Das Coulomb - Problem

8.1. Einleitung

Zwei Teilchen mit:

Masse m1 m2

Ladung Z1e Z2e

~r1 ~r2

~

p1 ~p2

Potential im Abstandr=|~r1−~r2|

V(r) = Z1Z2e² r H = ~p²₁

2m1 + ~p²₂

2m2+V(r) Separation der Schwerpunktsbewegung:

R~ =m1~r1+m2~r2

m1+m2

Schwerpkt.

P~ =~p1+~p2=i¯h∇^R Gesamtimpuls

~r=~r1−~r2

~

p=m2~p1−m1~p2

m1+m2

=−i¯h∇r Relativimpuls

M=m1+m2, µ= m1+m2

m1m2

P~² 2M + ~p²

2µ = ~p²₁ 2m1

+ ~p²₂ 2m2

H =HR+Hr

HR= P~²

2M freie Schwerpunktsbewegung Hr= ~p²

2µ+V(r) Relativbewegung HΨ(R, ~r) =~ EΨ(R, ~r)~

Ψ(R, ~r) =~ φ(R)ψ(~r)~

HRφ(R) =~ ERφ(R)~ E=ER+Er

Hrψ(~r) =Erψ(~r)

Z1·Z2<0 ⇒ gebundener Zustand Unsch¨arferelation pr= ¯h

E(r) = ¯h²

2µr² −|Z1Z2e²| r r0: Gleichgewichtsabstand im Grundzustand

E⁰(r0) = 0 =− ¯h²

µr³₀ +|Z1Z2e²| r₀²

⇒ r0= ¯h² µe² · 1

|Z1Z2| E0=E(r0) =−1

2 µe⁴

¯

h² (Z1Z2)² atomare Einheiten: L¨angea0= ¯h²

µe² = 5.3·10⁻⁹ cm(Bohrscher Radius) EnergieE0=µe⁴

¯

h² = 27.21eV

8.2. Energiespektrum

Wasserstoffatom: Z1=−Z2= 1

−¯h²

2µ∇²−e² r

ψ(~r) =Eψ(~r), E <0

ψ(~r) =Rl(r)

r Y_l^m(θ, φ) Radialgleichung:

R⁰⁰_l + 2µE

¯

h² +2µe²

¯

hr −l(l+ 1) r²

Rl= 0 Dimensionslose Variable:

k= r

−2µE

¯ h² x= 2kr ν = 1

ka0 = e²

¯ hc

r

−µc² 2E d²

dx² −l(l+ 1) x² +ν

x −1 4

Rl= 0

regul¨are L¨osungα → 0, Rl∼x^l+1

asymptotisch (x → ∞) h d²

dx² − 1 4 i

Rl = 0, Rl∼c1e^−x2 + c2e^x2

⇒ c2 = 0

Ansatz:

Rl : x^l+1 e^−x2 ul(x) hx d²

dx² + (2l+ 2−x) d

dx −(l+ 1−ν)i

ul = 0 x F⁰⁰ + (b−x)F⁰ − a F = 0

Differentialgleichung f¨ur konfluente hypergeometrische Funktion:

F(a, b, x) = 1 + X∞ n=1

a(a+ 1)...(a+n−1) b(b+ 1)...(b+n−1)

xⁿ

n! , b ∈ Z

F¨ur großenwirdF exponentiell.

Potenzreihe muß abbrechen!

w¨ahlea=−nr, nr= 0,1,2, ...

⇒F(a, b, x) Polynom vom Gradnr

⇒ Quantisierungsbedingung:

l+ 1−ν=−nr, nr= 0,1,2, ...

