3. Zeitliche Entwicklung quantenmechanischer Zust¨ ande

QUANTENMECHANIK (T3)

Prof. Dieter L¨ust

Arnold-Sommerfeld-Zentrum f¨ur theoretische Physik Ludwig-Maximilians-Universit¨at M¨unchen

Eine Einf¨uhrung in die Quantenmechanik

Ubersicht Teil A¨

I. Grundbegriffe der Quantenmechanik

II. Einfache Anwendungen der Quantenmechanik III. Bewegung eines Teilchens im Zentralfeld

Ubersicht Teil B¨

IV. St¨orungstheorie f¨ur station¨are Probleme V. Zeitabh¨angige Probleme

VI. Materie im elektromagnetischen Feld VII. Der Spin

VIII. Relativistische Quantenmechanik Klein-Gordon-Gleichung

Dirac-Gleichung

Literatur:

A.S. Dawydow: Quantenmechanik Schwabl, Quantenmechanik Messiah, Quantenmechanik Nolting, Quantenmechanik

I. GRUNDBEGRIFFE DER QUANTENMECHANIK

1. Wellenfunktionen

1.1. Die Grenzen der klassischen Physik

MATERIE ELEKTROMAGNETISCHE STRAHLUNG

Teilchendynamik (Newton) Wellendynamik (Maxwell)

Ort, Impuls Feldgr¨oße

⇒deterministische Darstellung

Ab 1900: atomare und subatomareTeilchen und deren Wechselwirkungen k¨onnen nicht im Rahmen der klassischen Phyisk beschrieben werden.

A) Eletromagnetische Strahlung wird inQuantenabsorbiert und emittiert (Pho- tonen).

E= ¯hω, ω= 2πν

¯

h= 1.054·10⁻²⁷ergsec

E=pc, Energie

ω=kc, k: Wellenvektor p= ¯hk

a) Spektraldichte der Hohlraumstrahlungu(ω, T) =V⁻¹dE/dω klassisch:

- Rayleigh–Jeans–Gesetz:

u(ω, T) = kBT π²c³ω²

+∞Z

0

u(ω)dω=∞, Ultraviolettkatastrophe

- Wien (empirisch) Wiensches Strahlungsgesetz:

u(ω, T)≈Aω³exp −gω

T

(ω→ ∞)

quantentheoretisch:

- Planck (1900) Interpolationsformel

u(ω, T) = ¯h π²c³

ω³ exp

¯ hω kBT

−1

Ableitung durch die Hypothese, daß Energie von den W¨anden nur in ganzzahligem Vielfachen von ¯hωan die Strahlung abgegeben (und absorbiert) wird.

u(ω, T) =A X∞ n=0

n¯hωP(n¯hω)

P(n¯hω) = exp

−n¯hω kBT

P∞

n=0exp

−n¯hω kBT

b) Photoelektrischer Effekt

Maximale Energie der Elektronen:

Emax=1

2mv²≤¯hω−W, W : Austrittsarbeit c) Compton–Effekt

λ⁰−λ= 2π¯h

mec(1−cosθ)

λc= ¯h mec

Comptonwellen¨angeλc = 3.86·10⁻¹³m (me= 0.91·10⁻²⁷g)

B) Wellencharakter der Ausbreitungseigenschaften atomarer Teilchen:

de Broglie-Hypothese 1924.

Experimenteller Beweis: Davisson und Germer 1927 Beugung: Maxima bei

sinθ=2π¯h xp n

p= ¯hk= h

λ, E=¯h²k² 2m Materiewellen!

C) Quantisierung des Drehimpulses Bohrsches Atommodel 1913:

Postulate:

1. Elektronenbahn mit Drehimpulsn¯hist eine Kreisbahn: L=mrv=n¯h 2. elektromagnetische Strahlung bei ¨Ubergang in eine andere Bahn; ω =

E−E⁰

¯ h

Berechnung vom Radiusr, Geschwindigkeitv, EnergieE Kr¨aftegleichgewicht: Ze²

r² = mv²

r , v= nh mr r= 1

Zαλcn² v= (Zα)c1

n En=−1

2(Zα)²mc² 1 n² mc²= 0.51M eV α= e²

¯ hc = 1

137, Feinstrukturkonstante n= 1, Z= 1 : E1=−13.6eV Welle–Teilchen–Dualismus:

Monitore Beugungsbild

Folgerungen:

1. Teilchenbahn nicht genau definiert:

”Unsch¨arfe”→Wahrscheinlichkeitsbeschreibung

2. Meßprozeß und Beobachtbarkeitnicht unabh¨angig⇒gleichzeitige Mes- sung mehrerer Eigenschaften nur mit Einschr¨ankung m¨oglich.

1.2. Wellenpakete und Unsch¨arferelation

Postulat: Freie Bewegung eines Teilchens mit der EnergieEund dem Impulsp wird durch folgende Wellenfunktion beschrieben:

ψ(x, t) =Ae^i(kx−ωt) (de Broglie–Welle)

ω= E

¯

h, k= p

¯ h Phasengeschwindigkeit vp= ω

k = E p

E=cp

p²+m²c² ⇒ vp=c s

1 + m²c² p² ≥c

Mathematische Realisierung des Teilchencharakters bei Wellenbeschreibung durchWellenpakete

(i) ω = 0 :

f(x) =

+∞Z

−∞

dk g(k)e^ikx

umk=k0 konzentriert.

z.B. Gauß’sches Paket: g(k) =e^{−α(k−k0)2}

f(x) =

+∞Z

−∞

dke^{−α(k−k0)2}e^ikx=e^ik0x

+∞Z

−∞

dk⁰e^−αk0

2+ik⁰x, k⁰ =k−k0

f(x) =e^ik0x Z+∞

−∞

dk⁰e^−α(^k0−i2α^x)²e^−x

2 4α =

rπ

αe^ik0xe^−x4α2

stehende Welle

|f(x)|²= π αe^−x

2

2α → ∆x=√

2α umx= 0

|g(k)|²=e^{−2α(k−k0)2} → ∆k= 1

√2α umk=k0

⇒∆x·∆k= 1 (ii) ω =ω(k) :

propagierendeWelle e^ikxe^−iωt, ω=ω(k)

f(x, t) =

+∞Z

−∞

dk g(k)e^ikx−iωt, g(k) umk=k0 konzentriert

ω(k) =w(k0) + (k−k0)dω dk k0

+1

2(k−k0)²d²ω dk² k0

Gauß’sches Paket:g(k) = e^{−α(k−k0)2} ⇒

f(x, t) =e^{i(k0x−ω(k0)t)}√ π

α+it

2 d²ω dk² k0

−¹₂

·exp











−







x−^dω_dk

k0

·t 2

4

α+^it₂^d_dk^2ω2

k0

















Phasengeschwindigkeit vp= ω(k0) k0 ≥c Teilchen um x0= dω

dk k0

·t konzentriert

Gruppengeschwindigkeit vg=dω dk k0

< c Ausdehnung des Wellenpaketes:

(∆x)²=α+ 1 4α

d²ω dk² k0

t²

→Wellenpaket zerfließt

Teilchen mit Impulsp, Energiep²/2m

vg= dω dk k0

= p m = ¯hk

m

⇒ω(k) = ¯hk² 2m

∆x∆k≥1 ⇒ ∆x∆p≥¯h Heisenberg 1926 Ort–Impuls–Unsch¨arfebeziehung

1.3. Wellenfunktion und Vektorraum der Zust¨ande

Annahme: Der Zustand eines quantenmechanischen Systems eines Massepunk- tes ist vollst¨andig beschrieben durch einekomplexwertige Wellenfunktionψ(x, t) zu jeder Zeit.

