Relativistische Teilchen mit Spin 1/2 – Dirac Gleichung

20.1. Drehungen im Orts- und Spinraum

Ortsraum: Ortsoperator~r Eigenzust¨ande des Ortsoperators

~r|~r0i=~r0|~r0i

infinitesimale Drehung um Achsebω mit Winkeldω:

δ~ω=ωδωb

~r⁰=~r+δ~ω×~r=~r+ i

¯

h[δˆω·~L, ~r]

Drehimpulsoperator: ~L=~r×~p

[Li, rk] =ijl[rjpl, rk] =ijlrj

¯ h

iδlk

[δ~ω×~r]n =nikδωirk

Kommutator legt Darstellung als unit¨are Transformation nahe (♣)

~r⁰ = exp i

¯ h~ω·~L

·~r·exp

−i

¯ h~ω·L~

gilt auch f¨ur endliche Drehwinkelω, denn:

~r⁰(ω+δω) =~r⁰(ω) +δωˆω×~r⁰(ω)

⇒ d~r⁰(ω)

dω = ˆω×~r⁰(ω) diese Differentialgleichung wird gel¨ost durch♣:

d~r⁰ dω = exp

i

¯

h~ω·L~ i

¯

h(ˆω·~L)~r−~ri

¯ h(ˆω·L)~

exp

−i

¯ h~ω·L~

= ˆω×~r⁰

Transformation von Ortseigenzust¨anden

~r⁰|~r0i=~r₀⁰|~r0i

~rexp

−i

¯ h~ω·~L

|~r0i=~r₀⁰exp

−i

¯ h~ω·~L

|~r0i

⇒ exp

−i

¯ h~ω·L~

|~r0i=|~r₀⁰i

infinitesimal:

|~r₀⁰i=|~r0+δ~ω×~r0i

=

1− i

¯ hδ~ω·~L

|~r0i

Drehimpulsoperator ist Generator (Erzeuger) von Drehungen im Ortsraum

Spinraum:

Eigenzust¨ande des Spinoperators:

S~·bn|bn↑i=¯h

2|bn↑i bnist Quantisierungsachse S~·bn|bn↓i=−¯h

2|bn↓i

Infinitesimale Drehung der Quantisierungsachsemb nachnb b

n=mb +δ~ω×mb

S~·bn=S~·mb +S(δ~~ ω×m) =~ S~·mb +ijkδωimjSk

Spinvertauschungsrelationen:

[Si, Sj] =i¯hijkSk

Unit¨are Transformation S~·bn= exp

i

¯ h~ω·S~

S~·mb exp

−i

¯ h~ω·S~

Darstellung vonS~durch die Paulimatrizen (Spin ¹₂):

S~=¯h 2~σ Drehoperator:

d(~ω) = exp

−i 2~ω·~σ

= X∞ n=0

1 n!

−i 2~ω·~σ

n

= cosω

2 −iωˆ·~σ sinω 2 Transformation von Spineigenzust¨anden (♣) :

|n↑i= exp

−i h~ω·S~

|m↑i

S~·n d(~b ω)|m↑i = exp

−i

¯ h~ω·S~

S~·mb|m↑i

= ¯h

2 d(~ω)|m↑i d.h. (d(~ω)|m↑i) ist Eigenzustand|n↑ivon S~·bn.

infinitesimal:

|n↑i = |mˆ+δ~ω×mˆ ↑i = (1−iδ~ω·S/¯~ h|m↑i

⇒Spinoperator ist Generator von Drehungen im Spinraum.

Eigenwert der Spin-1/2 Darstellung der Drehgruppe: Drehung um 2π: d(2πω) =ˆ

−1

Die Darstellungend(~ω) undd(~ω+ 2πω) sind physikalisch gleichwertigˆ

⇒Darstellung ist doppelwertig.