ν = l²

¯ h²

rme²

−2E, Enr,l=−E0

2n², E0=me⁴

¯ h² n=nr+l+ 1 = 1,2,3, ... Hauptquantenzahl

nr= 0,1,2, ... radiale Quantenzahl

Zuf¨allige Entartung inl.

z.B. n= 1 Zustand 1s

n= 2 2s 2p

n= 3 3s 3p 3d

Allgemein: 0≤l≤n−1

zus¨atzlich: (2l+ 1)-fache Entartung inm

⇒ gesamter Entartungsgrad:

n−1X

l=0

(2l+ 1) = n²

Bohrsche Frequenzbedingung:

¯

h ωmn = Em − En = E0

2 1

m² − 1 n²

n > m

m= 1 Lyman ultraviolett

m= 2 Balmer sichtbar

m= 3 Paschen infrarot

F¨ur jedeslgibt es unendlich viele Energieeigenwerte, die sich beiE= 0 h¨aufen.

Zuf¨allige Entartung ist Ausdruck einer h¨oheren Symmetrie des Hamiltonoper-ators mitV(r) = ¹_r als der Kugelsymmetrie.

Separation der Variablen in Kugelkoordinaten als auch in parabolischen Koor-dinaten m¨oglich.

Coulomb-Potential invariant unter 4-dimensionalen Drehungen.

Eigenfunktionen:

h x d²

dx² + (2l+ 2−x) d

dx −(l+ 1−ν)i

ul(x) = 0

ul=F(−nr,2l+ 2, x) ∼ L^2l+1_nr (x) zugeordnete Laguerr’sche Polynome vom Gradnr

L^b_n= 1

n!x^−be^xd dx

n

x^n+be^−x

nr : Anzahl von Knoten (Schnittpunkten mit derx-Achse)

L^b₀= 1, L^b₁= 1 +b−x, L^b₂= ¹₂(b+ 2)(b+ 1)−(b+ 1)x+¹₂x²

Xnrl(x) =a^−3/2₀ 2 n²

s(n−l−1)!

(n+l)! x^le^−x2L^2l+1_n−l−1(x), x= 2r na0

; nr=n−l−1

ψnlm(r, θ, φ) =Xnrl

2r na0

Y_l^m(θ, φ), Parit¨at (−1)^l

ψ100= 2(a0)^−3/2e^−ax0Y0⁰ =h~r|1si ψ200= 2(2a0)^−3/2(1− r

2a0

)e^−2ar0Y₀⁰ =h~r|2si ψ21m= 2

√3(2a0)^−3/2( r 2a0

)e^−2ar0Y₁^m =h~r|2pi

8.3. Kontinuierliches Spektrum, Streuzust¨ande

E >0 E= ¯h²k²

2m V(r) = Z1Z2e² r Asymptotisches Verhalten (r→ ∞):

Rl(r)∼C1e^ikρ+C2e^−ikρ ρ= r a0

C1, C2±0

L¨osungen der Differentialgleichung: Hyperbolische Funktionen.

Rkl(ρ) =e^±ikρρ^l+1F(l+ 1±Z1Z2

ik ,2l+ 2,∓2ikρ) Konvergiert immer ⇒ keine Energiequantisierung

Einfacher Fall: δ= 0

Streuung unabh¨angig vonφ

Differentialgleichung:

[4+k²−2γk

r ]ψ(~r) = 0, γ= Z1Z2e²m

¯

h²k = 1 2π

λ a0

Ansatz:

ψ=e^ikzg(r−z) u=ik(r−z) f(u) =g(r−z)

[u d²

du² + (1−u) d

du +iγ]f(u) = 0 konfluente hypergeometrische Differentialgleichung

ψ=Ae^ikzF(−iγ,1, ik(r−z)) asymptotisches Verhalten:

[ud²

du² + (b−u) d

du−a]F(a, b, u) = 0 Ansatz:

|u|→∞lim F(a, b, u) =u^αe^λu Bestimmung vonα, λ:

u(λ²+ 2λa

u) +bλ−α−λu+ 0(1 u) = 0 1)λ²−λ= 0, λ1= 0, λ2= 1

2) 2λα+bλ−α−a= 0 α1=a, α2=a−b F(a, b, u)→C1(−u)^−a+C2u^a−be^u

C2

C1

=γ aus Integraldarstellung a=−iγ, b= 1

|r−z|→∞lim F(−iγ,1, ik(r−z))→e^{iγlnk(r−z)}+γe^ik(r−z)e^{iγlnk(r−z)} 2krsin^2θ₂

Γ(1−iγ) Γ(iγ) ,

u=ik(r−z) =ikr(1−cosθ) =ikr2sin²θ 2

|r−z|→∞lim ψ→ei[kz+γlnk(r−z)]+f(θ)ei(kr−γln2kr)