Superpositionsprinzip: Falls ψ1 und ψ2 m¨ogliche Wellenfunktionen sind, dann ist auchψ=c1ψ1+c2ψ2 (c1, c2 ∈ C) eine m¨ogliche Wellenfunktion.

Postulat: Die Zust¨ande des quantenmechanischen Systems eines Massepunktes sind Elemente eines linearen Raumes H (Vektorraum) der Funktionen ψ mit den ¨ublichen Verkn¨upfungen der Addition und Multiplikation mit komplexen Zahlen (nach den Regeln eines Vektorraumes).

Bezeichnung: Wellenfunktion ψ(x)

Zustand ψ

Zustandsvektor |ψi

Interpretation: |ψ(x, t)|²dV gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen zur Zeitt im VolumenelementdV bei x zu finden. Dabei wird R

dV|ψ(x, t)|² = 1 angenommen (ψwird auf 1 normiert).

Metrik des Zustandsraumes:

Z

dV|ψ1+ψ2|²= Z

dV ψ^∗₁ψ1+ Z

dV ψ^∗₁ψ2

+ Z

dV ψ₂^∗ψ1+ Z

dV ψ₂^∗ψ2

HilbertraumH:

a) H ist linearer Vektorraum der meßbaren (|ψ| <∞) und normierbaren (|ψ|<∞) komplexwertigen Funktionen.

b) InH ist ein Skalarprodukt definiert durch:

hψ1|ψ2i= Z

dV ψ₁^∗(x)ψ2(x) komplexe Konjugation hψ1|ψ2i^∗=hψ2|ψ1i

Norm |ψ|=p

hψ|ψi Cauchy-Schwarzsche Ungl. |hψ1|ψ2i| ≤ |ψ1| · |ψ2| Dreiecksungleichung |ψ1+ψ2| ≤ |ψ1|+|ψ2| Nullvektor hψ|ψi= 0→ |ψiNullvektor Orthogonalit¨at ψ1⊥ψ2 wennhψ1|ψ2i= 0

c) H ist vollst¨andig, d.h. jede unendliche Folge von Vektorenψn mit:

|ψn−ψm| →0 (n, m→ ∞) besitzt einen Grenzwert

ψ= lim

n→∞ψn, ψ∈H

Entwicklungssatz: Es gibt Systeme von abz¨ahlbar vielen, paarweise orthog- onalen, normierbaren Vektoren|ϕni, d.h.

hϕm|ϕni=δm,n f¨ur allem, n, die einevollst¨andigeBasis in H bilden.

Jede Zustandswelleψ∈H l¨aßt sich in diese Basis entwickeln:

|ψi=X

n

cn|ϕni.

Die Entwicklungskoeffizienten sind gegeben durch:

cn =hϕn|ψi. Bezeichnung:

Der Satz der EntwicklungskoeffizientencnheißtDarstellungvon|ψiin der Basis {|ϕni}.

Interpretation:

Sei

ψ(x) =X

n

cnϕn(x), Z

|ψ(x)|²dV = 1.

Dann folgt aus:

|ψ(x)|²=X

m

X

n

c^∗_mcnϕ^∗_m(x)ϕn(x)

=X

n

|cn|²|ϕn(x)|² + gemischte Terme,

daß|cn|²die Wahrscheinlichkeit ist, den Zustand|ϕniin|ψianzutreffen.

2. Quantenmechanische Messungen

2.1. Erwartungswerte von Ort und Impuls

Bezeichnung: Erwartungswert = Mittelwert in gegebenen Zustand

Observable = Meßgr¨oße

Ort:

hxi= Z

x|ψ(x)|²dV

=hψ|xψi Impuls:

Wellenfunktion eines freien Teilchens mit dem Impulsp:

ψp(x) = 1

(2π)^3/2e^h¯ip·x, p= ¯hk,

ψ(x) =

Z d³k

(2π)^3/2ψ(k)eˆ ^ik·x, ψ(ˆk) =

Z d³x

(2π)^3/2ψ(x)e^−ik·x.

|ψ(k)|² ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Wellenzahlen.

hpi=hψ|pψi

= Z

d³k¯hk|ψ(k)ˆ |²

= Z

d³kψˆ^∗(k) ¯hk

Z d³x

(2π)^3/2 ψ(x)e^−ik·x

= Z

d³kψˆ^∗(k)

Z d³x

(2π)^3/2 ψ(x)i¯h∇xe^−ik·x

= Z

d³x

Z d³k

(2π)^3/2 ψˆ^∗(k)e^−ik·x(−i¯h∇x)ψ(x), hpi=R

d³x ψ^∗(x) (−i¯h∇)ψ(x)

Impulsoperator: p=−i¯h∇x

Ortsoperatoren im Impulsraum:

hxi= Z

d³k ψˆ^∗(k) (i¯h∇k) ˆψ(k) x=i¯h∇k

Verallgemeinerung:

Erwartungswert ganzer rationaler FunktionenF1(x) undF2(p):

hF1(x)i= Z

d³x ψ^∗(x)F1(x)ψ(x)

hF2(p)i= Z

d³x ψ^∗(x)F2(−i¯h∇x)ψ(x)

hEi=hp²

2m+V(x)i

= Z

d³x ψ^∗(x)h

−¯h²

2m ∇²x+V(x)i ψ(x)

2.2. Operatoren physikalischer Gr¨oßen

Def.: Der OperatorAist auf einer Funktionsmannigfaltigkeit{ψ}definiert, wenn eine Vorschrift A gegeben ist, die jedem ψ aus{ψ}ein ψ⁰ aus {ψ}zuordnet mit:

ψ⁰=A ψ.

Superpositionsprinzip:

A(c1ψ1+c2ψ2) =c1Aψ1+c2Aψ2, wobeiψ1, ψ2Zust¨ande inH,c1, c2 ∈ C.

