Kapitel 1. Grundlagen

(1)

Kapitel 1. Grundlagen

1.1

Das Rechnen mit Zahlen

Wir gehen in dieser Vorlesung mit folgenden Zahlbereichen um:

N: nat¨urliche Zahlen 1,2,3,4,5, . . .

Z: ganze Zahlen . . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . Q: rationale Zahlen: das sind die Zahlen,

die man als Quotient ^p_q zweier ganzer Zahlenpundq schreiben kann.

Es gibt auch nicht rationale (irrationale) Zahlen, z.B.√

2oder π.

Mathematik I – WiSe 2005/2006 1

R: reelle Zahlen:

rationaleund irrationale Zahlen.

Wenn wir uns auf die positiven (negativen) Zahlen beschr¨anken wollen, setzen wir ein hochgestelltes +(−) Zeichen hinter unser Symbol, alsoZ⁺,Q⁺ undR⁺ sowieZ⁻, Q⁻undR⁻. BeachteZ⁺=N. Wenn wir in unsere Zahlbereiche auch noch die 0 einschließen wollen, schreiben wir eine tiefergestellte 0 hinter unser Symbol, also bezeichnet z.B.N0die Zahlen0,1,2,3, . . .. Diese Menge bezeichnet man auch als die Menge dernicht negativen ganzen Zahlen!

Potenzen

Wir schreiben f¨ur dasn-fache Produkt vonaauch aⁿ: a·a·a· · ·a=aⁿ.

a Basis, n Exponent oder Potenz. F¨ur das Rechnen mit Potenzen gelten Rechenregeln, die wir aus der Schule als bekannt voraussetzen.

Der Ausdruck0⁰ist nicht definiert.

Die Zahl √ⁿ

b heißt die n-te Wurzel von b. Wir setzen hier b≥0 voraus sowie

√n

b≥0. Dien-te Wurzel aus bist diejenige nichtnegative Zahlxmitxⁿ=b.

Wenn wir Ausdrücke der Form x^y betrachten, dann können wir entweder x als feste Größe und y als die Variable, oder umgekehrtx als Variable und y als fest betrachten. Im ersten Fall sprechen wir vonExponentialfunktionen, im zweiten Fall von Potenzfunktionen.

Exponentialfunktionen

Man macht sich das Verhalten der Exponentialfunktion am Besten an den zugeh¨origen Funktionsgraphen klar. Wir zeigen Ihnen hier einige Beispielea^x mit

a > 1 sowie 0 < a < 1. Beachten Sie den Unterschied: Ist a > 1, so ist die Funktion wachsend, ist 0 < a < 1, so ist sie fallend. Es gilt stets a⁰ = 1, d.h. die Funktionsgraphen von a^x gehen stets durch den Punkt x= 0, y= 1, unabh¨angig davon, wie agew¨ahlt ist.

(2)

Einige Exponentialfunktionen a^x mit a>1

1.1^x

2^x 3^x

0 5 10 15 20 25

–3 –2 –1 1 2 3

x

Hier m¨ussen wir etwas aufpassen. Der Graph der Funktion 1.1^x sieht sehr flach aus. Dem ist aber nicht so, wenn wirxgroß w¨ahlen. Dann zeigt auch der Graph von1.1^x exponentiellesWachstum:

1.1^x

20 40 60 80 100

–10 10 20 30 40 50

x

Einige Exponentialfunktionen a^x mit a<1

0.5^x 0.2^x

0.9^x

0 5 10 15 20 25

–2 –1.5 –1 –0.5 0.5 1

x

Beispiel 1.1 Im Jahre 1990 wurde das BSP Chinas auf 1.2·10¹² US-Dollar geschätzt und die Wachstumsrate auf9%jährlich. Das BSP für die USA wurde mit 5.6·10¹² US-Dollar und einer Wachstumsrate von 2% angegeben. Das folgende Bild skizziert den Verlauf des BSP (auf der y-Achse) im zeitlichen Verlauf (rot: China; blau: USA). Die Funktionen, die hier aufgetragen wurden sind

BSPCHINA(t) = 1.2·10¹²·1.09^t BSPUSA(t) = 5.6·10¹²·1.02^t

Man erkennt, dass nach etwa 23 Jahren China die USA eingeholt haben wird.

(3)

2e+12 4e+12 6e+12 8e+12 1e+13 1.2e+13 1.4e+13 1.6e+13

0 5 10 15 20 25 30

x

Potenzfunktionen

Wir kommen nun zu Potenzfunktionen. Wir beginnen mit einigen Beispielen xⁿ mitn∈N. Beachten Sie dabei bitte, dass diex-Achse (manchmal auchAbszisse genannt) und diey-Achse (Ordinate) nicht maßst¨ablich sind!

Einige Potenzfunktionen x^n x^4

x^1

x^3 x^2

–5 0 5 10 15

–2 –1 1 2

x

Wenn wir Potenzfunktionen xⁿ betrachten mit n ∈ Z, n < 0, so sehen die Funktionsgraphen etwas anders aus. Wir beschr¨anken uns hierbei auf den Bereich x >0:

Einige Potenzfunktionen x^n, n<0

x^(–1) x^(–2) x^(–3) x^(–4)

0 20 40 60 80 100 120

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x

(4)

Hier sind einige Funktionsgraphen von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten. Wir müssen uns auf den Fallx >0beschränken, weil z.B. Ausdrücke wie−1^1/2=√

−1gar nicht erkl¨art sind. Alle Graphen von Potenzfunktionen xⁿ gehen durch den Punktx= 1undy= 1, weil stets1ⁿ= 1gilt.

Einige Potenzfunktionen x^n

x^2

x^(–1/5)

x^(1/2) x^(1/5)

x^(–1/2)

0 1 2 3 4

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x

Logarithmus

Die Umkehrung des Potenzierens ist dasLogarithmieren.

Gilt a^x = b, a, b > 0, a 6= 1, so heißt x der Logarithmus von b zur Basis a. Bezeichnung:

x= log_a(b).

Manchmal lassen wir die Angabe der Basis auch weg. Ist die Basis10, sprechen wir vom dekadischen Logarithmus. Ist a die Eulersche Zahl e ≈ 2,7182. . ., heißt der Logarithmus nat¨urlich. Der nat¨urliche Logarithmus wird meistens mit lnbezeichnet, der dekadische Logarithmus mitlg.

Wir halten noch einmal explizit fest:

a^log^a^(b)=b

F¨ur das Logarithmieren gelten Rechenregeln, die wir aus der Schule als bekannt voraussetzen.

F¨ur die konkrete Berechnung von Logarithmen ben¨otigt man eigentlich nur die Kenntnis der Logarithmen zu einer bestimmten Basis:

log_a(b) = log_c(b) log_c(a).

Ublicherweise haben Studierende mit¨ dem Logarithmieren etwas mehr Schwierigkeiten als mit den anderen Rechenregeln. Ahnlich wie im Fall von¨ Exponential- und Potenzfunktionen zeigen wir Ihnen hier die Funktionsgraphen einiger Logarithmusfunktionen. Man beachte, dasslog_a(x)nur f¨ura, x >0sowie a6= 1definiert sind. Es f¨allt auf: log_a(1) = 0.

(5)

Einige Logarithmusfunktionen

log_3(x) log_0.2(x)

log_0.5(x)

log_1.5(x)

–2 –1 0 1 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x

Beispiel 1.2 Wir kommen noch einmal zu dem Beispiel 1.1 zur¨uck. Um den Zeitpunkt tzu finden, an dem BSPCHINA(t) =BSPUSA(t)gilt, m¨ussen wir

1.2·10¹²·(1.09)^t= 5.6·10¹²·(1.02)^t l¨osen, also

1.09 1.02

t

= 5.6

1.2≈4.667.

Das liefert

t≈log_1.069(4.667)≈23.

1.2

Gleichungen

Ein zentrales Thema der Algebra ist das L¨osen von Gleichungen. Ganz einfach ist dies f¨ur sogenanntelineare Gleichungen

a·x=b

Wenn hier a6= 0 ist, k¨onnen wir beide Seiten der Gleichung durch a dividieren und erhalten als L¨osungx=_a^b.

Die positive Lösung einerPotenzgleichungder Form xâ=b, b >0 ist x = √â

b= b¹^a. Beachte: Der Ausdruck √^a

b ist vereinbarungsgem¨aß immer positiv.