20.2. Lorentztransformation des Spins

Betrachte zuerst Lorentztransformation des Bahndrehimpulses:

~L=~r×p,~ Produkt zweier Vektoren

L^ij =xipj−xjpi=





0 L3 −L2

−L3 0 L1

L2 −L1 0





Erweiterung auf vierdimensionale Vektoren:

L^µν=







0 µ1 µ2 µ3

−µ1 0 L3 −L2

−µ2 −L3 0 L1

−µ3 L2 −L1 0







Zeitartige Komponenten:

~

µ=x⁰~p−p⁰~r=ct~p−E c~r Der Operator

~ µ=ct¯h

i∇ −~ 1 c(i¯h∂

∂t)~r ist Erzeuger von infinitesimalen Lorentztransformationen

Lorentztransformation in Koordinatensystem, das sich mit Geschwindigkeit−~v bewegt

L^0µν = Ω^µ_αΩ^ν_βL^αβ In Richtung~v:

L⁰_||=L||, µ⁰_||=µ||

transversale Richtung:

L~⁰_⊥=L~⊥+^~v_c ×~µ q

1−^vc²²

~

µ⁰_⊥= ~µ⊥−^~v_c×L~ q

1−^vc²²

(Gleiche Transformation wie elektromagnetisches Feld)

Verhalten bei r¨aumlicher Spiegelung

~r→ −~r, ~p→ −p~

~L→L,~ ~µ→ −~µ Lorentztransformation des Spins (Eigendrehimpuls)

L~ →S,~ S~= ¯h

2~σ (σ Operator)

~ µ→ i¯h

2α~

α1, α2, α3neuer Satz dynamischer Freiheitsgrade (Erzeuger von Lorentztrans-formationen im Spinraum)

(Erwartungswert vonα→0 beiv/c→1)

σ^µν =







0 iα1 iα2 iα3

−iα1 0 σ3 −σ2

−iα2 −σ3 0 σ1

−iα3 σ2 −σ1 0







Lorentztransformation vonσ^µν

σ⁰_||=σ||, iα⁰₄=iα4

~σ⁰_⊥=~σ⊥+^~v_c ×~i~α q

1−^vc²²

~

α⁰_⊥= i~α⊥−^~vc ×~σ q

1−^v_c²² Algebraische Eigenschaften

σiσj+σjσi = 2δij

[σx, σy] = 2iσz und zyklisch σ²_i = 1 σjσk−σkσj= 2ijklσl

Algebraische Eigenschaften derα1, α2, α3 ergeben sich aus

(i) Algbraische Eigenschaften des Spinoperators σjσk =ijklσl+δjk

(ii) der Eigenschaft, daß~σ Rotation der inneren Freiheitsgrade erzeugt und

~

αsich unter Rotation wie ein Vektor transformiert

Infinitisimale Drehung von ~α

e^iδ~ω~σ/2~αe^{−iδ~ω~σ/2}=~α+ i

2[(δ~ω·~σ)~α−~α(~σ·δ~ω)]

(¨aquivalent zu~α→~α+δ~ω×~α)