→in der Quantenmechanik gibt es nur lineare Operatoren

Exkurs ¨uber lineare Operatoren

a) Multiplikation mit komplexen Zahlen(λA)ψ=λ Aψ

b) Addition (A+B)ψ=Aψ+Bψ

c) Multiplikation (BA)ψ=B (Aψ)

d) Einheitsoperator1 1ψ=ψ e) Inverser OperatorA⁻¹ A⁻¹Aψ=ψ

f) Adjungierter OperatorA⁺ hψ|A⁺φi=hA⁺ψ|φi

Z

dV ψ^∗ (Aφ) = Z

dV (A⁺ψ)^∗ φ

Produkt (AB)⁺=B⁺A⁺

g) Selbstadjungierter (hermitescher)

Operator A=A⁺

⇒ hψ|Aψi= Z

dV ψ^∗ A ψ

= Z

dV (Aψ)^∗ ψ

∈R (d.h. reell)

h) Kommutator [A, B] =AB−BA

i) Projektor

Def.: Ein OperatorP, der auf einen UntervektorraumU von H projeziert, heißt Projektor.

U sei durch die Basis|lni, n= 1..N, aufgespannt. Dann gilt:

P|ψi=X

n

|lnihln|ψi

⇒ P =X

n

|lnihln|

⇒ P =P⁺, P=P²

Asei der Operator einer physikalischen Gr¨oße Forderung: Der Erwartungswerthψ|Aψiist reell.

⇒ A=A⁺ (hermitesch)

Postulat: Jede Meßgr¨oße der Quantenmechanik ist in eineindeutiger Weise ein linearer, hermitescher Operator im Hilbertraum der Zust¨ande zuge- ordnet.

Produkte von hermiteschen Operatoren

Satz: Das Produkt AB hermitescher Operatoren A und B ist hermitesch, falls [A, B] = 0.

Beweis : (AB)⁺=B⁺A⁺=AB ⇔ [A, B] = 0

Aus zwei nicht vertauschbaren hermiteschen OperatorenA und B lassen sich hermitesche OperatorenS undGkonstruieren:

S= 1

2(AB+BA) G=i(AB−BA) Produkte von Orts- und Impulsoperatoren:

a) Vertauschungsrelationen [xi, xj] = 0

[pi, pj] = 0

[xi, pj] =i¯hδi,j → Unsch¨arferelation Beweis:

[xi, pj] =−i¯h xi

∂

∂xj − ∂

∂xj

xi

ψ

=i¯h xi ∂

∂xj

ψ−xi ∂

∂xj

ψ+δi,jψ

=i¯h δi,j ψ

b) Drehimpulseines Massenpunktes mit Impulsp: L=x×p, Li=ijk xj pk

Hermitizit¨at:

L⁺_i =ijk (xjpk)⁺

=ijk pkxj

=ijk (−i¯hδk,j+xjpk)

=Li

Vertauschungsrelationen:

[Li, Lj] =i¯h ijk Lk

[L1, L2] =i¯h L3

[L1, L1] = 0

2.3. Eigenzust¨ande und Eigenwerte von Operatoren

Gegeben sei ein Zustand|ψi. Untersuchen der quadratischen Abweichung vom Mittelwerthψ|A|ψi=hAides hermitischen OperatorsA:

∆A=A− hAi

Mittlere quadratische Abweichung einer physik. Gr¨oße:

h(∆A)²i=hψ|(A− hAi)²|ψi ≥0 Welcher Zustand|ψierf¨ullth(∆A)²i= 0 ?

Scharfer Zustand

h(∆A)²i= 0 =⇒(A− hAi)|ψi= 0 ObservableAhat scharfen Wert im Zustandψ

Def.: Zust¨ande|ψiund komplexe Zahlenλ, die der GleichungA|ψi=λ|ψi gen¨ugen, heißen Eigenzust¨ande bzw. Eigenwerte des OperatorsA.

Bezeichnungen: Die Gesamtheit der Eigenwerte heißtEigenwertspektrum.

Es kann diskret oder/und kontinuierlich sein. Eigenwerte mit r linear un- abh¨anigen Eigenzust¨anden heißenr-fach entartet.

Satz.: IstAhermitesch, so sind die Eigenwerte rell und die Eigenzust¨ande orthogonal.

Beweis:

hψ|Aψi=λhψ|ψi=hAψ|ψi= (hψ|Aψi)^∗=λ^∗hψ|ψi

A|ψni=λn|ψni ⇒

hψ1|Aψ2i − hAψ1|ψ2i= (λ2−λ1)hψ1|ψ2i= 0 λ16=λ2⇒ hψ1|ψ2i= 0

Bei Entartung vonλn (r-fach) ist die Wahl eines orthonormierten Systems vonrEigenfunktionenψn,l (l= 1..r) mitAψn,l=λnψn,l m¨oglich.

Eigenschaften des EigenwertproblemsA|ni=λn|ni,A=A^† Orthonormierung:

hn|mi=δn,m diskr. Spektrum

=δ(n−m) kont. Spektrum Vollst¨andigkeit:

X

n

|nihn|=1 |nihn|ist Projektor

⇒Eigenvektoren sind Basis Entwicklung von Zust¨anden:

|ψi=X

n

cn|ni diskr. Spektrum cn=hn|ψi

|ψi= Z

dn c(n)|ci kont. Spektrum c(n) =hn|ψi

|ψi=X

n

cn|ni+ Z

dm c(m)|mi

f¨ur Operatoren mit diskr. u. kont. Spektrum Operatordarstellung bei kont. Eigenbasis:

A= Z Z

dm dn |nihn|A|mihm|

= Z Z

dm dn |niδ(n−m)λ(n)hm|

= Z

dn λ(n)|nihn| Entwicklung von Operatoren:

hn|A|mi=λnδnm (Matrixelement) A=X

n

λn|nihn|=X

n

X

m

|nihn|A|mihm|

Darstellung des OperatorsAin (diskr.) Eigenbasis

f(A) =X

n

f(λn)|nihn| z.B.A²=X

n

λn|nihn| ·X

m

λm|mihm|

=X

n

X

m

λnλm|niδnmhm|=X

n

λ²_n|nihn| Eigenwertprobleme

Beispiele:

a) Eigenzust¨ande des Impulsoperatorspin einer Dimension:

p|pi=p|pi ⇔ −i¯h d

dxψp(x) =pψp(x)

⇒ψp(x) = 1

√2πexp(i

¯ hpx)

Das erf¨ullen alle reellenp⇒kont. EW–Spektrum σk(p) ={−∞ ≤p≤+∞}

Normierung:

Z∞

−∞

dx ψ^∗_p(x)ψp⁰(x) =δ(p−p⁰)



 Z∞

−∞

e^ikxdx= 2πδ(k)





b) Eigenzust¨ande des Ortsoperatorsxin einer Dimension:

x|xi=x|xi ⇔i¯hd

dxψx(p) =xψx(p)

⇒ψx(p) = 1

√2πexp(−i

¯ hpx)

ebenfalls kontinuierl. EW–Spektrum σk(x) ={−∞ ≤x≤+∞}

Normierung:

Z∞

−∞

dp ψ^∗_x(p)ψx⁰(p) =δ(x−x⁰)