Man beachte den Unterschied zurExponentialgleichung a^x=b, a, b >0, a6= 1 Die L¨osung der Exponentialgleichung ist x= log_a(b).

Die L¨osungen vonquadratischen Gleichungender Form ax²+bx+c= 0, a6= 0

sollten aus der Schule bekannt sein. Die L¨osungen f¨ur a6= 0 sind

x_±=−b±√

b²−4ac

2a .

(6)

Machen wir uns noch einmal klar, wie man auf diese L¨osung kommt. Wir setzen a6= 0voraus:

ax²+bx+c= 0 x²+b

a x=−c a x²+b

a x+ b

2a 2

=−c a+

b 2a

2

x+ b

2a 2

=−c a+ b²

4a² x+ b

2a=±

√b²−4ac 2a x_±=−b±√

b²−4ac

2a .

Weil es keine Wurzeln aus negativen Zahlen gibt, kann es passieren, dass eine quadratische Gleichung keine oder nur eine oder zwei L¨osungen hat:

• Istb²−4ac >0, so gibt es zwei L¨osungen.

• Istb²−4ac= 0, so gibt es eine L¨osung.

• Istb²−4ac <0, so gibt es keine L¨osungen.

Beachten Sie, dass sich die L¨osungsformel vereinfacht, wenn a = 1 ist. Wir erhalten dann als L¨osung der Gleichung

x²+px+q= 0

die sogenannte p-q-Formel:

x_±= −p±p p²−4q 2 Beispiel 1.3 Finde allexmit

x+ 2 =√

4−x. (1.1)

Wir quadrieren beide Seiten und erhalten so (x+ 2)²= 4−x.

also

(x+ 2)²=x²+ 4x+ 4 = 4−x

(7)

oder

x²+ 5x = 0 x(5 +x) = 0.

Das geht aber nur f¨ur x = 0 oder x= −5. Wir m¨ussen jetzt aber aufpassen!

Durch das Quadrieren der Gleichung haben wir vielleicht unerwünschte neue Lösungen erhalten. Beispiel: x = −3, Quadrieren liefert x² = 9, als Lösungen also x =±3, aber x= 3 war keine Lösung der ursprünglichen Gleichung! Wir müssen also, wenn wir beim Lösen von Gleichungen quadrieren, mit den erhaltenen Lösungen immer eine Probe machen, d.h. in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Wir machen also die Probe: Setzen wir 0in die Gleichung (1.1) ein, so erhalten wir2 =√

4, richtig. Beim Einsetzen von−5ergibt sich−3 =√

9, was falsch ist, da die Wurzel stets positiv ist!

Ungleichungen

Wir schreiben a < b fallsaecht kleiner als bist, also insbesondere a6=b. Wenn wir den Falla=bauch zulassen wollen, schreiben wira≤b. Wenn wira < b < c schreiben meinen wira < bundb < c (und damit nat¨urlich aucha < c). Sinnlos ist ein Ausdruck der Form a < b > c!!

In den beiden folgenden Tabellen sind die wesentlichen Regeln f¨ur das Rechnen mit Ungleichungen zusammengefasst:

[SU1] Ausa < b undb < cfolgta < c.

[SU2] Ausa < b folgta+c < b+c.

[SU3] Ausa < b undc < d folgta+c < b+d.

[SU4] Ausa < b undc >0folgtac < bc.

[SU5] Ausa < b folgt−a >−b.

[SU6] Ausa < b,b >0und 0< c < dfolgtac < bd.

[SU7] Aus0< a < bfolgt 1 a> 1

b. [SU8] Ausa <0< bfolgt 1

a< 1 b. [SU9] Aus0< a < bfolgta²< b².

[U1] Ausa≤bundb < cfolgta < c.

[U2] Ausa≤bundb≤cfolgta≤c.

[U3] Ausa≤bfolgta+c≤b+c.

[U4] Ausa≤bundc < d folgta+c < b+d.

[U5] Ausa≤bundc≤dfolgta+c≤b+d.

[U6] Ausa≤bundc >0folgtac≤bc.

[U7] Ausa≤bfolgt−a≥ −b.

[U8] Ausa≤b,b >0und0< c < dfolgtac < bd.

[U9] Ausa≤b,b >0und0< c≤dfolgtac≤bd.

[U10] Aus0< a≤bfolgt 1 a≥ 1

b. [U11] Aus0< a≤bfolgta²≤b².

(8)

Lernen Sie diese Regeln bitte nicht stur auswendig! Der Umgang mit Ungleichungen ist weitgehend selbsterkl¨arend, wenn man nur beachtet, dass sich das Ungleichungszeichen “umdreht” wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert (siehe [SU5] und [U7] sowie [SU8]). Es sei auch noch einmal auf [SU6] hingewiesen:

Ausa < b,b >0und 0< c < dfolgtac < bd

Diese Aussage ist falsch f¨ur b≤0: Setzea=−2, b=−1, c= 1, d= 3: Dann istac=−2nichtkleiner als bd=−3.

Der Absolutbetrag

Sei a eine reelle Zahl. Manchmal interessiert man sich nur f¨ur den Abstand von a zur 0, gleichg¨ultig, ob a positiv oder negativ ist. Diesen Abstand nennt man

den Betragvona:

|a|:=

( a falls a≥0

−a falls a <0.

Beachte: −a >0fallsa <0.

Beispiel 1.4 | −4|= 4, |4|= 4,|0|= 0, √²

x²=|x| Wir erhalten die beiden folgenden einfachen Regeln

| −a| = |a|

|a·b| = |a| · |b|. Von großer Bedeutung ist die Dreiecksungleichung

|a+b| ≤ |a|+|b|

Beispiel 1.5 • |3 + (−5)|= 2≤ |3|+| −5|= 8

• | −2−6| = 8 ≤ | −2|+| −6| = 8 (hier haben wir Gleichheit in der Dreiecksungleichung).

Beispiel 1.6 Bestimme die L¨osungsmenge der Ungleichung 21 +x

2x + 1<5. (1.2)

Wir formen diese Ungleichung um:

21 +x 2x <4.

Nun m¨ussen wir aufpassen und zwei F¨alle unterscheiden:

Fall 1: x >0

21 +x < 8x 21 < 7x x > 3

(9)

Fall 2: x <0

21 +x > 8x (weilxnegativ ist!) 21 > 7x

3 > x

Wir können jetzt aber nicht sagen, die Lösungsmenge besteht aus allen x mit x < 3, weil wir die Ungleichung x < 3 ja nur unter der Voraussetzung x < 0 erhalten haben. Die Lösungsmenge besteht in diesem Fall also aus allenx <0.

Beachte, dass der Fallx= 0nicht auftreten kann.

Wir erhalten:

Die Ungleichung (1.2) ist für allexmitx <0sowie für alle xmitx >3gültig.

Beispiel 1.7 Bestimme die L¨osungsmenge der Ungleichung x−2

x−1<x+ 1

x+ 2 (1.3)

Wir multiplizieren beide Seiten mit(x−1)(x+ 2), um die Br¨uche zu beseitigen.

Wir können das aber nur dann sorglos tun, wenn dieser Ausdruck positiv ist. Das ist der Fall für x >1sowie fürx <−2.

Fall 1: x >1oder x <−2

x−2

x−1 < x+ 1 x+ 2

(x−2)(x+ 2) < (x−1)(x+ 1) x²−4 < x²−1

−4 < −1

Das bedeutet, dass die Ungleichung (1.3) f¨ur allexmitx >1oderx <−2g¨ultig ist.

Fall 2: −2< x <1 Nun gilt

x−2

x−1 < x+ 1 x+ 2

(x−2)(x+ 2) > (x−1)(x+ 1) x²−4 > x²−1

−4 > −1 und das ist ganz offensichtlich nie erf¨ullt.

Beachte auch hier wieder, dass die Fälle x= −2 sowie x = 1 nicht behandelt werden müssen, da die in der Ungleichung auftretenden Ausdrücke in den Fällen gar nicht erklärt sind.

Wir halten fest: Die Ungleichung (1.3) ist g¨ultig f¨ur alle x∈Rmitx <−2oder

(10)

x >1.

Wenn Sie wollen, k¨onnen Sie durch Einsetzen von Werten dieses Ergebnis erh¨arten:

x= 0.3: Berechne zunächst die linke Seite ^−1.7_−0.7 =¹⁷₇, dann die rechte Seite von (1.3): ^1.3_2.3 = ¹³₂₃. Offensichtlich ist die linke Seite größer als die rechte Seite, die Ungleichung gilt also für x= 0.3nicht.

x=−2.1: Wir erhalten

−4.1

−3.1= 41

31< −1.1

−0.1= 11.