⇒ αjσk−σkαj= 2ijklαl

(iii) der Invarianz der Spinvertauschungsrelation bei Lorentztransformation

~vin z-Richtung

~σ⁰²_x =



σx−i^v_cαy

q 1−^v_c²²





2

= σ_x²−i^v_c(σxαy+αyσx)−^v_c²²α²_y 1−^vc²²

=σ²_x= 1

⇒ σiαj+αjσi= 0, α²_j = 1 σ_y⁰σ_z⁰ =iσ_x⁰ = (σy+i^v_cαx)σz

q 1−^v_c²²

=iσx+^v_cαxσz

q 1−^v_c²²

==iσx−^vcαy

q 1−^v_c²²

⇒ αjσk =ijklαl

σ⁰_xσ⁰_y+σ_y⁰σ⁰_x= (σx−iv

cαy)(σy+iv

cαx) + (σy+iv

cαx)(σx−iv

cαy) = 0

⇒ αiαj+αjαi= 0 i6=j Ergebnis: Dieαi gen¨ugen der gleichen Algebra wie dieσi

Aber ~σund~αverhalten sich verschieden bei Raumspiegelung

~σ→~σ Pseudovektor

~

α→ −~α Vektor

Definieren Parit¨atsoperator im Spinraum (β) β⁻¹~σβ=~σ oder β~σ=~σβ

β⁻¹αβ~ =−~α oder β~α=−αβ~ Es giltβ²= 1,β=±1 Eigenwerte

Matrixdarstellung von ~α, ~σ, β:

Dimension der Darstellung ist geradzahligN = 2,4, ...

Beweis:

det(β⁻¹αiβ) = det(αiββ⁻¹) = det(αi) = det(−αi) = (−1)^Ndet(αi)

⇒ N gerade

N = 2 : (~σ)2dim und 1 spannen vollst¨andiges System auf β~σ=σβ ⇒ β∼1

β~α=−αβ~ ⇒ α~= 0 Darstellung im nichttrivialen Fall ausgeschlossen N = 4 : kleinste m¨ogliche Darstellung

Explizit:

~σ=

T~ 0 0 T~

, ~α=

0 T~ T~ 0

, β=

1 0 0 −1

mit den 2x2 Matrizen T1=

0 1 1 0

T2=

0 −i i 0

T3=

1 0 0 −1

1 = 1 0

0 1

0 = 0 0

0 0

Eigenschaften: wie die Paulimatrizen sind auch die ~α, ~σ, β spurlos

tr~σ= X4 α=1

~σαα=tr~α=trβ= 0

Interpretation von~αals Erzeugende von Lorentztransf. im Spinraum

Der OperatorLv, der eine Lorentztransformation in ein mit der Geschwindigkeit

−~vbewegtes Koordinatensystem bewirkt, ist Lv=e^{i(i~α·φ)/2~} φ~=~vφ, tanhφ= v

c Transformation von~σ: ~σ⁰ =L~σL⁻¹

σ_||⁰ = ~σ⁰·~v = Lσ||L⁻¹=σ||

σ_⊥⁰ =e^α||φ/2~σ⊥e^−α||φ/2

=e^α||φ~σ⊥

= (1 coshφ+α||sinφ)~σ⊥

=~σ⊥+^v_cα||~σ⊥

q 1−^v_c²²

=~σ⊥−ⁱ_c~v×α~ q

1−^v_c²² mit

1

c(~v·α)σ~ ⊥=−i c~v×~α

Lorentztransformation vonβ

β⁰=e^α||φ/2βe^−α||φ/2=e^α||φ/2β =β−ⁱc~v·β~α q

1−^v_c²²

Def.: β Zeitkomponenten von (β, β~α)

β⁰~α⁰_⊥ =Lvβ~α⊥L⁻¹_v =β~α⊥

β⁰α||=e^α||φβα||=βα||−^v_cβ q

1−^vc²²

⇒ (β, β~α) ist Vierervektor (transformiert sich unter Lorentztrans-formation wie Vierervektor)

γ^µ= (β, β~α)

~γ=

0 T~

−T~ 0

Eigenschaften derγ^µ:

(i) Hermitizit¨at

γ⁰= (γ⁰)⁺, ~γ =−(~γ)⁺

(ii)

(γ⁰)²= 1, (γⁱ)²=−1, i= 1,2,3

(iii)

