ ur

Ubungsblatt 13 ¨ Elektrotechniker/Informatiker 08.02.2016

Mechatroniker/Wirtschaftsingenieure Aufgabe 1

B =

− √

2 3 − √ 2

0 2 0

− √

2 2 − √ 2

Man berechne

(a) das charakteristische Polynom von B,

(b) das Spektrum von B und eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 0.

Aufgabe 2

Gegeben sei die Matrix

A =

−4 −6 0 3 5 0 3 3 2

 .

Man bestimme eine Matrix B so, dass B

−1

AB eine Diagonalmatrix D ist und gebe auch D an.

Aufgabe 3

Gegeben sei die Matrix

A

α

=

1 − α 0 α

0 1 0

−α 0 1 + α

 , α ∈ R .

(a) Berechnen Sie alle Eigenwerte von A

α

.

(b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert den zugeh¨ origen Eigenraum.

(c) F¨ ur welche reellen α ist A

α

diagonalisierbar? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 4

Gegeben sei die Matrix

A = 1 0

a 1

, a ∈ R .

Zeigen sie durch vollst¨ andige Induktion:

A

n

=

1 0 na 1

.

Wie muss man a w¨ ahlen, damit A

n

f¨ ur jedes n ≥ 1 zwei linear unabh¨ angige Eigenvektoren besitzt?

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