Die folgende Skizze illustriert das noch einmal: der durchgezogene Graph beschreibt die linke Seite, der gestrichelte Graph die rechte Seite der Ungleichung.

–6 –4 –2 2 4 6

y

–6 –4 –2 2 4 6

x

Beispiel 1.8 Bestimme allexmit

x³−x²−2x >0. (1.4) Um dieses Problem zu lösen, versuchen wir, die linke Seite der Ungleichung zu faktorisieren. Wir können zunächstxausklammern und bekommen

x(x²−x−2)>0.

Nun faktorisieren wirx²−x−2. Wir k¨onnen das machen, indem wir die Nullstellen bestimmen. Die Nullstellen sind 2 und −1, also x²−x−2 = (x−2)(x+ 1).

Wir m¨ussen also alle xbestimmen mitx(x−2)(x+ 1)>0. Das Produkt von 3 Zahlen (hierx,x−2undx+ 1) ist gr¨oßer als0wenn alle Zahlen>0sind oder

wenn nur eine Zahl >0ist, die anderen beiden <0. Alle Zahlen sind größer als 0wenn x >2ist. Zwei Zahlen sind<0für −1< x <0. Also: Die Ungleichung (1.4) ist fürx >2sowie für−1< x <0gültig. Auch dies wird durch eine Skizze verdeutlicht:

(11)

–5 0 5 10

–2 –1 1 2 3

x

Summen- und Produktzeichen

Ein großer Vorteil der sehr formalen mathematischen Sprache ist es, komplizierte Zusammenhänge einfach und klar ausdrücken zu können. Gerade auch diese Eigenschaft der Mathematik macht sie zu einer geeigneten Hilfswissenschaft der Wirtschaftswissenschaften.

Seien a₁, . . . , a_nreelle Zahlen. Dann schreiben wir statt a₁+a₂+· · ·+a_n

auch _n

X

i=1

a_i

(gelesen: Summe der a_i mit i von 1 bis n). Der Laufindex i heißt Summationsindex, 1 und n sind die untere und obere Schranke. Die untere

Schranke muss nicht1sein:

X5 i=3

i²= 3²+ 4²+ 5²= 9 + 16 + 25 = 50.

Folgende einfachen Regeln gelten f¨ur den Umgang mit dem Summenzeichen:

Xn i=k

a = (n−k+ 1)a (aist konstant!) Xn

i=k

ca_i = c Xn i=k

a_i (ausklammern!) Xn

i=k

(a_i+b_i) = Xn i=k

a_i+ Xn i=k

b_i Xn

i=k

a_i = Xm i=k

a_i+ Xn i=m+1

a_i f¨ur k≤m < n.

Ahnlich wie das Summenzeichen kann man das Produktzeichen¨ Q

einf¨uhren:

(12)

Yn i=k

a_i=a_k·a_k+1· · ·a_n.

Das Produktzeichen ist etwas weniger gebr¨auchlich als das Summenzeichen. Hier sind einfache Rechenregeln f¨ur den Umgang mitΠ:

Yn i=k

a = a^n−k+1 Yn

i=k

ca_i = c^n−k+1 Yn i=k

a_i Yn

i=k

(a_i·b_i) = Yn i=k

a_i· Yn i=k

b_i Yn

i=k

a_i² = ( Yn i=k

a_i)²

Die folgende Ungleichung (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) ist manchmal sehr n¨utzlich:

Xn i=1

a_ib_i

!2

≤( Xn i=1

a_i²)·( Xn i=1

b_i²) Beispiel 1.9 Setzen Sie die Zahlen

i= 1 i= 2

a_i 2 3

bi 4 1

ein und Sie erhalten

(8 + 3)²= 121≤(2²+ 3²)·(4²+ 1²) = 13·17 = 221.

Man kann auch Gleichheit haben. W¨ahle

i= 1 i= 2

ai 2 −1

b_i 4 −2

und erhalte

(8 + 2)²= 100 = (2²+ (−1)²)·(4²+ (−2)²) = 5·20 = 100.

(13)

1.3

Aussagen und Mengen

In der Mathematik geht es umAussagen. Eine Aussage ist ein “statement”, das entweder wahroder falsch sein kann. Beides geht nicht! ¨Außerungen, die nicht die Eigenschaft haben, wahr oder falsch zu sein, gelten nicht als Aussagen.

Beispiel 1.10 • “Das Bruttosozialprodukt der Bundesrepublik Deutschland ist h¨oher als das der USA” ist eine offenbarfalscheAussage.

• “Gute Nacht, Freunde” istkeineAussage.

H¨aufig h¨angen Aussagen auch von variablen Parameternxab. Wir sprechen dann vonAussageformenA(x).

Beispiel 1.11 “F¨ur alle nat¨urlichen Zahlenxgilt: xist Primzahl” ist eine offenbar falscheAussage.

Eine richtigeAussage w¨are:

“F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen xgilt, dassxnicht negativ ist.”

Ein anderes Beispiel einer Aussageform ist: “Unter allen G¨utern gibt es mindestens ein Gutx, dessen Preis sich ver¨andert”.

F¨ur Aussageformen f¨uhren wir folgende Bezeichnungen ein:

A(x)giltf¨ur allex: ^

x

A(x) A(x)giltf¨ur einx: _

x

A(x)

Interessant wird es, wenn man Aussagen A und B miteinander verknüpft. Der Wahrheitswert der verknüpften Aussage hängt vom Wahrheitswert vonAund B ab. Wir wollen das am Beispiel erläutern:

Beispiel 1.12 Die Aussage “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften oder Mathematik” ist wahr, wenn Franz mindestens eines der beiden F¨acher Wirtschaft oder Mathematik studiert, eventuell auch beide. Die Aussage ist Verkn¨upfung der beiden Aussagen “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften”

sowie “Franz studiert Mathematik” durch einoder.

Beachte: Die Aussage “Franz studiert Wirtschaftswissenschaften oder Mathematik” ist auch wahr, wenn Franz ganz fleißig ist und sowohl Wirtschaftswissenschaften als auch Mathematik studiert. Es handelt sich beim mathematischen odernichtum ein entweder-oder.

Konjunktion

Seien A und B zwei Aussagen. Dann ist die Aussage A und B, geschrieben A∧B wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. Die Aussage A und B ist falsch, wenn mindestens eine der beiden AussagenA,Bfalsch ist. Man nennt dies auch dieKonjunktionder AussagenAund B.

(14)

Disjunktion

Seien A und B zwei Aussagen. Dann ist die Aussage A oder B, geschrieben A∨B wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Die Aussage AoderB istfalsch, wenn sowohlAals auchBfalsch sind. Man nennt dies auch die Disjunktionder AussagenAundB.

Man stellt dies häufig auch durch sogenannteWahrheitstafelndar. Das ist eine Tabelle, in die wir die möglichen Wahrheitswerte von A und B eintragen und dann die entsprechenden Wahrheitswerte der verknüpften Aussagen auswerten.

Hier ist die Wahrheitstafel f¨ur die Konjunktion:

A B A∧B

w w w

w f f

f w f

f f f

und hier die f¨ur die Disjunktion:

A B A∨B

w w w

w f w

f w w

f f f

Kehrt man eine Aussage in ihr Gegenteil um, erh¨alt man die Negation der Aussage. Bezeichnung: A. Klar ist, das eine negierte wahre Aussage falsch wird und umgekehrt.

Beispiel 1.13 Wir wollen die AussageA“Deutschland ist Exportweltmeister und Fussballvizeweltmeister” negieren, d.h. wir suchen die Aussage, die wahr ist genau in den F¨allen, in denen A falsch ist. A ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist, wenn also Deutschland nicht Exportweltmeisterodernicht

Vizeweltmeister ist.

Dieses Beispiel zeigt, wie wir eine Konjunktion negieren:

A∧B=A∨B Ahnlich sieht es mit der Negation der Disjunktion aus:¨

A∨B=A∧B

Das Gleichheitszeichen soll hier bedeuten, dass die Aussagen auf den beiden Seiten denselben Wahrheitswert haben (also wahr oder falsch sind), wenn f¨ur A undBauf beiden Seiten die selben Aussagen eingesetzt werden.