r einfallende Welle + gestreute Kugelwelle

f(θ) Streuamplitude

f(θ) =γe^{i[−γln(sin2θ2)]}

2ksin^2θ₂ Wirkungsquerschnitt:

σ(Ω) =|f(θ)|²=Z1Z2e² 4E

2 1 sin^4θ₂ Rutherfordsche Streuformel:

1)σ(Ω)∼(Z1Z2)

2) f¨ur alle Energien besteht dieselbe Winkelabh¨angigkeit

3)σ∼E⁻²

9. Streutheorie

9.1. Resolvente und Schr¨odingersche Integralgleichung

Betrachten Schr¨odingergleichung:

i¯h∂

∂tψ(~r, t) =

−¯h²

2m∇r+V(~r)

ψ(~r, t)

Betrachte Zeitentwicklung vonψ(t). Dazu einseitige Fouriertransformation:

ψz= Z∞

0

e^iztψ(t)dt=F{ψ}z z∈C

t→∞lim ψ(t)<∞, ψz analytisch f¨urIm(z)>0

F{i¯h∂

∂tψ}=i¯h Z∞

0

e^izt∂ψ

∂tdt

=i¯h

e^iztψ|^∞0 − Z ∂

∂te^izt ψdt

=−i¯hψ(t= 0) + ¯hzψz

⇒

(¯hz−H)ψz=i¯hψ0

ψ0=ψ(t= 0)

R¨ucktransformation:

ψ(t) = 1 2π

∞+i0Z

−∞+i0

e^−iztψzdz

Resolvente:

R(z) = 1

z−H/¯h ⇒ψz=iR(z)ψ0

∂

∂tH = 0, H|ni=En|ni

R(z) =X

n

1

z−ωn|nihn|, ωn =En

¯ h

Eigenwerte vonH entsprechen den Polen vonR(z). Die Aufspaltung von H in H=H0+V, H0= p²

2m ergibt die freie Resolvente:

R^f(z) = 1 z−H0/¯h

(¯hz−H0)ψz =i¯hψ0+V ψz Schr¨od.gl.

ψz=iR^f(z)ψ0+1

¯ hR^f_zV ψz

Die freie Bewegung wird durch den ersten Term, der Einfluß des Potentials durch den zweiten Term charakterisiert.

Berechung vonR^f(z):

ψ_z^f =R^f(z)ψ0

1 - Dimension:

¯ hz+ ¯h²

2m d² dx²

ψ^f_z(x) =i¯hψ0(x) Fouriertransformation bez¨uglichx:

ψ(x) = 1 2π

Z

dke^ikxψ(k)

¯

hz−¯h²k² 2m

ψ^f(k) =i¯hψ0(k) ψ^f(k) =i 1

z−^¯hk2m²

ψ0(k)

=ihk|R^f(z)|kihk|ψ0i

R¨ucktransformation:

2π¯h²V(~r) ↑Integralgleichung Lippmann-Schwinger-Gleichung

9.2. Die Streuamplitude

ψz(~r) =ψ~p(~r), ¯hp²

Annahme: V(~r) sei hinreichend stark lokalisiert:

r→∞lim r²V(r) = 0, derart, daß

Z V(r)

r d³rexistiert

Integral in Lipp.-Schwinger.-Gl. nach Potenzen in r⁰ Einsetzen in die Lipp.-Schw.-Gl. ergibt:

ψ~p(~r) =

r→∞e^i~r·~r+fp~(Ω)e^ikr

r (asympt. Form!)

mit

f~p(Ω) =f(~p⁰, ~p) =− Z

e^−i~p0·~r0v(~r⁰)ψ~p(~r⁰)d³~r⁰

(~p⁰ = ˆ~r·p) f heißtStreuamplitude.

