Prof. Dr. Moritz Kaßmann
Aufgaben zur Klausur Geometrie (Gym/Ge) (240057) am 18.7.2019
Es gibt sechs Aufgaben. Jede Aufgabe wird mit maximal 20 Punkten bewertet. Die Aufgabe, bei denen Sie die geringste Punktzahl erzielen, wird nach der Korrektur ignoriert.
Insgesamt k¨onnen Sie in der Klausur also maximal 100 Punkte erzielen.
1. (a) Geben Sie die Definition eines vollst¨andigen Vierecks an.
(b) Geben Sie die Definition eines vollst¨andigen Vierseits an.
2. Seien A, B, C, D vier kollineare Punkte mit der Eigenschaft, dass D harmonisch zu C bzgl. zuABist. Zeigen Sie mit Hilfe einer geometrischen ¨Uberlegung1, dass dann auch B harmonisch zu A bzgl. CD ist.
3. Beweisen Sie, dass es in einer projektiven Ebene keinen Punkt gibt, der auf allen Geraden liegt. Geben Sie bei jedem Beweisschritt das verwendete Axiom an.
4. ¨Uberpr¨ufen Sie, ob in einer projektiven Ebene die folgenden Eigenschaften gelten.
Beweisen Sie Ihre Aussage. Geben Sie bei jedem Beweisschritt das verwendete Axiom an.
P1: Zu je zwei Punkten gibt es genau eine Verbindungsgerade.
P2: Zu je zwei Geraden gibt es genau einen Schnittpunkt.
P3: Auf jeder Geraden liegen mindestens drei Punkte.
P4: Es gibt drei Punkte, die nicht alle auf derselben Geraden liegen.
5. Es werde ein Dreieck ABC mit Seiten bzw. Seitenl¨angen a, b, c betrachtet. Sei p= a+b+c2 . Beweisen Sie, dass die Gr¨oße
pp(p−a)(p−b)(p−c)
gleich dem Fl¨acheninhalt |ABC|des Dreiecks ist.
Hinweis: Eine M¨oglichkeit besteht darin, die Formel |ABC| = 12bcsin(α) und eine geeignete Formel f¨ur cos(α) zu verwenden.
6. Die Menge aller Punkte in der Ebene, die von einem festen Punkt F (genannt Brennpunkt) und von einer gegebenen Geradenl (genannt Leitgerade) den gleichen Abstand haben, heißt Parabel.
Beweisen Sie folgende Aussage: Der Graph der Funktion f :R→R, f(x) = 2x2
ist eine Parabel mit Brennpunkt F = (0,18) und mit Leitgerade {(x, y))|y=−18}.
1Eine Verwendung von Doppelverh¨altnissen ist hier nicht zugelassen
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