Schwierigkeit bereitet manchmal die Negation einer “f¨ur alle” sowie “es gibt ein”

Aussage.

(15)

^

x

A(x) = _

x

A(x) _

x

A(x) = ^

x

A(x)

Umgangssprachlich: Wenn eine Aussage A(x) nicht für alle xgilt, dann muss es ein x geben, für das diese Aussage nicht gilt. Und wenn es kein x gibt für das eine AussageA(x)wahr ist, dann istA(x)für allexeine falsche Aussage.

Beispiel 1.14 SeiA(x)die Aussage

“Der Preis des Gutesxist konstant”.

Wir wollen uns alle Aussagen anschauen, die wir mitA(x)mittels Negation sowie VundW

bilden k¨onnen:

^

x

A(x) Die Preise aller G¨uter bleiben konstant.

^

x

A(x) Die Preise aller G¨uter ver¨andern sich.

^

x

A(x) Nicht f¨ur alle G¨uter bleiben die Preise konstant.

^

x

A(x) Nicht für alle Güter verändern sich die Preise.

_

x

A(x) Der Preis mindestens eines Gutes bleibt konstant.

_

x

A(x) Der Preis mindestens eines Gutes ver¨andert sich.

_

x

A(x) Der Preis keines Gutes bleibt konstant.

_

x

A(x) Der Preis keines Gutes ver¨andert sich.

Beachten Sie, dass hier die erste und achte, die zweite und siebte, die dritte und sechste sowie die vierte und f¨unfte Aussage jeweils gleich sind.

Implikation und ¨Aquivalenz

DieImplikation(geschriebenA⁾B) ist falsch, wennAwahr ist,Baber falsch.

In allen anderen F¨allen ist die Implikation wahr. Sprechweise: WennA, dannB.

Wahrheitstabelle:

A B A⁾B

w w w

w f f

f w w

f f w

Das ist etwas gew¨ohnungsbed¨urftig, weilA⁾B wahr ist wennAfalsch ist (Aus

(16)

etwas Falschem darf man alles folgern).

Wir nennen A eine hinreichende Bedingung f¨ur B und B eine notwendige Bedingung f¨ur A.

Gilt A⁾B und B⁾A, so nennt man die beiden Aussagen ¨aquivalent.

Bezeichnung: A⇔B. Die zugeh¨orige Wahrheitstafel ist

A B A⇔B

w w w

w f f

f w f

f f w

Zwei Aussagen heißen also ¨aquivalent, wenn sie beide wahr oder beide falsch sind.

Beispiel 1.15 Betrachte die Aussage

“Wenn die Inflation steigt, dann sinkt die Arbeitslosenquote.”

Wir ¨uberlegen uns, welche der folgenden Aussagen dazu ¨aquivalent sind:

1. Damit die Arbeitslosenquote sinkt, muss die Inflation steigen.

2. Eine hinreichende Bedingung daf¨ur, dass die Arbeitslosenquote sinkt, ist ein Anstieg der Inflation.

3. Die Arbeitslosenquote kann nur fallen wenn die Inflation steigt.

4. Wenn die Arbeitslosenquote nicht sinkt, dann steigt die Inflation nicht.

5. Die Inflation kann nur steigen wenn die Arbeitslosenquote sinkt.

Offensichtlich bestehen alle diese Aussagen aus zwei Teilaussagen

Die Arbeitslosenquote sinkt (AussageA)

und

Die Inflation steigt. (AussageB).

Diese Aussagen sind unterschiedlich verknüpft. Wir wollen die Wahrheitstafeln für diese Verknüpfungen aufstellen. Die ursprüngliche Aussage lautet B⁾A, und ihr Wahrheitswert wird zunächst bestimmt:

A B B⁾A (1) (2) (3) (4) (5)

w w w w w w w w

w f w f w f w w

f w f w f w f f

f f w w w w w w

Also sind die Aussagen (2), (4) und (5) ¨aquivalent zur urspr¨unglichen Aussage.

Wir wollen die Aussagen (1) bis (5) noch einmal analysieren:

(17)

(1) A⁾B (2) B⁾A (3) A⁾B (4) A⁾B (5) B⁾A

Besonders interessant ist hier das vierte statement. Es zeigt, dass die Aussagen B⁾Aund A⁾B ¨aquivalent sind. Wir wollen das noch einmal ganz deutlich herausstellen:

(A⁾B) ist ¨aquivalent zu(B⁾A)

Einige Bemerkungen zu mathematischen Beweisen

In der Mathematik hat man es stets mit Aussagen zu tun, die wahr oder falsch sind. Beispielsweise gilt für alle reellen Zahlen(a+b)² =a²+ 2ab+b². Woher weiß man das? Man kann doch nicht alle reellen Zahlen einsetzen und schauen, ob diese Gleichung immer richtig ist. Das ist auch nicht nötig, denn man kann einen mathematischen Beweis für diese Aussage angeben. Ein Beweis für eine Aussage Aist eine Folge logischer Schlüsse, beginnend mit einer wahren Aussage B, an deren Ende A steht. Sie zeigen also die Gültigkeit der Aussage B⁾A, wobei B aber eine wahre Aussage sein muss. Denn bedenken Sie: Aus einer falschen Aussage kann man alles folgern, also auch etwas Falsches. Sie wollen aber in einem Beweis ja gerade zeigen das etwas stimmt, also richtig ist.

Sie dürfen, um eine AussageAzu beweisen, auch nicht einfach von der Gültigkeit von A ausgehen und dann logisch auf die Gültigkeit einer wahren Aussage

schließen und das als einen Beweis ansehen.

Beispiel 1.16 Angenommen, jemand behauptet3 = 4. Wenn wir die Gültigkeit dieser Aussage annehmen, können wir ja beide Seiten der Gleichung mit 0 multiplizieren. Wir erhalten so die Gleichung 0 = 0, die offenbar wahr ist. Ist deshalb aber 3 = 4 wahr? Natürlich nicht, weil wir von einer Aussage A auf etwas Wahres (die Aussage 0 = 0) geschlossen haben. Aber aus der Gültigkeit von0 = 0kann man natürlich nicht auf die Gültigkeit vonAschlussfolgern.

Beispiel 1.17 Wir wollen die folgende Aussage beweisen:

F¨ur alle reellen Zahlenx6= 0 gilt

|x+ 1|

x >|x−1| x . Fall 1: x >0

Dann ist x+ 1 = |x+ 1| > x−1, aber auch x+ 1>−(x−1) = 1−x, weil x >−xf¨ur x >0, den Fall, den wir gerade betrachten. Weil x+ 1> x−1und x+ 1>−(x−1), gilt sogar |x+ 1|=x+ 1>|x−1|. Wir d¨urfen beide Seiten dieser Ungleichung durch x dividieren, ohne dass sich das Ungleichungszeichen

¨andert, weil x >0. Das zeigt

|x+ 1|

x >|x−1| x .

(18)

Fall 2: x <0

Jetzt ist |x−1| = 1−x. Wir haben 1−x > x+ 1 (weil x < 0) und 1−x >−1−x=−(x+ 1). Damit gilt also|x−1|= 1−x >|x+ 1|. Teilen wir die linke und rechte Seite dieser Ungleichung durch x, so dreht sich das Ungleichungszeichen wegenx <0um und wir erhalten wie im Fall 1

|x−1|

x <|x+ 1| x .

Das n¨achste Beispiel zeigt deutlich die Aufgabe eines mathematischen Beweises:

Ein Beweis soll einen zweifelsfreien Grund angeben, warum eine Aussage richtig ist.

Beispiel 1.18 Wir wollen die folgende Behauptung beweisen: Wenn in einem Schachbrett die diagonal gegen¨uberliegenden Eckfelder entfernt werden, kann das

so entstehende Brett nicht mit Dominosteinen ¨uberdeckt werden, wobei jeder Dominostein genau zwei Felder des Schachbrettes ¨uberdeckt.

Der Beweis ist ganz einfach: Jeder Dominostein ¨uberdeckt genau ein weißes und ein schwarzes Feld. Aber das Schachbrett, bei dem die Eckfelder entfernt wurden, hat nicht die gleiche Zahl weißer und schwarzer Felder!

Manche Nicht-MathematikerInnen sind versucht, die Gültigkeit einer Aussageform A(x)zu beweisen, indem die Gültigkeit von A(x) für einige wenige Werte vonx nachgerechnet wird. Das ist natürlich kein Beweis!