Es ist ψp(x) = (ψx(p))^∗= (hp|xi)^∗ ⇒ ψp(x) =hx|pi Eigenzust¨ande|pibzw. |xibilden vollst¨andige Basis

Ortsdarstellung: Basis{|xi}:

|ψi= Z

dx|xihx|ψi= Z

dx ψ(x)|xi

(Falls giltR

dx|xihx|=1 wie vorausgesetzt)

Operatordarstellung in{|xi}Basis (x–Darstellung):

A= Z

dx Z

dx⁰|x⁰ihx⁰|A|xihx| hx⁰|A|xi: Matrixelemente

Beispiel Potential: hx⁰|V(x)|xi=V(x)δ(x−x⁰) Impulsdarstellung: Basis{|pi}:

|ψi= Z

dp|pihp|ψi= Z

dp ψ(p)|pi

Beispiel kinetische Energie:

hp| p²

2m |p⁰i= p²

2mδ(p−p⁰)

2.4. Unbestimmtheitsrelation

Def: Im Zustandψhat die physikalische Gr¨oßeAden Wertλ, wennhAi=λ undh(∆A)²i= 0 (∆A=A− hAi) .

Satz:Ahat genau den Wertλim Zustand ψ, wennλEigenwert zuA ist undψEigenzustand.

Beweis:

SeiA|ni=λn|ni

h(∆A)²i=hψ|(A− hAi)²|ψi

=X

n

hψ|(A− hAi)²|ψi

=X

n

(λn−λ)²(hn|ψi)²= 0

hn|ψi= 0 f¨urn=n0 ⇒ λ=λn0

Satz: Zwei Gr¨oßenAundBmit [A,B]=iC k¨onnen nicht simultan scharfe Werte haben, fallsC6=0. Es gilt die Unsch¨arferelation:

h(∆A)²i · h(∆B)²i ≥1 4hCi² Zum Beispiel: A=x, B=p

⇒ h(∆x)²ih(∆p)²i ≥ ¯h² 4 Das ist die Heisenbergsche Unsch¨arferelation.

Beweis:

|φi= (µ∆A−i∆B)|ψi, µ∈R hφ|φi=hψ|(µ∆A+i∆B)(µ∆A−i∆B|ψi

=µ²h(∆A)²i+h(∆B)²i −µih[∆A,∆B]i

=µ²h(∆A)²i+h(∆B)²i+µhCi

=h(∆A)²i

µ+ hCi 2h(∆A)²i

2

+h(∆B)²i − hCi² 4h(∆A)²i≥0 F¨ur µ=− 2h(∆A)^hCi2i folgt die Behauptung.

Zwei Eigenwerte sind genau dann in jedem Zustand ψ simultan scharf meßbar, d.h. h(∆A)²i = 0 und h(∆B)²i = 0, wenn A und B vertauschen, [A,B]= 0.

F¨ur welche Zust¨ande gilt das Gleichheitszeichen?

|φi=−

hCi∆A

2h(∆A)²i+i∆B

|ψi= 0

Ort und Impuls: ∆A=x−x0, C= ¯h

∆B=−i¯h ∂

∂x−p0

⇒

x−x0

2h(∆x)²i+ ∂

∂x −ip0

¯ h

ψ(x) = 0 Differentialgleichung

ψ(x) =

2πh(∆x)²i−1/4

exp

−(x−x0)² 4h(∆x)²i+ip0x

¯ h

In diesen Zust¨anden gilt:

h(∆x)²ih(∆p)²i= ¯h² 4

2.5. Bestimmung des Zustandes eines quantenmechanischen Sys- tems

Postulat: Der Zustand eines quantenmech. Systems ist durch die Werte einesvollst¨andigenSystems unabh¨angiger physikalischer Gr¨oßen, deren Oper- atoren miteinander vertauschen, festgelegt. Die Werte sind die Eigenwerte der Operatoren in diesem Zustand.

Def.: Ein Satz vertauschbarer Operatoren ist vollst¨andig, wenn die simul- tanen Eigenzust¨ande eindeutig bestimmt sind, d.h. wenn der Satz der zuge h¨origen Eigenwerte nicht entartet ist.

Im allgemeinen gibt es verschiedene vollst¨andige S¨atze von Operatoren z.B. freies Teilchen:

a) Impulskomponentenp1, p2, p3

b) E, DrehimpulsquadratL²undeineProjektion des Drehimpulses auf eine Achse (meist z)Lz.

Bezeichnung: Im Falle des diskreten Spektrums bilden die Eigenwerte einen vollst¨andigen Satz vonQuantenzahlen.

Wiederholung:

Zustandsvektoren im Hilbertraum:

Rechtsvektoren |ψi HR bra

Linksvektoren hΦ| HL ket

Skalarprodukt: AbbildungHL·HR → C

hΦ|ψi

Basis: |φni, hϕn|

hϕm|ϕni=δm,n

|ψi=X

n

cn |ϕni Darstellung von|ψi hψ|=X

n

c^∗_n hϕn|

⇒ hϕn|ψi=X

m

cm hϕn|ϕmi

=cn

c^∗_n=hψ|ϕni Operator:

A : |ψi HR → |ψ⁰i HR

hψ|HL → hψ⁰| HL

Darstellung von A: A HR⊗HL

A=X

n

X

m

Anm|ϕnihϕm|

A|ψi(HR⊗HL)·HR HR

hψ|A HL·(HR⊗HL) HL

MatrixdarstellungAnm: Anm=hϕn|A|ϕmi Einheitsoperator: Anm=δn,m ⇒ 1=P

n|ϕmihϕn| A|ψi=AX

l

cl|ϕli

=X

n

X

m

X

l

Anmcl|ϕnihϕm|ϕli

=X

n

X

m

Anmcm|ϕni

|ψ⁰i=P

nc⁰_n|ϕni, c⁰_n =Anmcm

→Matrizenmultiplikation Basiswechsel:

|ψi=X

n

cn|ϕni

=X

n

˜ cn|ϕ˜ni

|ϕ˜ni=X

m

Unm|ϕmi hϕ˜n|=X

m

U_nm^∗ hϕm| hϕ˜n|ϕ˜mi=X

k

X

l

hϕl|ϕkiU_nl^∗Umk

=X

k

U_nk^∗ Umk

=δn,m

⇒ X

k

U_nk^∗ Umk=δn,m

⇒ U⁺U = 1 Unit¨are Matrix (U⁻¹=U⁺)

⇒ ˜cn=Unmcm, c˜^∗_n=c^∗_mU_nm⁺ (Multiplikation mit unit¨arer Matrix)

Operator: A˜nm=U_nl⁺AlkUkm, A˜=U⁺AU Eigenwertproblem: A|ni = λn|ni

λn - Eigenwert, |ni- Eigenvektor hm|ni=δm,n → Basis

A=X

m

X

n

Anm|ϕnihϕm|

|ni=X

m

Unm|ϕmi Darstellung in Eigenbasis:

A=X

m

X

n

|nihn|A|mihm|

=X

n

λn|nihn|

⇒ λnδn,m=U_nl⁺AlkUkm

(Diagonalisierung von(Alk))

Ubergang von der Eigenbasis¨ |nivonAin die Eigenbasis|n˜ides OperatorsB:

|ψi=X

n

cn|ni

|ψi=X

n

˜ cn|n˜i cn =Unmcm

OperatorA: Eigenfunktionen|ϕλni

Impulsoperator ˆp: Eigenwertep hx|pi=

Z

dx⁰ δ(x−x⁰) 1

√2π e^ihp¯x0

= 1

√2π e^ipxh¯

3. Zeitliche Entwicklung quantenmechanischer Zust¨ ande

3.1. Schr¨odingergleichung

Wellenpaket: ~k=_¯h^~p, ω =^E_¯h^~p = _2m¯^~p2_h ψ(~r, t) =

Z

d³p g(p)e^{i(h1¯~r~p−tEp¯h )} i¯h ∂

∂tψ(~r, t) = Z

d³p g(p)Ep e^{i(h1¯~r~p−tEph¯ )}

= Z

d³p g(p) 1 2m

¯ h

i5~²2

e^{i(h1¯~r~p−tEph¯ )}

= pˆ²

2m ψ(~r, t) Naheliegende Verallgemeinerung:

i¯h ∂

∂tψ(~r, t) =h

−¯h²

2m5~²r+V(~r)i ψ(~r, t) f¨ur ein Teilchen mit der Massemund dem PotentialV(~r).

Postulat: Die Zeitentwicklung eines Zustandsψist gegeben durch die Diffenren- tialgleichung 1.Ordnung:

i¯h _∂t^∂ ψ(t) = H(t)ψ(t).

Der lineare, hermitesche OperatorH heitHamiltonoperator(entspricht der Hamiltonfunktion der klassischen Mechanik).

Satz: Die Zeitentwicklung erfolgt so, daß die Metrik invariant ist, d.h.:

hψ(t)|Φ(t)i=hψ(t0)|Φ(t0)i. Speziell: hψ(t)|ψ(t)i= 1, R

dx |ψ(x, t)|²= 1 Beweis:

i¯h ∂

∂thψ|Φi=−hHψ|Φi+hψ|HΦi

=−hψ|H⁺Φi+hψ|HΦi

= 0 Wahrscheinlichkeitsdichte

ρ(~r, t) =ψ^∗(~r, t)ψ(~r, t)

∂

∂tρ(~r, t) +div~j= 0 ~j : Wahrscheinlichk.stromdichte

~j= ¯h

2mi(ψ^∗∇ψ−ψ∇ψ^∗) Beweis:

∂

∂tψ^∗ψ=ψ^∗ ∂

∂tψ+ψ∂

∂tψ^∗

= 1 i¯hψ^∗

~p² 2m+V

ψ− 1

i¯hψ ~p²

2m +V

ψ^∗

= i i¯h

~ p

2m(ψ^∗~pψ−ψ~pψ∗)

=− ¯h

2mi∇(ψ^∗∇ψ−ψ∇ψ^∗)

=−div~j

3.2. Station¨are Zust¨ande

Voraussetzung Hzeitunabh¨angig _∂t^∂H= 0 HEnergieoperator

Die m¨oglichen Eigenwerte vonH sind Energieeigenwerte. Das Spektrum des OperatorsH(also die Menge der Energieeigenwerte) kann diskret und/oder kontinuierlich sein.

H|ni=En|ni H=X

n

En|nihn|

Separation der Variablen

Zeitentwicklung: |ψ(t)i=X

n

cn(t)|ni

⇒X

n

i¯h∂

∂tcn(t)|ni=X

n

cn(t)H|ni

=X

n

cnEn|ni

⇒ i¯h∂

∂tcn(t) =Encn

cn(t) =ane^−iωnt , ωn=En

¯ h

Erwartungswerte im Zustand|ψn(t)i=e^−iωnt|ni hAi=hψn(t)|A|ψn(t)i

=e^iωnthn|A|nie^−iωnt

=hn|A|ni

Erwartungswerte zeitunabh¨angig⇒ψn(t) station¨areZust¨ande.

Grundzustand (tiefste Energie) E0, ψ0

Angeregte Zust¨ande En ≥E0

Energieniveaus

3.3. Extremaleigenschaften der Energieeigenwerte

H, EigenwerteEn, Eigenzust¨ande|ni

H|ni=En|ni hn|mi=δn,m

Satz 1:Minimaleigenschften des Grundzustandes

E0=minψ{hψ|H|ψi}, hψ|ψi= 1 Beweis:

hψ|H|ψi=X

n

hψ|H|nihn|ψi=

=X

n

Enhψ|nihn|ψi ≥E0

X

n

hψ|nihn|ψi

⇒ hψ|H|ψi ≥E0

Satz 2: Extremaleigenschaften angeregter Zust¨ande En0 =minψ{hψ|H|ψi}, hψ|ψi= 1

hψ|ii= 0 , i= 0, .., n0−1 kinetische Energie:

hp² 2mi= ¯h

2m Z

|∇ψ|²d³x≥0 ψ(~x) soll m¨oglichst kleine ¨Anderung haben

potentielle Energie:

hVi= Z

ψ^∗(x)Vψ(x)dx

|ψ|² groß im Bereich mit kleinemV

V(x)

3.4. Zeitliche ¨Anderung der Erwartungswerte

ObservableA, Erwartungswerthψ|A|ψi=hAi d

dthAi=hψ|∂

∂tA|ψi+h∂

∂tψ|A|ψi+hψ|A|∂

∂tψi,

i¯h∂

∂t|ψi=H|ψi

=hψ|∂

∂tA|ψi+hψ|−1

i¯hH A|ψi+hψ|A1 i¯hH|ψi

=hψ|∂

∂tA+ 1

i¯h[A,H]|ψi ⇒ dtdA= ∂

∂tA+ 1i¯h[A,H]

Def: Eine ObservableA, die nicht explizt von der Zeit abh¨angt _∂t^∂ A= 0 und mit dem Hamiltonoperator vertauscht ([A,H] = 0) heißt”Konstante der Bewegung”. Der ErwartungswerthAi in einem beliebigen Zustand ist zeitun- abh¨angig.

Bsp.: Bewegung eines Teilchens in einer Dimension H= p²

2m+V(x), [x,p] =i¯h1, [x,p²] = 2i¯hp dx

dt = 1

ih[x,H] = p m dp

dt = 1

i¯h[p,H] =−dV dx

⇒ md²x

dt² =−dV dx

Das sieht zwar genau wie eine klassische Bewegungsgleichung aus, ist aber eine Operatorgleichung.