ψ ist als Summe der ungest¨orten und einer gestreuten Welle darstellbar: aus-laufende Welle mit Amplitudef (i.a. nicht isotrop)

Setze asymptotische Form in L–S–Gleichung ein:

e^i~p·~r+fe^ipr

r =e^i~p·~r− Z

d³~r⁰e^ipre^−i~p0·~r0 r V⁰(~r⁰)

"

e^i~p·~r0+e^ipr0 r⁰ f(~p⁰, ~p)

#

⇒Integralgleichung f¨urf(~p⁰, ~p) f(~p⁰, ~p) =f⁰(~p⁰, ~p)− 1

(2π)³ Z

d³kf(~p⁰, ~k) 4π

p²−k²f(~k, ~p) mit

f⁰(~p⁰, ~p) = Z

d³~re^{−i(~p0−~p)·~r}v(~r) =−˜v(~p⁰−~p)

Das ist die Fouriertransformierte des Potentials nach dem Impuls¨ubertrag~p⁰−~p.

Aufgabe 1

Freier Fall:

V(x) =mgx, x >0

elastisch reflektierende Grundfl¨ache

→ V(0) =∞

nur diskrete Spektren

Schr¨odingergleichung:

−¯h² 2m

d²ψ(x)

dx² + mgx ψ(x) =E ψ(x) Randbedingungen:

ψ(0) = 0, ψ(∞) = 0 (ψ(x) = 0, x≤0) charakeristische L¨ange:

2m²g

¯

h² = 1 l³, Dimensionsloser Parameterλ(Energie)

2mE

¯

h² = λ l² L¨angenvariable:

ξ= x l − λ

(Z¨ahle Koordinate nicht vom Boden sondern vom klassischen Umkehrpunkt bei

x=λl=E/mgaus.)

⇒ d²ψ

dξ² − ξ ψ = 0 Randbedingungen:

ψ(−λ) = 0, ψ(∞) = 0

L¨osung:

ψ∼ξ¹² ξψ∼ξ³² ψ⁰∼ξ⁻¹²

ψ⁰⁰∼ξ⁻³² L¨osung: Airy-Funktion:

ψ(ξ) =C Ai(ξ) Im einzelnen gilt:

ξ >0:

Ai(ξ) = 1 π

ξ 3

¹₂ k¹

3

2 3ξ³² kv(z) modifizierte Hankelfunktion:

z→∞lim kv(z) = rπ

2z e^−z ξ <0 : ξ=−ξ

Ai(−ξ) = 1 3

pξh J¹

3

2 3ξ³²

+J₋¹

3

2 3ξ³²i Randbedingungen: ψ(−λ) = 0

⇒ J¹

3

2 3λ³²

+J₋¹

3

2 3λ³²

= 0

Bestimmungsgleichung f¨ur Energieeigenwerte

λ1= 2,33 ; λ2= 4,09 ; λ3= 5,52

Gute N¨aherung: Asymptotisches Verhalten der Besselfunktion

J¹

3(z)→ r 2

πzcos(z−..π 12)

J₋¹₃(z)→ r 2

πzcos(z− π 12)

⇒ J¹

3(z) +J₋¹

3(z) :

r 3

πzcos(z−π 4) Nullstellen liegen bei:

zn= 2

3 λn³² = π

4+ (2n−1) π

2 = (2n−1 2) π

2,

⇒ λ1= 2,32; λ2= 4,08; λ3= 5,51

En = ¯h² 2ml²

h3π 4

2n−1 2

i, n= 1,2,3

Aufgabe 2:

Kugelsymmetrisches Problem:

Molek¨ulpotential:

Minimum: beia= 1 Gute N¨aherung:

V(r) =−D+D(r−1)²−..