Beispiel 1.19 Angenommen, jemand behauptetn²+n+41sei für alle natürlichen Zahlen n eine Primzahl. Wir setzen ein und erhalten, dass n²+n+ 41 eine Primzahl für alle Zahlen n zwischen 0 und 39 ist. Ist das ein Beweis? Nein!

Außerdem ist die Aussage, dass n²+n+ 41 f¨ur alle nat¨urlichen Zahlen eine Primzahl ist, falsch: Setzen Sie einfach n = 40 ein! Wir haben somit ein Gegenbeispiel gefunden.

Etwas formaler. Wir hatten die Aufgabe zu entscheiden, ob eine Aussage A(x) für alle x gilt. Um zu beweisen, dass die Aussage stets gilt, benötigen wir einen Beweis. Wenn wir aber zeigen wollen, dass die Aussage nicht immer gilt, genügt es, ein x so anzugeben, dass A(x) falsch ist. Wir haben damit die Allgemeingültigkeit widerlegt. Im obigen Beispiel können wir die Behauptung, jede Zahl der Formn²+n+ 41sei ein Primzahl, widerlegen, denn für n= 40ist n²+n+ 41offensichtlich keine Primzahl!

Halten wir fest:

Die Gültigkeit einer AussageA(x)kann mannicht beweisen, indem man die Gültigkeit für einige Werte von x überprüft. Man kann aber zeigen, dass die Aussage A(x) nicht allgemeingültig ist, wenn man nur ein Gegenbeispiel angibt, also ein x_g, für dasA(x_g)falsch ist.

In den Wirtschaftswissenschaften werden Sie selten Beweise im mathematisch strengen Sinne finden. Der mathematische Beweis ben¨otigt exakt angegebene Voraussetzungen, unter denen er funktioniert. Diese Voraussetzungen sind in den Wirtschaftswissenschaften h¨aufig nicht so klar formulierbar.

Viel häufiger tritt das Phänomen auf, dass man Aussagen widerlegt! Kehren wir zurück zu unserem Beispiel 1.15 über den Zusammenhang zwischen

(19)

Arbeitslosenquote und Inflation. Dieser Zusammenhang ist heutzutage eindeutig durch etliche Gegenbeispiele widerlegt. Bis in die 80’er Jahre hinein wurde ein solcher Zusammenhang aber vermutet!

Mengen

Ein zentrales Konzept f¨ur die Mathematik ist der Begriff der Menge.

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte . Von jedem dieser Objekte muss eindeutig feststehen, ob das Objekt zur Menge geh¨ort oder nicht. Die Objekte heißenElementeder Menge

Istaein Element der Menge M, schreiben wir auch

a∈M andernfalls

a /∈M Die Elemente einer Menge sind alle verschieden.

Es gibt unterschiedliche M¨oglichkeiten, Mengen zu beschreiben. Wir wollen die Menge M aller geraden ganzen Zahlen zwischen 2 und 15 beschreiben:

1. Aufz¨ahlung

M ={2,4,6,8,10,12,14}.

2. teilweise Aufz¨ahlung

M = {2,4,6, . . . ,12,14} Hierbei muss man aufpassen, dass es nicht zu Missverst¨andnissen kommt.

3. Beschreibung durch charakteristische Eigenschaften M :={x:x∈Zundx≥2undx≤15undxgerade}. Die leere Menge∅ist die Menge, die kein Element enth¨alt.

Beispiel 1.20 ∅={x:xwohnt in der Bundesrepublik Deutschland undxist im Jahre 1700 geboren}

DieM¨achtigkeit oderOrdnungeiner Menge ist die Anzahl der Elemente in der Menge. Unsere oben betrachtete MengeM ={2,4,6,8,10,12,14} hat also die M¨achtigkeit7.

Schreibweise: |M|= Anzahl der Elemente in M.

Falls M unendlich viele Elemente hat, schreiben wir|M|=∞(∞: unendlich).

Beziehungen zwischen Mengen

Wir nennenAeine Teilmenge vonB, wenn jedes Element ausAauch ein Element von Bist. Dabei darf auchA=Bgelten.

A⊆B: ATeilmenge von B A(B: ATeilmenge von B undA6=B Beachte, dass stets A⊆Agilt. Ferner gilt f¨ur alle Mengen∅ ⊆A.

Beispiel 1.21 • N⊆Z⊆Q⊆R

(20)

• Die Menge aller Einwohner Magdeburgs ist eine Teilmenge der Menge aller Einwohner Deutschlands .

Verkn¨upfung von Mengen

Wir k¨onnen Mengen schneiden oder vereinigen.

A∪B = {x:x∈Aoder x∈B}Vereinigung A∩B = {x:x∈Aundx∈B}Schnitt

A∩B

A B

A

B A∪B

Achtung: Es gilt nicht|A∪B|=|A|+|B|, sondern

|A∪B|=|A|+|B| − |A∩B|

Zwei Mengen heißendisjunkt, wenn ihr Schnitt leer ist.

F¨ur disjunkte Mengen gilt|A∪B|=|A|+|B|

Manchmal wollen wir mehr als nur eine Menge vereinigen oder schneiden. Wir schreiben dann

[n i=1

A_i = A₁∪A₂∪. . .∪A_n

\n i=1

A_i = A₁∩A₂∩. . .∩A_n

DieDifferenz von Mengen ist wie folgt definiert:

A\B = {x:x∈Aundx /∈B}

(21)

A B

A\B

IstAeine Teilmenge vonΩ, so schreiben wir stattΩ\Aauch Aoder, genauer, AΩ= Ω\A:

A A

Ω

Beispiel 1.22 Wir betrachten die folgenden vier Mengen:

A = {x:x∈R und1≤x≤6} B = {x:x∈N undx <6} C = {x:x∈N undx≥2} D = {x:x∈R undx <6} Dann gilt:

A∩B = {1,2,3,4,5} A\D = {6}

A∩C = {2,3,4,5,6}

C\A = {x:x∈N undx >6} B∩C = {2,3,4,5}

B∪C = N

A∩N = {1,2,3,4,5,6}

AR = {x:x∈R und(x <1oderx >6)} B_N = {6,7,8, . . .}.

(22)

Mengenalgebra

Ahnlich wie f¨¨ ur die Verknüpfung von Aussagen gibt es auch gewisse Rechenregeln für die Verknüpfung von Mengen.

Wir geben im folgenden die wichtigsten Regeln an:

Idempotenzgesetze A∪A = A A∩A = A Kommutativgesetze A∪B = B∪A A∩B = B∩A

Assoziativgesetze

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C A∩(B∩C) = (A∩B)∩C Distributivgesetze

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) Inklusionsgesetze

A ⊆ A∪B A∩B ⊆ A

Man macht sich diese Regeln am besten an Hand einiger Mengendiagramme (Venn-Diagramm) klar. Wir illustrieren hier nur das erste Distributivgesetz. Im ersten Diagramm sehen wir die Menge B∩C schraffiert. Danach vereinigen wir diese Menge mitA. Im letzten Bild haben wir die MengenA∪BundA∪Cjeweils unterschiedlich schraffiert und dadurch auch gleich den Schnitt(A∪B)∩(A∪C) gekennzeichnet.

B

C A

A∪(B∩C) B

C A

B∩C

(23)

B

C A

B

C A

(A∪B)∩(A∪C)

Ahnliche Gesetze gelten f¨¨ ur die Komplementbildung und die Mengendifferenz.

Neue Mengen aus alten Mengen

Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A.

Bezeichnung: P(A).

IstAendlich, so gilt

|P(A)|= 2^|A|. Seien a₁, . . . a_nirgendwelche Elemente. Wir nennen

(a₁, a₂, . . . , a_n)

einn-Tupel. Die Elemente m¨ussen nicht unbedingt verschieden sein.

Die Menge allern-Tupel(a₁, . . . , a_n)mita_i∈A_iheißt daskartesische Produkt vonA₁, . . . , A_n. Bezeichnung: A₁×A₂× · · · ×A_n.

