Ubungsblatt Nr. 8 zur Vorlesung Quantenmechanik II ¨

Karlsruher Institut f¨ur Technologie WS 11/12 Institut f¨ur theoretische Festk¨orperphysik

Prof. Dr. Gerd Sch¨on, Dr. Michael Marthaler, Dr. Jens Michelsen 20.12.11 http://www.tfp.kit.edu/studium-lehre_415.php

Ubungsblatt Nr. 8 zur Vorlesung Quantenmechanik II ¨

25 Koh¨arente Zust¨ande

Gegeben seien die Operatorena^† undamit den Vertauschungsrelationen [a, a^†] = 1. Eine Darstellung dieser Algebra ist gegeben durch die Fock Zust¨ande |ni : a^†a|ni = n|ni. Der Grundzustand ist definiert durch a|0i= 0. Wir definieren den Verschiebeoperator:

D(α) =e^{αa†−α∗a}, (1)

wobei der Parameterα∈Ceine beliebige komplexe Zahl ist.

a) Zeigen Sie, dass der Verschiebeoperator die folgenden Eigenschaften hat:

i) D^†(α)D(α) =D(α)D^†(α) = 1.

ii) D(α)D(β) =e^{12(αβ∗−α∗β)}D(α+β).

iii) D^†(α)aD(α) =a+αundD^†(α)a^†D(α) =a^†+α^∗. iv) D(α) =e^−12|α|2e^αa†e^−α∗a.

v) e^iωta†aD(α)e^−iωta†a=D(αe^iωt).

[Hinweis:Viele Eigenschaften k¨onnen durch die folgenden Relationen (basierent auf der Baker-Campbell- Hausdorff Formel mit [X, Y] =c∈C)

e^X+Y =e^Xe^Ye^−12[X,Y], e^XY e^−X =Y + [X, Y], gezeigt werden.]

b) Wenden Sie den Verschiebeoperator auf den Grundzustand an,D(α)|0i ≡ |αi. Die Zust¨ande|αinennt man ’Koh¨arente Zust¨ande’. Schreiben Sie den transformierten Zustand |αi als eine Linearkombination von Fock-Zust¨anden und zeigen Sie, dass dieser Zustand die folgenden Eigenschaften hat:

i) |αiist ein Eigenzustand von dem Operatora, d.h.a|αi=α|αi, und der Erwartungswert vonn=a^†a ist gegeben vonhni ≡ hα|n|αi=|α|².

ii) Die Wahrscheinlichkeit die Quantenzahl n zu messen ist durch eine Poisson-Verteilung gegeben:

P_|αi(n) =|hn|αi|²=e^−|α|2|α|_n!²ⁿ =e^{−hni hni}_n!ⁿ.

iii) Die Unsch¨arferelation ist durch diese Zust¨ande minimiert, d.h. ∆x∆p=~/2, wobeix=p

~/2mω(a+a^†) undp=ip

m~ω/2(a^†−a).

26 Reduzierte Dichtematrix

Betrachten Sie zwei Spin-1/2-Teilchen in dem Singulett-Zustand.

a) Schreiben Sie die Dichtematrix ˆρin der Basis von|σ1, σ₂i, d.h.|+ +i,|+−i,| −+i,| − −i. ¨Uberpr¨ufen Sie explizit, dass es sich bei Ihrem Ergebnis um einen reinen Zustand handelt.

b) Nehmen Sie nun an, dass nurS~1als Messgr¨osse interessiert. Bestimmen Sie die reduzierte Dichtematrix indem Sie den zweiten Spin ’ausspuren’:ρ^red_σ

1σ₁⁰ =P

σ₂ρσ₁σ₂,σ₁⁰σ₂. Zeigen Sie, dass ˆρ^redeinen gemischten Zustand beschreibt (obwohl ˆρrein ist).

Bitte wenden . . .

27 Dichtematrix im thermischen Gleichgewicht

Gegeben sei der Hamilton-Operator f¨ur einen harmonischen Oszillator,H =~ωa^†a. Im thermischen Gleich- gewicht wird das System durch die Dichtematrix beschrieben,

ˆ ρ= 1

Ze^−βH, Z= Tr ˆρ, β= 1

k_BT. (2)

Die Dichtematrix beschreibt einen gemischten Zustand. Berechnen Sie die Matrixelemente hn|ˆρ|n⁰i, wobei

|ni:a^†a|ni=n|ni. Berechnen Sie auch den Mittelwerthni= Tr(ˆnˆρ).

28 Bewegungsgleichung der Dichtematrix im Jaynes-Cummings-Model:

Betrachten wir das Jaynes-Cummings-Model, H =~ω0

2 σ_z+~ωa^†a+~g(σ₊a+σ₋a^†). (3)

Die ersten beiden Terme des Hamilton-Operators haben die Eigenzust¨ande|σ, ni=|σi ⊗ |ni, wobeiσz|σi= σ|σi,σ=±, unda^†a|ni=n|ni. In dieser Basis hat die Dichtematrix ˆρdie Elementeρ_(σn),(σ⁰_n⁰₎=hσn|ρ|σˆ ⁰n⁰i.

Die Bewegungsgleichung der Dichtematrix ist durch die Liouville-Gleichung gegeben:

i~ρ˙ˆ= [H,ρ].ˆ (4)

Schreiben Sie die Bewegungsgleichung f¨ur die Elementeρ_(σn),(σ⁰_n⁰₎,

˙

ρ_(σn),(σ0n⁰)= 1 i~

X

(˜σ˜n)

H_{(σn),(˜σ˜n)}ρ_{(˜σ˜n),(σ}0n⁰)−ρ_{(σn),(˜σ˜n)}H_{(˜σ˜n),(σn)}

(5)

explizit aus. Berechnen Sie dazu die Matrixelemente des Hamilton-Operators, H(σn),(σ⁰n⁰) = hnσ|H|σ⁰n⁰i, und danach die Summe ¨uber ˜σund ˜n.