(γ^µγ^ν+γ^νγ^µ) = 2g^µν, g^µν=







1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1







(iv)

i

2[γ^µ, γ^ν] = 0^µν

(v) Jede 4x4 Matrix l¨aßt sich als Linearkombination der 16 Matrizen 1, γ^µ, σ^µν, γτγ^µ, γτ

darstellen mit

γτ =γ⁰γ¹γ²γ³ Es gilt

[γτ, αi] = 0

γτ ist invariant unter eigentlicher Lorentztransformation, aber βγτβ=−γτ

Klassifikation der Basisvektoren

γτ ist Pseudoskalar

γτγ^µ ist Pseudovektor

γ^µ ist Vektor

σ^µν ist (antisymmetrischer) Tensor

1 ist Skalar

20.3. Dirac-Gleichung

Ziel: Relativistische kovariante DGL 1.Ordnung in der Zeit aus Energie-Impuls-Relation

p^µpµ=m²c², die mit Hilfe der ErsetzungE→i¯h∂

∂t, ~p→h

i∇folgt.

Kannp^µpµ als Quadrat eines Operators geschrieben werden? Ja, mit Hilfe der γµ

(pµp^µ)²=pµγ^µpνγ^ν =pµpν

1

2(γ^µγ^ν+γ^νγ^ν)

=pµpνg^µν=pµg^µνpν=pµp^ν

⇒ p

pµp^µ =pµγ^µ=±mc

W¨ahle + Vorzeichen (willk¨urliche Konvention). Damit pµγ^µΨ =mcΨ

⇒ Ψ :vierkomponentiger Spinor. Nach Multiplikation mitβ i¯h∂Ψ

∂t =

c~α¯h

i∇+βmc²

Ψ Diracgleichung

Hamiltonop. H =c~α·~p+βmc² wirkt auf 4-komponentigen Spinor.

Kopplung ans el.mag. Feld:(φ, ~A):

i¯h∂

∂t →i¯h∂

t−eφ, ¯h i∇ →¯h

i∇ −e cA~

i¯h∂ t−eφ

Ψ =

c~α

¯h i∇ −e

cA~

+βmc²

Ψ Vektorpotential koppelt direkt an innere Freiheitsgrade (Spin)

Magnetische Kopplungskonstanteg= 2 des Spins an ein Magnetfeld ergibt sich aus der Dirac-Gleichung im nichtrelativistischen Limes.

mit

Ψ = Φ

χ

Φ hat zwei Spineinstellungen:

Φ =

im nichtrel. Limes:

Wellenfunktion Eingesetzt in die Gleichung:

i¯h∂

→Pauligleichung mit gyromagnetischen Faktorg= 2, d.h. magnetisches Mo-ment

eines Spin 1

2 Teilchen ist

~ µ= e

mcS~

Wahrscheinlichkeitsdichte und -Strom

Da~αundβ hermitesch sind, gen¨ugt der adjungierte Spinor der Gleichung:

Ψ^†= (Φ^∗, χ^∗)

ρ kann hier wieder als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden (nicht mehr als Ladungsdichte)

~j=cΨ^†αΨ~ · · ·Wahrscheinlichkeitsstrom (c~α· · ·Geschwindigkeitsoperator)

Verhalten der Dirac-Gleichung bei Lorentz-Transformation:

20.4. L¨osung der Diracgleichung f¨ur freies Teilchen

Im Ruhesystem des Teilchens

Ψ(~r, t) =e^−iEt/¯hu

u· · ·Spinor unabh¨angig von~r, tin die Dirac-Gleichung eingesetzt Eu=βmc²u Eigenwerte vonβ=±1

Energieeigenwerte E=mc² (Teilchen)

E=−mc² (Antiteilchen)

Vier linear unabh¨angige L¨osungen

u⁽⁺⁾_0↑ =

(Bei Antiteilchen Spinoreinstellung entgegengesetzt zu Eigenwerten)

Lorentz-Transformation in KS mit Geschwindigkeit ~v = −~pc²

Ep, Ep =

u^(±)_~pσ =

Spinorientierung nur bei Bewegung inz-Richtung erhalten

Normierung:

adjungierter Spinoru^†= (u^∗₁, u^∗₂, u^∗₃, u^∗₄) u^(b)_~p~σ^†u^(b_~p~σ⁰⁾0 = Ep

mc²δbb⁰δσσ⁰

nicht Lorentz-invariant, Zeitkomponente eines 4-Vektors. Daher Einf¨uhrung eines Lorentz-invarianten Skalarproduktes mittels eines modifizierten adjungierten