Beispiel 1.23 SeiA={1,2}und B={a, b}undC ={b, c}. Dann gilt

A×(B∪C) = {(1, a),(1, b),(1, c),(2, a), (2, b),(2, c)}

(A×B)∪(A×C) = {(1, a),(1, b),(2, a),(2, b), (1, c),(2, c)}

A×(B∩C) = {(1, b),(2, b)} (A×B)∩(A×C) = {(1, b),(2, b)}

Dieses Beispiel legt nahe (und man kann es auch beweisen), dass A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) gilt. Im allgemeinen ist A×B6=B×A

(24)

1.4

Relationen und Abbildungen

Die Definition einer Relation ist ganz einfach:

Eine RelationRzwischen zwei MengenX undY ist eine Teilmenge R⊆X×Y. Gilt X =Y, so heißtReine Relation aufX. Man schreibt x R y falls(x, y)∈R.

Beispiel 1.24

• X: Menge der MathematikerInnen.

Y: Menge der WirtschaftswissenschaftlerInnen.

Eine Relation zwischenX und Y wird z.B. durch ”Mathematikerx ist j¨unger als Wirtschaftswissenschaftlery” erkl¨art.

• Sei X die Menge aller Frauen, Y die Menge aller M¨anner. Als Relation zwischenX undY w¨ahlen wir ”verheiratet”.

• A={1,2}, B={2,3}. Dann ist

A×B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}.

Wir erhalten z.B. folgende Relationen:

R₁ = {(a, b)∈A×B:a=b}={(2,2)} R₂ = {(a, b)∈A×B:a < b}

= {(1,2),(1,3),(2,3)} R₃ = {(a, b)∈A×B:a≤b}

= {(1,2),(1,3),(2,3),(2,2)}=A×B R₄ = {(a, b)∈A×B:a+b= 2}=∅

Man kann diese Relationen auch durch Graphen verdeutlichen. Dazu malen wir die MengeAund die MengeBauf und verbinden zwei Elemente mit einem Pfeil genau dann, wenn sie in Relation miteinander stehen:

R₃ 1

2

3 1

2

3 1

2

3

R₁

R₂

(25)

R₄ 1

2

3

Diese Beispiele zeigen, dass an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile beginnen k¨onnen. Genauso kann an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile ankommen.

Solche Pfeildiagramme sind nat¨urlich unhandlich, wenn die Mengen X und Y unendlich sind. Sind X und Y Zahlbereiche, k¨onnen wir versuchen, die Menge der Punkte(x, y)∈Rin einem Koordinatensystem zu skizzieren.

Abbildungen

In den Wirtschaftswissenschaften haben wir es meistens mit Abbildungen zu tun.

Eine Abbildung aus X nach Y ist eine Relation zwischen X und Y, so dass es zu jedem x ∈ X h¨ochstens ein y ∈ Y gibt, so dass x und y in Relation zueinander stehen. Das Element ywird mit f(x)bezeichnet.

In unserer Pfeildarstellung bedeutet dies, dass bei jedem Element x ∈ X h¨ochstens einPfeil beginnt:

Beachte, dass nicht jedemx∈X ein Funktionswert zugeordnet werden muss. Im Buch von Schwarze gibt es eine subtile Unterscheidung: Wenn jedem x∈X h¨ochstenseinyzugeordnet wird, so spricht Schwarzevon einer Funktion aus X nach Y (so wie hier angegeben). Wird jedem x ∈ X genau ein f(x) zugeordnet, sprichtSchwarze(und auch wir) von einer AbbildungvonX nach Y:

Das ist manchmal ganz praktisch, in der Mathematik aber eher ungew¨ohnlich. Es hat Vorteile, wenn man komplizierte Funktionen hat wie etwa

f(x) = x

x⁵+ 3x³−x−4

aufgefasst als Abbildung ausR nach R, wo man von vornherein gar nicht weiß,

(26)

f¨ur welchexder Nenner0wird, die Funktion also gar nicht definiert ist.

Bezeichnung: f :X →Y. Die Menge derx∈X, für dief(x)erklärt ist, nennen wir denDefinitionsbereichvon f, bezeichnet mitD(f). Der Definitionsbereich D(f) muss nicht ganz X sein, wie die obigen Beispiele zeigen. Die Menge X heißt die Menge der unabhängigen Variablen, die Menge Y bezeichnet die abhängigen Variablen, denn wenn wirxkennen, kennen wir auchf(x).

Beispiel 1.25 Wir definierenf:R→Rdurchf(x) = _x2¹−1. Dieser Ausdruck ist nat¨urlich nur erkl¨art, wennx²−16= 0. In der Notation vonSchwarzeistf eine Abbildung aus R nach R. Der Definitionsbereich ist R\ {±1}. Die graphische Veranschaulichung:

–4 –2 2 4

y

–6 –4 –2 2 4 6

x

Beispiel 1.26 Wir betrachten f : R → R definiert durch f(x) = lgx (dekadischer Logarithmus). Wir haben schon gesehen, dass der Logarithmus nur f¨ur positive Zahlen erkl¨art ist. Der Definitionsbereich ist alsoR⁺:

–2 –1.5 –1 –0.5 0.5 1

5 10 15 20

x

Machen Sie sich bitte nicht zu viele Gedanken ¨uber die Frage, ob es Abbildungen vonoderauseiner MengeXgibt. Wichtig ist nur, dass bei der Beschreibung einer Abbildung durch eine Vorschrift wie z.B. lgx oder _x₂¹

−1 zu beachten ist, dass diese Vorschrift f¨ur einige Werte von x nicht definiert ist. Oft liegt das daran, dass man nicht durch 0 dividieren darf. Andere M¨oglichkeiten: Logarithmen oder Wurzeln negativer Zahlen sind nicht definiert. Manche trigonometrische Funktionen haben Stellen, wo sie nicht definiert sind, z.B. tan(π/2) ist nicht definiert.

Abbildungen werden oft auch Funktionen genannt. Meistens spricht man von Funktionen, wenn die Mengen X und Y Zahlbereiche sind. Wenn wir hier von Zahlbereichen sprechen, meinen wir nicht etwa nur R, sondern auchR²,R³ usw.

Denken Sie daran: ¨Okonomische Daten h¨angen fast nie nur von einer Variablen ab.

Ein anderes kleines Beispiel: Die (vor kurzem noch sehr beliebten) Aktiencharts

(27)

sind nichts anderes als Funktionen von der Zeit in die Menge R möglicher Aktiennotierungen. Dieses Beispiel macht deutlich, dass zwischen den unabhängigen Variablen (hier der Zeit) und den abhängigen (dem Aktienkurs) kein kausaler Zusammenhang bestehen muss. Ein kausaler Zusammenhang besteht vielleicht zwischen dem Zinsniveau und dem Aktienkurs, oder den Jahresabschlüssen der AG’s und den Aktienkursen, aber sicher nicht zwischen der Zeit und dem Kurs!

Wir werden im n¨achsten Kapitel auf einige Funktionen, die aus der Schule bekannt sein sollten, genauer eingehen.

Bevor wir dies tun, f¨uhren wir noch drei wichtige Begriffe f¨ur Abbildungen ein:

injektiv, surjektiv, bijektiv!

Eine Abbildung f : X → Y heißt injektiv wenn aus f(x1) = f(x2) stets x1 = x2 folgt. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es zu jedem y∈Y (mindestens) ein x ∈ X gibt mit f(x) = y. Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist und es zu jedem x ∈ X ein y gibt mit f(x) = y (f also insbesondere eine Abbildung vonX nach Y ist).

F¨ur unsere Pfeildarstellung von Abbildungen bedeutet das folgendes:

injektiv: in jedemy∈Y endet h¨ochstens ein Pfeil surjektiv: in jedemy∈Y endet mindestens ein Pfeil bijektiv: in jedemy∈Y endet genau ein Pfeil

und in jedemx∈X beginnt genau ein Pfeil.

bijektiv surjektiv injektiv

In allen drei Fällen haben wir Abbildungen, weil aus den linken Mengen an jedem Punkt nur höchstens ein Pfeil beginnt. Wir machen noch einmal auf die eher ungewöhnliche Konvention aufmerksam, dass wir auch dann von Abbildungen reden, wenn in einem Punkt von X gar kein Pfeil beginnt, es also Elemente x∈X gibt, für dief(x)gar nicht definiert ist.

Ist f eine injektive Abbildung, so definieren wir f⁻¹ : Y → X durch folgende Vorschrift: f⁻¹(y) =x, wobei x∈X durch die Eigenschaft f(x) =y bestimmt ist. Beachte, dass x wegen der Injektivit¨at eindeutig bestimmt ist. In unseren Pfeilbildern bedeutet dies einfach, dass wir jeden Pfeil umdrehen. Die Abbildung f⁻¹ heißt die zu f inverseAbbildung.