Klassische Schwingungsfrequenz f¨ur kleine Amplituden (r−1<<1):

ω= r2D

θ θ Tr¨agheitsmoment f¨ur Abstand a= 1 θ=m a²

E=−D+ ¯hω (n+1 2) +¯h²

2θ l(l+ 1), n= 0,1,2, ..

Exakte L¨osung:

ψ(r, θ, ϕ) = C L¨osung: konfluente hypergeometrische Reihe

f(r) =F(λ−γ²

β ,2λ,2βr) Endliches Polynom, wenn:

λ−γ²

Entwicklung nach Potenzen von 1/γ:

(n << γ, l << γ)

Integralform der Schr¨odingergleichung:

i¯h∂

∂tψ(~r, t) =

−¯h²

2m∇²+V(~r)

ψ(~r, t)

ψz= Z∞

0

e^iztψ(t)dt, z: komplexe Energie, ¯h²~p² 2m = ¯hz

⇒ (¯hz−H)ψz=i¯hψ0

Resolvente R(z) = 1

z−H/¯h ⇒ ψz=iR(z)ψ0

H=H0+V

ψz=iR^f(z)ψ0+1

¯ hR^fzV ψz

R^f(z) = 1 z−H0/¯h Fouriertransformation im Ortsraum

ψ~p(~r) =e^i~p·~r− m 2π¯h²

Z

d³r⁰ e^ip|~r−~r0|

|~r−~r⁰| V(~r⁰)ψ~p(~r⁰)

Lokalisiertes Potential: ⇒Entwicklung in Potenzen von ^r_r⁰ ψp~(~r) =e^i~p·~r+f(~p⁰, ~p)e^ipr

r , asymptotisch f¨ur r→ ∞

Streuamplitude: f(~p⁰, ~p) =− m 2π¯h²

Z

d³r⁰ e^−i~p0·~r0 V(~r⁰)ψ~p(~r⁰)

f =− m

2π¯h²hψ^f|V|ψi

Integralgleichung:

f(~p⁰, ~p) =f⁰(~p⁰, ~p)−

Z d³k

(2π)³f⁰(~p⁰, ~k) 4π

p²−k²f(~k, ~p) mit

f⁰(~p⁰, ~p) = m 2π¯h²

Z

d³re^{−i(~p0−~p)·~r}V(~r) =− m

2π¯h²Ve(~p⁰−~p) Ve ist die Fouriertransformierte des Potentials.

9.3. Wirkungsquerschnitt

Stromdichte der einfallenden Teilchen

~j=n~v= ¯h

2mi ψ^∗_einf∇ψeinf−ψeinf∇ψ^∗_einf ψeinf =e^i~p~r⇒~j=h~¯p

m

In das RaumwinkelelementdΩ pro Zeiteinheit gestreute Teilchen:

dN=jσ(Ω)dΩ, σ(Ω) : diff. Streuquerschnitt σtot=

Z

σ(Ω)dΩ, σtot: totaler Streuquerschnitt

λl, db lPotentialreichweite

Form des Wellenpaketesχ(~r), R

|χ(~r)|²d³r= 1 g(~k) =Z

d³re^−i~k·~rχ(~r), um~k konzentriert freies Wellenpaket

ψ_~b^f(~r) = Z

d³k⁰ g(~k⁰−~k)e^{i(~k0·(~r−~b)−Eh¯0t)}

E⁰ =¯hk⁰²

2m =E+ ¯h~v(~k⁰−~k) +· · ·

=e^−i~k·~be^{i~k·~r−iEh¯t} Z

d³k⁰ g(~k⁰−~k)e^{i(~k0−~k)·(~r−~b)} e^{−i~v·(~k0−~k)}

| {z }

χ(~r−~b−~vt)

Wellenpaket mit Geschwindigkeit~v Streuendes Wellenpaket:

ψ_~b(~r, t) = Z

g(~k⁰−~k)e^−i~k0·~bψ~k⁰(~r)e^−iE¯h0t

ψ~k⁰(~r) station¨are L¨osung der Schr¨odingergleichung. Nunt→ ±∞:

ψ~k⁰(~r) =e^i~k0·~r+f~k(Ω)e^ik0r r f¨urt→ ∞

ψ_~b(~r, t)→ψ^f_b(~r, t) + lim

t→∞

Z g(~k⁰−~k)f~k⁰(Ω)1

re^{i(k0r−E¯h0t−~k0·~b)}d³k⁰ mit:

~k⁰=k+ ˆv(~k⁰−~k) +· · ·; vˆ=~v v E⁰ =E+ ¯h~v(~k⁰−~k) +· · ·

f~k⁰(Ω) =f~k(Ω)e^{i(~k0−~k)·~s} ~s: Phasen¨anderung

⇒Phase k⁰r−E⁰

¯

h t−~k⁰·~b+ (~k⁰−~k)·~s+· · ·

=−~k~b+kr−E

¯

ht+ (~k⁰−~k)(ˆvr−~vt−~b+~s) + 0h

(~k⁰−~k)²i

⇒f¨urt→ ∞:

ψ_~b(~r, t)→ψ_b^f(~r, t) +e^−i~k·~bf~k(Ω)e^{i(kr−Eh¯t)}

r χ(ˆv(r−vt) +~s−~b)

Wahrscheinlichkeit f¨ur eine Streuung eines Teilchens in das Raumwinkel-gebiet

(Ω,Ω +dΩ)

PG(Ω) = Z∞

0

r²dr|ψb(~r, t)|²

=|f~k(Ω)|² Z∞

0

drχ(ˆv(r−vt) +~s−~b)

2

' |fk(Ω)|² Z∞

−∞

dz|χ(ˆvz+~s−~b)|², z=r−vt

Teilchenstrahl der Intensit¨at _cm2¹sec mitd²beinfallenden Teilchen pro Fl¨ achen-einheit um~b(⊥~k)

Streuwahrscheinlichkeit pro einfallenden Strom:

σ(Ω) =

9.4. Partwellenzerlegung und Streuphasen

V(~r) =V(r) Zentralpotential

Bei kugelsymmetrischen Potential ist der Drehimpuls ein Integral der Be-wegung. Zust¨ande mit verschiedenen Drehimpulsen nehmen daher unabh¨angig voneinander an der Streuung teil. Eine Darstellung als ¨Uberlagerung von Par-tialwellen mit verschiedenen Drehimpulsen wird dadurch sinnvoll.

f~k(Ω) h¨angt nur von Ω ab. Eingesetzt in Integralgleichung:

f(~k⁰, ~k) =f⁰(~k⁰, ~k)− Integralgleichung f¨ur die l–Komponente der Streuamplitude f

f_l⁰(k⁰, k) =−2l+ 1

F¨ur die letzte Gleichung entwickelt man die ebene Welle nach Kugelfunktionen.

f(~k⁰, ~k) =X

l

fl(k⁰, k)Pl(cosθ) Dr¨uckefl durch Streuphase aus:

Einfallende ebene Welle:

e^ikz = X∞ l=0

(2l+ 1)i^l jl(kr)Pl(cosθ)

r→ ∞ jl(kr)∼ sin(kr−^lπ2)

kr (kr >> l) e^ikz ≈(kr)⁻¹

X∞ l=0

(2l+ 1)i^lPl(cosθ) sin(kr−lπ 2)

= (kr)⁻¹ X∞

l=0

(2l+ 1)i^lPl(cosθ) i 2

h

e^{−i(kr−lπ2)}−e^i(kr−lπ2)i erster/zweiter Term in der eckigen Klammer: ein/auslaufende Kugelwelle

Gestreute Welle:

ψ(r) = (kr)⁻¹ X∞ l=0

(2l+ 1)i^l Rl(r)Pl(cosθ) Rl(r) ist eine L¨osung der radialen Schr¨odingergleichung:

d²

dr² − l(l+ 1)

r² + k²

Rl(r) = 2mV(r)

¯

h² Rl(r) Rl(0) = 0

r→0 (V(r)∼r⁺ⁿ, n≥ −1) d²

dr² − l(l+ 1) r²

Rl= 0, Rl(r)∼r^l+1 r→ ∞

Rl(r) = sin(kr−lπ 2 + i

2 (−1)^l(1−Sl)e^ikr

= i 2

he^{−i(kr−lπ2)} − Sl(k)e^i(kr−lπ2)i

Streuung ¨andert die Amplitude der vom Zentrum ausgehenden Welle.