Spinors:

⇒Vollst¨andigkeitsrelation:

X

b=+/−

X

σ=↑/↓

bu^(b)_~pσu¯^(b)_~pσ =1

Jeder 4-komponentige Spinor l¨aßt sich nach den vier Basisspinorenu^(b)_pσ~ , b =

±1, σ=↑↓entwickeln. Die Spinorenu^(b)_~pσ und ¯u^(b)_~pσ gen¨ugen den Gleichungen: Verhalten unter Lorentz-Transformation:

Ψ⁰(~r⁰, t⁰) =L⁻¹Ψ(~r, t) Ψ¯⁰(~r⁰, t⁰) = ¯Ψ(~r, t)L

⇒ Ψ¯⁰(~r⁰, t⁰)γ^µΨ⁰(~r⁰, t⁰) = ¯Ψ(~r, t)Lγ^µL⁻¹Ψ(~r, t) Lγ^µL⁻¹=γ^µ0

⇒ Ψ(~r, t)γ¯ ^µΨ(~r, t) ist Vierervektor

Viererdivergenz:

c∂µ(Ψγ^µψ) = ∂

∂tρ+∇ ·~j= 0 Kontinuit¨atsgleichung

Wahrscheinlichkeitsstromdichte: ρ= Ψ^†(~r, t)Ψ(~r, t) Stromdichte: ~j=cΨ^†(~r, t)~αΨ(~r, t)

Aus Kontinuit¨atsgleichung folgt : Z

ρ(~r, t)d³r=const >0

”Gordon”-Zerlegung von Dichte und Strom:

ji=cΨ^†αiΨ = 1

Aufspaltung in konvektiven und inneren Anteil.

~jKonv, ρKonv gleiche Form wie f¨ur Klein-Gordon-Gleichung bis auf Ψ^†→Ψ¯

2mcΨ~σΨ, e~¯ µ· · ·Magnetisierungsdichte des Teilchens P~ = ¯h

2mcΨ(¯ −i~α)Ψ, e ~P· · ·Polarisierungsdichte des Teilchens Ψσ¯ ^µνΨ transformiert sich wie Tensor 2. Stufe unter Lorentz-Transformation.

mit el.-mag. Feldst¨arketensor:

¯

Innerer und konvektiver Anteil Anteil vonρsind getrennt erhalten:

∂

Ep · · ·Gruppengeschwindigkeit

20.6. Nichtrelativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung

Nur h¨ohere Ordnung

v²

Korrekturen zur Pauligleichung mit P~kan= ¯h

Korrekturen zurϕ-Gleichung

=− 1 Korrekturen zum g-Faktor vernachl¨assigen

P~kan~σ E~σ~ Korrektur zurϕ-Gleichung

ϕist Ordnung ^v_c²2 nicht normiert

ψ=

Multiplikation derϕ-Gleichung mit

⇒ Pauligleichung mit relativisticher Korrektur i¯h∂

8m³c² rel. kinet. Energiekor.

e¯h

⇒ f¨uhrt zur positiven Verschiebung des S-Energieniveaus (?? Wechsel-wirkung)

Pseudo-Erkl¨arung des ???-Terms (Zitterbewegung):

Relativistisches Teilchen ist ausgeschmiert ¨uber r¨aumlichen Bereich _mc^h¯ (Comp-tonwellenl¨ange)

eφ(~r) → eφ(~r+δ~r) =eφ(~r) +1

2(δ~r∇)²eφ(~r) (ein Term f¨allt weg: Zittern isotrop)

=eφ(r) +1

Spin-abh¨angige Terme:

− e¯h

H~ ... Magnetfeld im Laborsystem Magnetfeld im Ruhesystem des Teilchens

H~⁰ =H~ +E~×~p

2. Term: Ruhesystem des Teilchens kein Inertialsystem (gekr¨ummte Bahn) Klassisch: Eigendrehimpuls eines Teilchens auf einer gekr¨ummten Bahn pr¨azediert mit Rate (Thomas-Pr¨azession)

d~Ω =~v. ×~v 2c²

20.7. Dirac-Gleichung im Coulomb-Potential - H-Atom

Gebundene Zust¨ande

ψ(~r, t) =e^−iEt/¯hψ(vr) Gesamtdrehimpuls ist Erhaltungsgr¨oße

Genauso: [Jz, H] = 0 Jz ist Erhaltungsgr¨oße Operator

Die Operatoren K, ~J², Jz bilden einen Satz vertauschbarer Observabler f¨ur

Kugelsymmetrie, spinunabh¨angige Potentiale Eigenwerte vonJ~² undJz sind

¯

h²j(j+ 1), ¯hM j= 1 2,3

2.., M=−j,−j+ 1, ..j Eigenwerte vonKsindk

K²= 1 + ~σ~L

Umschreibung der Dirac-Gleichung in Gleichung 2.Ordnung in∂/∂t Definiere Operator

L¨osungen der Dirac-Gleichung sind automatisch L¨osungen der Gleichung 2.

Ordnung (nicht umgekehrt)

L¨osungen der Dirac-Gleichung ergeben sich aus den L¨osungen der Gleichung 2.

Ordnung durch

Betrachte simultane Eigenzust¨ande von Λ undKsowieJ~² undJz

Λψ=±λψ λ=

⇒ Ersetze Term in Differentialgleichung duurch ¯h²Λ(Λ + 1) E²−m²c⁴ Gleiche Gleichung wie Klein-Gordon-Gleichung

⇒ Energieeigenwerte

E= mc²

h1 + _¯hcn^Ze20

²i1/2

n⁰=l⁰+ 1 +v, v= 0,1,2, ...

Zul¨assige Werte vonl⁰

Λ+=λ l⁰ =λ (l⁰=−λ−1)

Λ−=−λ (l⁰=−λ) l⁰=λ−1

l⁰=−λ−1, −λsind auszuschließen, da die zugeh¨orige Eigenfunktionen nicht normierbar sind bzw. der radiale Strom beir= 0 divergiert

Definiere Hauptquantenzahl

Λ =−λ, n=|k|,|k|+ 1 Λ =λ, n=|k|+ 1,|k|+ 2

⇒ Energieeigenwerte

E=mc²



1 + (Ze²/¯hc)² n−j−¹2+

q

j+¹₂2

− ^Ze¯hc²

²





−1/2

− ?(j+ 1)-fache Entartung bzgl. der magnetischen Quantenzahl

− Entartung in j aufgehoben

− Reelle Eigenwerte f¨urZe²/¯hc <1,Z <137

− Zwei Energieleitern f¨ur jeden Wert vonj− |k| −¹2

Gesamtzahl der Energieniveaus doppelt so großwie bei Spin 0 Nichtrelativistisch

L~²

¯

h 'K(K−1) ⇒ l(l+ 1) =k(k−1) l=k−1 =j−¹₂ f¨urk >0

l=|k|=j+¹₂ f¨urk <0 Nichtrelativistischer Limes

E=mc²−mZ²e⁴ 2¯h²n²

1 + Z²α² n²

n j+¹₂ −3

4

+...

Termschema

Feinstruktur:

2P3/2−2P1/2= Zα²

16 = 10⁴M Hz Ersetzel durchibei Klein-Gordon-Gleichung

Im Dokument 3. Zeitliche Entwicklung quantenmechanischer Zust¨ ande (Seite 90-104)