Erwartungswert und Entwicklung vonx umx0=hxi, ∆x=x−x01.

md²

dt²x0=−hdV

dxi=−dV(x0) dx0 −1

2

d³V(x0)

dx³₀ h(∆x)²i mit

dV

dx = dV(x0) dx0

1+d²V(x0)

dx²₀ ∆x+1 2

d³V(x0) dx³₀ ∆x² N¨aherungsweise klassisch, falls gilt:

dV dx0

1

2

d³V dx³₀

h(∆x)²i und

f¨ur klassische Beschreibung muß weiterhin gelten:

hp²

2mi= hpi²

2m ⇒ h(∆p)²i hp²i Die klassische Beschreibung ist m¨oglich, wenn das Potential glatt

d³

dx³V klein und die kinetische Energie groß ist.

3.5. Quasiklassische N¨aherung

Beschreibt den ¨Ubergang von der Quantenmechanik zu klassischen Mechanik.

(Analogie: ¨Ubergang von der Wellenoptik zur Strahlenoptik) Wellenfunktion eines Teilchens

ψ(~r, t) =e^h¯iS(~r,t), S(~r, t) komplexe Funktion

⇒

−∂S

∂t = 12m(∇S)²+V(~r)− i¯h 2m∇²S

klassischer Limes ¯h→0

→Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung der Wirkungsfunktion.

S0(~r, t) = Zt

t0

L(~r,d~r

dt⁰, t⁰)dt⁰ L(~r,d~r

dt⁰, t⁰) Lagrangefunktion (Bahnkurve eines Teilchens ist in der klassischen Mechanik normal zur Fl¨ache S0=const.)

Impuls ~p=∇S0, Energie E=−∂S0

∂t klassische N¨aherung gut f¨ur

¯

h∇²S(∇S)² 1

2π dλ

dx 1 ⇔ p³m¯h dV

dx

mit p=p

2m(E−V) p

¯ h= 2π

λ station¨are Zust¨ande:

S(~r, t) =σ(~r)−Et Entwicklung vonσ(~r) nach ¯h:

σ=σ0+¯h iσ1+

¯h i

2

σ2+· · ·

1

2m(∇σ)²+V(~r)−E− i¯h

2m∇²σ = 0

⇒gekoppeltes Gleichungssystem:

1

2m(∇σ0)²+V(~r)−E= 0 1

m(∇σ0)(∇σ1) + 1

2m∇²σ0= 0

(∇σ1)²+ 2(∇σ0)(∇σ2) +∇²σ1= 0, usw.

Bsp.: 1 Dimension dσ0

dx =±p

2m(E−V(x))

⇒σ0(x) =± Zx

x0

p2m(E−V(x))dx

dσ1

dx =σ₁⁰ =−1 2

σ⁰⁰₀ σ₀⁰ =−1

2

∂

∂x(lnσ₀⁰)

⇒σ1=−1

2ln(σ₀⁰) +const.

Wellenfunktion bis 0(¯h²) ψ(x) = 1

p|p|



c1exp



 i

¯ h

Zx

0

p(x⁰)dx⁰



+c2exp



−i

¯ h

Zx

0

p(x⁰)dx⁰









Impuls p(x) =p

2m(E−V(x)) =σ⁰₀

(1) klassisch erlaubter Bereich E > V(x) p(x) ist reell.

⇒ψ(x) = A

√psin



1

¯ h

Zx

0

p(x⁰)dx⁰+const.





⇒ |ψ(x)|² ∼ 1 p²

(2) Umkehrpunktexi : E=V(xi) → p(xi) = 0

|ψ(x)| → ∞ f¨urx→xi

Quasiklassische N¨aherung ist bei kleinen Impulsen unbrauchbar. Das erfordert

die L¨osung der exakten Schr¨odingergleichung.

1 2π

dλ

dx 1 ⇒ |x−xi| λ

4π N¨aherung g¨ultig (3) klassisch verbotener Bereich beiE < V(x)

⇒ p(x) imagin¨ar p(x) =ik(x)

ψ(x) = 1 p|p|



c₁exp



 i

¯ h

Zx

0

p(x⁰)dx⁰



+c2exp



−i

¯ h

Zx

0

p(x⁰)dx⁰









Wellenfunktion nimmt in den verbotenen Bereich hinein exponentiell ab. F¨ur Anschlußbedingungen i.a. exakte L¨osung bei den Umkehrpunkten n¨otig.

II. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK

4. Eindimensionale Probleme

4.1. Separation der dreidimensionalen Schr¨odingergleichung

Teilchen der Massem, PotentialV(~x) Sei

V(~x) = V1(x1) +V2(x2) +V3(x3). So kann die Schr¨odingergleichung

i¯h∂

∂tψ = −¯h²

2m (∂₁²+∂₂²+∂₃²)ψ + (V1+V2+V3)ψ durch einen Produktansatz gel¨ost werden:

ψ(~x, t) = ψ⁽¹⁾(x1, t) · ψ⁽²⁾(x2, t) · ψ⁽³⁾(x3, t)

⇒Eindimensionale Eigenwertprobleme h−¯h²

2m∂_i²+Vi(xi)i

ψ_n⁽ⁱ⁾_i = Eni ψ_n⁽ⁱ⁾_i, i= 1,2,3 Istψni(xi) ein vollst¨andiges Sytem von Eigenzust¨anden, so ist

ψn1n2n3(~x) =ψ_n⁽¹⁾₁(x1)ψ_n⁽²⁾₂(x2)ψ⁽³⁾_n3(x3) ein vollst¨andiges System.

ψ(~x, t) =e^−iEh¯t Y3 i=1

ψn⁽ⁱ⁾i(xi) E=En1+En2+En3

4.2. Freie Bewegung

V(x) = 0 (const.)

d²

dx² ψ(x) =−2mE

¯

h² ψ(x)

ψ(x) =C1e p−^2mE

¯ h2 x

+C2e⁻ p−^2mE

¯ h2 x

E <0 ψ w¨achst exponentiell

⇒ C1, C2= 0 → ψ(x) = 0 E >0

ψ(x) =C1sin(kx) +C2cos(kx), k=

r2mE

¯ h² de-Broglie-Wellen

Eigenwertspektrum kontinuierlich:

E= ¯h²k²

2m − ∞< k <∞

4.3. Das diskrete Spektrum

PotentialV(x):

a)V ≥V0

b) lim

x→±∞V(x) = V±

d²

dx²ψ(x) = 2m

¯ h²

V(x)−E ψ(x)

x→±∞lim ψ(x) = 0 (N ormierbarkeit) Sturm-Liouville-Eigenwertproblem

Satz 1: Die Eigenfunktionen sind reell w¨ahlbar.

Beweis: Mitψist auchψ^∗ L¨osung, daV(x) reell.

Satz 2: Die Eigenwerte sind nicht entartet.

Beweis: Seienψ1 undψ2L¨osungen mit gleichemE.