Beachte, dass auch f⁻¹ injektiv ist. Ferner ist f bijektiv genau dann wenn f injektiv und surjektiv ist und zus¨atzlichf⁻¹ auch surjektiv ist.

Bei einer bijektiven Abbildung geht von jedem Punkt in X genau ein Pfeil aus und in jedem Punkt aus Y endet genau ein Pfeil. Das heißt insbesondere, dass

(28)

X undY gleich viele Elemente haben.

Seienf :X→Y undg:Y →Zzwei Abbildungen. Wir definieren die Abbildung g◦f : X →Z wie folgt: (g◦f)(x) =g[f(x)]. Also: Wir wenden erstf auf x an, dann auf den Wertf(x)die Abbildung g.

Wichtig ist es, sich zu merken, dassg◦fbedeutet, erstfund dannganzuwenden.

f g

g◦f

X Y Z

Kapitel 2. Funktionen einer Variablen

2.1

Einf¨ uhrende Beispiele

Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fixkosten von 170.000¤. Die sind unabhängig von der produzierten Menge. Pro produziertem Stück fallen variable Kosten (vor allem Material und Löhne) von 500¤an. Die monatlichen Gesamtkosten des Unternehmens (in ¤) betragen dann

K(x) = 170.000 + 500x,

wobei x die Anzahl der im Monat produzierten Waschmaschinen ist. Bei 100

Waschmaschinen fallen also Gesamtkosten an in H¨ohe von K(100) = 230.000,

bei 1000 St¨uck

K(1000) = 670.000.

K heißt die Kostenfunktion. Wenn man nicht an den Gesamtkosten K interessiert ist, sondern an den Kosten pro produziertem Stück, so erhält man die StückkostenfunktionS(x). Sie ergibt sich aus der KostenfunktionK(x)einfach durch

S(x) =K(x) x .

(29)

In obigem Beispiel ist

S(x) = 170.000 + 500x

x = 500 +170.000 x . Bei 100 produzierten Waschmaschinen ist das also

S(100) = 2300, bei 1000 Maschinen

S(1000) = 670.

Weitere ¨okonomische Funktionen sind

Nachfrage-Funktion (Preis-Absatz-Funktion): Sei p der Preis eines Gutes, N die nachgefragte (abgesetzte) Menge. Die Nachfragefunktion ist dann N(p).

Ublicherweise wird¨ N(p) kleiner, wenn der Preis p steigt. So k¨onnte z.B. (p ausgedr¨uckt in¤)

N(p) = 100.000−500p (2.1)

sein. Das heißt, bei einem Preis von 10 ¤beträgt die Nachfrage 95.000 Stück, bei einem Preis von 13¤nur 93.500 Stück.

Oft wird auch umgekehrt die Funktionp(N)betrachtet.

Angebotsfunktion: Seipder Preis eines Gutes,Adie vom Produzenten auf den Markt gebrachte Menge. Die Angebotsfunktion ist dannA(p).

Erlösfunktion: Für N abgesetzte Güter zum Stückpreis p(N) ist der Erlös in Abhängigkeit von der MengeN

E(N) =N ·p(N).

Hierbei ist ber¨ucksichtigt, dass der Preis p von der Nachfrage N abh¨angt,

typischerweise mit hoher Nachfrage steigt.

In Abh¨angigkeit vom Preispist die Erl¨osfunktion E(p) =N(p)·p.

Wenn wir die Nachfragefunktion (2.1) benutzen, erhalten wir E(p) = 100.000p−500p².

Eine typische Frage ist: Für welchen Preispwird der ErlösE(p)maximal. Solche und ähnliche Fragen werden wir mit etwas mathematischer Theorie beantworten können.

2.2

Grundlegende Begriffe und Bezeichnungen

Eine Abbildung

f :R→R mitD(f)⊆R

heißtreellwertige Funktion einer reellen Variablen (Ver¨anderlichen). Wie bereits fr¨uher definiert, ist D(f)derDefinitionsbereichvonf. Die Menge

W(f) ={f(x) :x∈D(f)} heißt derWertebereichvonf.

(30)

Erinnerung: D(f) ={x∈R:Es gibt y∈Rmity=f(x)} Wir nennen

x7→f(x)dieZuordnungsvorschriftund G_f ={(x, y)∈D(f)×R:y=f(x)} denGraphvon f.

Viele Zuordnungsvorschriften haben einen “nat¨urlichen maximalen Definitionsbereich”. Oft wird dann nur die Zuordnungsvorschrift angegeben, und es ist dann die zugeh¨orige Funktion auf dem maximalen Definitionsbereich gemeint. Wir sprechen dann oft auch einfach von dem Definitionsbereich.

Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was die Funktion f ist, schreiben wir

auch einfach Dstatt D(f).

Beispiel 2.1 • x7→x² hat den maximalen DefinitionsbereichR.

• x7→ 1

x hat den maximalen DefinitionsbereichR\ {0}.

• Die schon vorher betrachtete Kostenfunktion K(x) = 170.000 + 500x

hat als DefinitionsbereichR. In dem betrachteten Beispiel sind allerdings nur nicht-negative ganze Zahlen x interessant (x: Anzahl der Waschmaschinen) und nur bis zu einer gewissen Höhe, die durch die Maximalauslastung des Unternehmens gegeben ist. Dieses Beispiel zeigt, dass nicht alle Werte für x, die mathematisch sinnvoll sind, auch im ökonomischen Sinn sinnvoll sind.

Ein Hilfsmittel zur Veranschaulichung einer Funktion f und ihres Graphen ist eine Wertetabelle, in der ausgew¨ahlte Werte von x zusammen mit ihrem Funktionswertf(x)eingetragen werden.

Beispiel 2.2 Wir setzen unser BeispielK(x) = 170.000 + 500xfort:

x 1 10 20 50 100 1000

K(x) 170.500 175.000 180.000 195.000 220.000 670.000

Beispiel 2.3 f(x) = 3x²+ 2x+ 1

x -2 -1 0 1 2 5 10

f(x) 9 2 1 6 17 86 321

Eine genauere Methode ist das Zeichnen der Graphen in ein Koordinatensystem.

Der Graph zur oben angegebenen Funktion 3x²+ 2x+ 1 ist

2 4 6 8 10 12

–2 –1 0 1

x

(31)

Wir wollen uns in den folgenden Beispielen ¨uberlegen, ob die jeweiligen Funktionen f : R→ R injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Achtung: Es gibt Funktionen, die weder injektiv noch surjektiv noch bijektiv sind!

Injektivit¨at bedeutet, dass der Graph jeder Gerade mit der Gleichung y = a (a ∈ R) den Graphen Gf von f h¨ochstens einmal schneidet. Beachte, dass Gleichungen y = a Geraden parallel zur x-Achse beschreiben. Surjektiv heißt, dass jede solche Gerade den Graphen mindestens einmal trifft, und bijektiv schließlich bedeutet, dass jede solche Gerade den Graphen genau einmal trifft, und dass gleichzeitigD(f) =R gilt.

Sie müssen Surjektivität etwas anders interpretieren, wennf:R→AmitA⊆R gilt. Surjektivität bedeutet dann, dass jede Gerade mit der Gleichungy=a mit a∈Aden GraphenG_f mindestens einmal trifft.

Beispiel 2.4 f(x) = 2x²+ 4x−30

–30 –20 –10 0 10 20 30 40

–6 –4 –2 2 4

x

Diese Funktion ist weder injektiv noch surjektiv.

Beispiel 2.5 f(x) = 1 x²−5

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

y

–6 –4 –2 2 4 6

x

Auch diese Funktion ist weder injektiv noch surjektiv, dennf(x)ist niemals 0.

Beispiel 2.6 S(x) = 500 +170.000

x , D(S) =R⁺

0 1000 2000 3000 4000

y

200 400 600 800 1000

x

Diese Funktion ist injektiv und nimmt alle positiven Werte >500 an. Wenn wir S also auffassen als eine Abbildung R⁺→ {x∈R:x >500}, so ist S surjektiv (sogar bijektiv!).

(32)

Beispiel 2.7 f(x) = 7

6 6.5 7 7.5 8

–3 –2 –1 0 1 2 3

x

Diese Funktion heißtkonstant

Allgemein heißt eine Funktion mit der Vorschrift

f(x) = c, wobei c eine Zahl unabh¨angig von x ist, konstant. Konstante Funktionen sind nicht injektiv und nicht surjektiv.