Vergleiche mit

ψ(r) =e^ikz + f(θ) ikr r

⇒ f(θ) = i 2k

X∞ l=0

(2l+ 1) (1−Sl)Pl(cosθ) oder

fl= 2l+ 1

k e^iδl sinδl

mit (Sl−1) = 2i e^iδl sinδl

δl = relle Phasenverschiebung = Streuphase

V →0 δ→0 ⇒ δ ∈ (0, π) oderδ∈(−^π2,^π₂)

Vorw¨artsstreuung (θ= 0, Pl(1) = 1) f(0) = i

2k X∞ l=0

(2l+ 1) (1−Sl) Differentieller Wirkungsquerscnitt:

σ(Ω) =| X∞ l=0

flPl(cosθ)|² Totaler Wirkungsquerschnitt:

σtot= Z

d(Ω) dΩ = X∞ l=0

σl

mit

σl= 4π 2l+ 1 |fl|²

=4π

k² (2l+ 1) sin²σl

⇒ σl= 4π k Im{fl}

⇒ optisches Theorem:

σtot= 4π

k Im{f(0)} Maximale Streuung: |sinδl|= 1

⇒ σl= 4π

k² (2l+ 1) erreicht bei:

σ^R_l = (2n+ 1) π

2 , n= 0,1, ...

Seiδl(E0) =δ^R_l

δ(E) =δ_l^R+a(E−E0) +...

⇒ sin²δl= 1−a²(E−E0)²+...

Verhalten bei kleineren Frequenzen:

Reichweite des Potentials: r0

f¨ur Energien mitkr0<<1 ⇒ λ=^2π_k >> r0

⇒ Aufenthaltswahrscheinlichkeit f¨ur Wellen mit p

l(l+ 1) > kr0 am Po-tential klein ⇒ großel nehmen nicht an Streuung teil

⇒ Nur S-Wellen-Streuung (Struktur des Potentials wird nicht gesehen)

Streul¨ange:

⇒ f~k(Ω) =−a σtot= 4π a² Beispiel: Streuung an der harten Kugel

V(r) =

∞ r < a 0 r > a

ψklm(~r) =χkl(r)Y_l^m(θ, φ), E= ¯h²k² 2m r > a

χkl(r) =aljl(kr) + blnl(kr) (f reieW elle) Asymptotik: r→ ∞

χkl → 1

kr sin(kr−1 2lπ+δl) Asymptotik vonjl, nl:

jl(kr)→sin(kr−lπ 2) nl(kr)→ −cos(kr−lπ 2) χkl(r) = 1

kr

cosδljl(kr) + sinδlnl(kr)

tanδl= bl

al

Randbedingung: χkl(a) = 0

→ a jl(ka) + b nl(ka) = 0

⇒ tanδl=−jl(ka) nl(ka)

⇒ σl=4π(2l+ 1) k²

j_l²(ka) j_l²(ka) + n²_l(ka) l= 0 :

σ0= 4π a²sin²ka ka

2

Grenzfall kleiner Energien:

k→0limσtot= lim

k→0σ0= 4π a² 4-facher klassischer Wirkungsquerschnitt

Grenzfall großer Energien:

k→∞lim σtot= 2π a²

2-facher klassischer Wirkungsquerschnitt. klassisches Ph¨anomen der Wellenop-tik:

σtot=πa²(Streuung) +πa²(Schatten) Babinetsches Prinzip

fig141.eps

IV. N ¨AHERUNGSMETHODEN f ¨UR STATION ¨ARE PROBLEME

Im Dokument 3. Zeitliche Entwicklung quantenmechanischer Zust¨ ande (Seite 33-48)