Betrachte Wronski-Determinante:

W(ψ1, ψ2) =

ψ1 ψ2

ψ⁰₁ ψ₂⁰

=ψ1ψ₂⁰ − ψ2ψ₁⁰

W ist unabh¨angig vonx:

dW

dx =ψ1ψ⁰₂ − ψ2ψ₁⁰

=ψ1ψ2 2m

¯ h²

V(x)−E−V(x) +E

= 0 Wegen

x→±∞lim ψ(x) = 0, W = 0

⇒ ψ1ψ⁰₂ − ψ2ψ⁰₁= 0, d

dxln ψ1 = d dxln ψ2

⇒ ψ1 = c ψ2

Satz 3: E≥min{V(x)} + _2m^pˆ2

Beweis:

E=hψ|Hψi

= pˆ² 2m +

Z

dx V(x)|ψ(x)|²

≥ pˆ²

2m + min{V(x)} Satz 4: E < V∞ = min{V+, V−}

Beweis:

x→±∞lim ψ(x) = lim

x→±∞c e^∓ p_2m

¯

h2(V_±−E)x

= 0

⇒ E < V+ E < V−

Verteilung der diskreten Eigenwerte: V0 < E < V∞

(I) klassisch erlaubter Bereich: E > V(x) ψ⁰⁰

ψ =2m

¯ h²

V(x)−E

<0 ψ zux-Achse gekr¨ummt

Wendepunkt: ψ⁰⁰= 0 → ψ= 0 oszillierendes Verhalten

(II) nicht-klassischer Bereich: E < V(x) ψ⁰⁰

ψ >0 ψ vonx-Achse weggekr¨ummt

→monotones Verhalten

Satz 5: Eigenfunktionen ψn nach steigenden EnergienE0< E1< E2.

Die n-te Eigenfunktion hat (n−1) Nullstellen (Knoten), zwischen denen min- destens eine Nullstelle jeder h¨oheren Eigenfunktion f¨allt.

ψ=|ψ|e^iφ(x) Anzahl der Knoten im klassisch erlaubten Bereich:

N ∼= 2

φ(x2)−φ(x1) 2π

Nmax∼= 1 π

1

¯ h

x2

Z

x1

dxp

2m(V∞−V(x)) Anzahl der gebundenen Zust¨ande 4.4. St¨uckweise konstante Potentiale

Der unendlich tiefe Kasten als Beispiel eines diskreten Spektrums:

ganz allgemein gilt f¨ur

V(x) =Vi xi< x < xi+1, i= 1..N (^dV_dx ist groß→unwichtig)

−¯h²

2mψ_i⁰⁰ + Viψi = Eiψi

ψi(x) =C1e^kix + C2e^−kix, ki= r2m

¯

h² Vi−E ψstetig, differenzierbar

Speziell:

V(x) =

∞ |x|> a 0 |x| ≤a Aus der Normierbarkeit folgt:

Vlim→∞ψ(x) = lim

V→∞C e⁻ p_2m

h¯2(V−E)|x|

= 0 |x|> a Symmetrie des Potentials V(x) =V(−x)

→Eigenfunktionen haben bestimmte Parit¨at:

ψ±(x) = ±ψ±(−x) Im Bereich|x| ≤a, k=q

2m

¯ h²E :

ψ^k₊=C cos(kx), ψ^k₋=C sin(kx)

Randbedingung: ψ(±a) = 0 ⇒ k±= π 2a n±

n±=

1, 3, 5...

2, 4, 6... Normierung: C= 1

√a Energieeigenwerte:

En=E0 n², E0=¯h²π² 8m

1 a²

4.5. Kontinuierliches Spektrum

PotentialV(x) :

x→±∞lim V(x) =V± (V− = 0)

dV

dx = 0 |x|> x0

Asymptotisches Verhalten:

x→ −∞:

ψk(x) =a e^ikx + b e^−ikx, k=

r2mE

¯

h² E=En

x→+∞:

ψk(x) =c e^ipx + d e^−ipx, p= r

k² − 2mV+

¯ h² Wellenpakete:

ψ(x, t) = Z dk

√2π ϕ(k)ψk(x)e^−iEn¯ht

Linear unabh¨angige L¨osungen, die von links bzw. rechts einfallenden Wellen entsprechen.

von links:

x→−∞lim ψ_k^l =e^ikx + rl(k)e^−ikx

x→+∞lim ψ^l_k=Sl(k)e^ipx von rechts:

x→+∞lim ψ^r_k=e^−ipx + rr(k)e^ipx

x→−∞lim ψ_k^r=Sr(k)e^−ikx Wellenpaketϕ(k) umk=k0konzentriert.

von links:

x→ −∞ ψ^l(x, t) = Z dk

√2π

e^ikx + rl(k)e^−ikx e^−iEk¯ht

1. Term: hxi= ¯h^k_m^ot 2. Term: Phase

rl(k) =|rl(k)|e^iθl

Entwicklung

θl=θl(k0) + (k−k0) dθl

dk k0

⇒ hxi=−¯hk0

m t + dθl

dk k0

entgegengesetzte Richtung

t→ −∞

v=hk¯ 0

m

t→+∞

v=−¯hk0

m v⁰= ¯hp

m

Streuwahrscheinlichkeit:

1) einlaufende Welle: t→ −∞

Wahrscheinlichkeit:

W0= 1 = lim

t→−∞

Z∞

−∞

dx |ψ^l(x, t)|²= Z

dk |ϕ(k)|²

2) reflektierte Welle: t→+∞ Wr= lim

t→+∞

Z∞

−∞

dx |ψ^l(x, t)|²= Z

dk |ϕ(k)rl(k)|²

Reflexionsverm¨ogen:

R(k) =|rl(k)|² 3) Durchgehende Welle: t→+∞

ψd(x, t) = Z dk

√2π ϕ(k)Sl(k)e^ipxe^−iEk¯ht

= Z dp

2π

ϕ(k)Sl(k) dk dp

e^i(px−ωkt) ω= En

¯ h

WT = lim

t→+∞

Z∞

0

dx |ψd(x, t)|² = lim

t→+∞

Z∞

−∞

dx |ψd(x, t)|²

= Z

dp |ϕ Sl

dk dp|² =

Z

dk |ϕ(k)|² |Sl(k)|² dk dp dk

dp = p k Transmissionsverm¨ogen:

T(k) =|Sl(k)|² p(k) k Streul¨osungen der eindimensionalen Schr¨odingergleichung Satz 1: a) GiltE < V+, soR= 1 (Totalreflexion)

b) GiltE > V+, soR+T = 1 (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit) Beweis a) p=ik,kreell

Wronski-Determinante:

W(ψl, ψ_l^∗) =ψl d

dxψ^∗_l −ψ^∗_l d dxψl

x→ −∞ ⇒ (e^ikx+re^−ikx)(−ik)(e^−ikx−re^ikx)− (ik)(e^ikx−re^−ikx)(e^−ikx+re^ikx)

=−2ik(1− |r(k)|²)

=0

Die Wronski-Determinante ist unabh¨angig vom Ort.

x→+∞ Sle^−ikx= 0 Satz 2: Es giltp Sl=k Sr (p, kreell)

Beweis: Die Streuwahrscheinlichkeit h¨angt nicht von der Richtung ab.