Beispiel 2.8 f(x) = 10x−3

–20 –10 0 10

–2 –1 1 2

x

Die Abbildung f ist injektiv und surjektiv.

Eine Funktion der Form

f(x) =a·x+b

heißt linear. Dabei sind a und b feste reelle Zahlen. Die Kostenfunktion K(x) = 170.000 + 500xist beispielsweise eine lineare Funktion.

Beispiel 2.9 Ein Kopierladen erhebt die Kosten pro Fotokopie in Abh¨angigkeit von der Gesamtzahl der get¨atigten Kopien. Hierbei gelten folgende Preise:

Anzahl der Kopien 0 bis 49 50 - 99 ab 100 Preis pro Kopie 0,05¤ 0,04¤ 0.03¤

Die Funktion k, die den Preis pro Kopie beschreibt, ist also gegeben durch

k(x) =









0,05 falls0≤x≤49 0,04 falls50≤x≤99 0,03 falls100≤x

Ihr Graph sieht wie folgt aus:

(33)

ο

•

• ο

0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

0 20 40 60 80100120140 160180200 x

Eine solche Funktion nennt manTreppenfunktion. Treppenfunktionen sind weder injektiv noch surjektiv. Achtung: Eigentlich ist unsere Funktionk(x) natürlich nur für ganzzahligexdefiniert. Wir haben bei der hier angegebenen Skizze aberx beliebig reellwertig angenommen, was für die Visualisierung durchaus angemessen ist.

Bei Funktionen mit Sprüngen wie in diesem Beispiel sollte man bei der Visualisierung deutlich machen, welche Punkte an den Sprungstellen zum Funktionsgraphen gehören. Wir malen einen fetten Punkt, wenn der Punkt dazugehört, sonst einen nicht ausgefüllten kleinen Kreis.

Die Funktion K, die die Gesamtkosten des Kunden in Abh¨angigkeit von der St¨uckzahl angibt, ist

K(x) =









0,05x falls0≤x≤49 0,04x falls50≤x≤99 0,03x falls100≤x Ihr Graph sieht wie folgt aus:

ο

•

• ο

0 1 2 3 4 5 6

20 40 60 80 100120140 160180200 x

Solche Funktionen treten h¨aufig bei Preisen mit Rabattstaffelung auf.

Injektive Abbildungen haben eine sch¨one Eigenschaft. Beachten Sie dabei, dass der Wertebereich aus allen y∈Rbesteht, f¨ur die es einxgibt mity=f(x). Es handelt sich also um die Menge der reellen Zahlen, die wirklich als Bild von f auftreten.

(34)

Ist die Funktion f : R → R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so istf :D→W bijektiv. Dann heißt

f⁻¹:W →D , y7→xwobeix∈Dmitf(x) =y dieUmkehrfunktionzuf. Der Graph

G_f−1 = {(y, x)∈W ×D|y=f(x)}

= {(y, x)∈W ×D|(x, y)∈G_f} entsteht aus Gf durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden.

Beispiel 2.10 Wir betrachten wieder die St¨uckkostenfunktion S(x) = 500 +170.000

x . Für welche Stückzahl ergibt sich 1500¤? Wir lösen hierzu

500 +170.000

x = 1500 nach xauf und erhalten

170.000

x = 1000 x= 170.

Das ist die gesuchte St¨uckzahl, denn es ist nun S(170) = 1500. L¨osen wir allgemein die Gleichung

500 +170.000

x =y

nach xauf, so erhalten wir

x=170.000 y−500 und dies ist gerade die Umkehrfunktion, also

S⁻¹(y) = 170.000 y−500.

Mit ihr lässt sich zu beliebigen Stückkosten die zugehörige Stückzahl ermitteln.

Beispiel 2.11 Die Funktion f : R⁺₀ → R⁺₀ mit f(x) = x² ist bijektiv. Ihre Umkehrabbildung istf⁻¹(y) =√y.

0 1 2 3 4

y

1 2 3 4

x

(35)

Beachte: Die Funktion f(x) =x² kann auch f¨ur alle x∈R betrachtet werden, ist dann aber nicht injektiv, folglich gibt es dann auch keine Umkehrfunktion.

Verkn¨upfung von Funktionen

Aus gegebenen Funktionen k¨onnen durch Verkn¨upfung mittels der Grundrechenarten neue Funktionen gebildet werden.

Seien f, g : R → R Funktionen und λ ∈ R. Dann lassen sich auch die folgenden Funktionen definieren:

λf :R→R, mit (λf)(x) =λf(x), f±g:R→R, mit (f±g)(x) =f(x)±g(x),

f·g:R→R, mit (f·g)(x) =f(x)·g(x), f

g :R→R, mit f

g(x) = f(x) g(x).

Die Definitionsbereiche sind D(λf) = D(f) D(f±g) = D(f)∩D(g)

D(f·g) = D(f)∩D(g) D

f g

= {x∈R:x∈D(f)∩D(g)undg(x)6= 0}.

Wir erinnern daran, dass man auchf◦g (Verkettung von f und g) bilden kann.

Der Definitionsbereich vonf◦g sind diejenigen Elementex∈R, f¨ur dieg(x)im Definitionsbereich vonf liegt.

Beispiel 2.12 Seien f(x) = 15x−3, g(x) = 2x²−3x+ 1. Dann sind (5f)(x) = 75x−15

(f+g)(x) = 2x²+ 12x−2

(f·g)(x) = (15x−3)(2x²−3x+ 1)

= 30x³−51x²+ 24x−3 f

g

(x) = 15x−3 2x²−3x+ 1 Aus dem Definitionsbereich vonf

g m¨ussen1und1/2ausgeschlossen werden, weil

(36)

g(1) = 0und g(1/2) = 0.

Intervalle

Seien a, b ∈ R mit a < b. Dann unterscheiden wir die folgenden Typen von Intervallen

[a, b] ={x∈R:a≤x≤b} abgeschlossenes Intervall,

(a, b) ={x∈R:a < x < b} offenes Intervall, [a, b) ={x∈R:a≤x < b}

(a, b] ={x∈R:a < x≤b} halboffene Intervalle.

Intervalle der Form

[a,∞) ={x∈R:x≥a} (−∞, b] ={x∈R:x≤b} (a,∞) ={x∈R:x > a} (−∞, b) ={x∈R:x < b}

werden uneigentliche Intervallegenannt, die ersten beiden sind abgeschlossene, die letzten beiden offene Intervalle.

Monotonie

Neben Injektivit¨at und Surjektivit¨at spielen weitere Eigenschaften von Funktionen eine wichtige Rolle. Besonders wichtig ist die Monotonie:

Seien f : R → R eine Funktion und I ⊆ R ein Intervall im Definitionsbereich von f.

Gilt f¨ur alle x₁, x₂∈I mitx₁< x₂

f(x₁)≤f(x₂) (bzw. f(x₁)< f(x₂)) (2.2) dann heißt f (streng) monoton wachsendinI.

Gilt f¨ur alle x₁, x₂∈I mitx₁< x₂

f(x₁)≥f(x₂)(bzw. f(x₁)> f(x₂))

dann heißtf(streng) monoton fallendinI. Die Funktionfheißt (streng) monoton wachsendauf dem ganzen Definitionsbereich, wenn die Bedingung (2.2) für alle x₁, x₂ ∈ D(f) mit x₁ < x₂ erfüllt ist. Entsprechendes gilt für(streng) monoton fallend

Die St¨uckkostenfunktion S(x) = 500 + ^170.000_x ist streng monoton fallend.

Anschaulich bedeutet das: Je mehr St¨ucke produziert werden, so geringer sind die St¨uckkosten, um so effizienter ist also die Produktion.

Wir halten folgenden interessanten Zusammenhang zwischen Monotonie und Injektivit¨at fest:

Ist f streng monoton wachsend (oder streng monoton fallend) dann ist f injektiv, hat also eine Umkehrfunktion.

Beispiel 2.13 Die Funktion f(x) = 2x² + 4x − 30 ist auf [0,∞) streng monoton wachsend, auf (−∞,−2] streng monoton fallend. Wo genau sich das Wachstumsverhalten umkehrt, ist am Graphen nicht genau zu erkennen. Das werden wir sp¨ater mit mathematischen Methoden ermitteln k¨onnen.