Tl=|Sl|² p

k =|Sr|² k p =Tr

Satz 3: Phase(Sl) = Phase(Sr)

4.6. Endlicher Kasten, Resonanzzust¨ande, Tunneleffekt

V(x) =

V0 |x| ≤a 0 |x|> a ψI =e^ikx + r e^−ikx

ψII =c1 e^ipx + c2e^−ipx p= r2m

¯

h²(E−V0) ψIII =S e^ikx

Anschlußbedingungen:

e^−ika + r e^ika=c1e^−ipa + c2e^ipa ψ(−a) (1) e^−ika − r e^ika= p

k

c1 e^−ipa − c2 e^−ipa

ψ⁰(−a) (2) S e^ika=c1 e^ipa + c2 e^−ipa ψ(a) (3) S e^ika= p

k c1 e^ipa − c2 e^−ipa

ψ⁰(a) (4)

(3),(4)⇒ c1,2=1

2 e^∓ipaS e^ika 1±k

p

(1),(2)⇒ 2e^−ika=c1 e^−ipa 1 +p

k

+c2e^ipa 1−p

k

⇒T =|S|²= 4E|E−V0|

4E|E−V0|+V₀²|sin(2pa)|²

PotentialwallV0>0

Resonanzzust¨ande: T = 1, p= _2a^πn, n= 1,2, ....

V0<0

Fortsetzung der gebundenen Zust¨ande ins Kontinuum

5. Der harmonische Oszillator

5.1. Der eindimensionale harmonische Operator

Ein Teilchen der Massembefindet sich im harmonischen Potential V(x) = m

2 ω₀²x² ω0... klassische Oszillatorfrequenz

Station¨are Schr¨odingergleichung:

h−¯h² 2m

d² dx² +m

2 ω₀²x²i

ψ(x) =˜ E ψ(x)˜

charakteristische L¨ange:

x0= r ¯h

ω0m, ξ= x x0

ψ(x) =˜ ψ(ξ)

charakteristische Energie:

1

2 ¯h ω0, ε= E

1 2 ¯h ω0

⇒ d²

dξ² ψ(ξ) + ε−ξ²

ψ(ξ) = 0

Asymptotisches Verhalten:

d²

dξ² ψ=ξ²ψ, ψ(ξ)∼e^∓ξ

2

2 1 + 0(ξ) Ansatz f¨ur Eigenfunktionen:

ψE(ξ) =e^−ξ

2 2 Hε(ξ) d²

dξ² Hε−2ξ d

dξ Hε+ (ε−1) Hε= 0 Hermite’sche Differentialgleichung Potenzreihenansatz:

Hε(ξ) = X∞ n=0

cn ξⁿ f¨ur allgemeinesε:

ξ→∞lim Hε(ξ) =e^ξ2

Endliche L¨osungen: speziellesε: ε= 2n+ 1 n= 0,1,2...

→ Potenzreihe bricht ab.

Hermite’sche PolynomeHn(ξ):

Rodriguez-Formel:

Hn(ξ) = (−1)ⁿ e^ξ2 dⁿ dξⁿ e^−ξ2 Energieeigenwerte:

En = n+1

2

¯

h ω0, n= 0,1,2...

Eigenfunktionen:

ψn(x) =cn e^{−12 xx0} 2

Hn

x x0

Normierung:

cn= 1 p√

π 2ⁿ n! x⁻₀¹² {ψn}: vollst¨andiges Orthonormalsystem

Spektrum diskret ↔ nur gebundene Zust¨ande (lim|x|→∞V =∞) En ¨aquidistant: En+1−En= ¯h ω0

n-ter angergeter Zustand enth¨altnOszillatorquanten.

Zust¨ande haben positive oder negative Parit¨at (Potential invariant unter x→

−x)

H0(ξ) = 1, H1(ξ) = 2ξ, H2(ξ) = 4ξ²−2, H3(ξ) = 8ξ³−12ξ Rekursionsformel:

ξ Hn(ξ) =n Hn−1(ξ) +1

2 Hn+1(ξ) d

dξ Hn= 2n Hn−1(ξ)

Mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert vonξ im Zustandn:

M ittelwert hξin = Z∞

−∞

dξ ψ_n²(ξ)ξ= 0

h∆ξ²in=hξ²in = Z∞

−∞

dξ ψn(ξ)ξ² ψn(ξ)

ξψn= rn

2 ψn−1+

rn+ 1 2 ψn+1

ξ²ψn =1 2

pn(n−1) ψn−2+ n+1 2

ψn+1 2

p(n+ 1)(n+ 2) ψn+2

⇒ hξ²iⁿ=n+1

2

⇔ hx²iⁿ= n+1 2

¯h

m ω0 = n+1 2

x²₀

⇒ En =m ω²₀ hx²in analog der klassischen Formel Allgemeines Matrixelement:

hψn|x|ψmi=





 ¯h

m ω0

n 2

¹₂

δm,n−1

¯h(n+1) 2m ω0

¹₂

δm,n+1

5.2. Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

Erzeugung:

a⁺= 1

√2 x

x0 − i

¯ h x0p Vernichtung:

a= 1

√2 x

x0

+ i

¯ h x0p

⇒ [a, a⁺] = 1 Hamiltonoperator:

H = p² 2m+m

2 ω²₀ x²

= ¯h ω0 a⁺a+1 2

hΦ|H|Φi: ¯h ω0hΦ|a⁺a+1 2|Φ≥ 1

2 ¯h ω0

hΦ|a⁺a|Φi=haΦ|aΦi ≥0

Grundzustand:

E0= ¯h ω0

2 : a|0i= 0 Angeregter Zustand:

|ni=cn (a⁺)ⁿ |0i

En= ¯h ω0 n+1 2

Beweis:

H (a⁺)ⁿ |0i= ¯h ω0

h

a⁺a(a⁺)ⁿ+1

2 (a⁺)ⁿi

|0i Nebenrechnung:

a⁺a(a⁺)ⁿ |0i=h

(a⁺)²a(a⁺)ⁿ⁻¹+ (a⁺)ⁿi

|oi

=h

(a⁺)ⁿ⁺¹a+n(a⁺)ⁿi

|0i

= ¯h ω0

n+1

2

(a⁺)ⁿ |0i

a⁺a|ni=n|ni Quantenzahloperator: N =a⁺a

Normierung:

hn|ni= 1 =c²_n h0|aⁿ(a⁺)ⁿ|0i

=c²_n nh0|aⁿ⁻¹(a⁺)ⁿ⁻¹|0i

=c²_n n!

⇒ cn= 1

√n!

⇒ Besetzungsdarstellung:

a|ni=√

n|n−1i a⁺ |ni=√

n+ 1 |n+ 1i