Institut f ¨ur theoretische Physik in der Vorlesung

Klausur zur Theoretischen Physik E 13. 2. 2002 Prof. Dr. F.R. Klinkhamer; Dr. C. Adam Besprechung am 15. 2.

Institut f ¨ur theoretische Physik in der Vorlesung

Aufgabe 1: Streuung an harter Kugel 4 Punkte

Ein Teilchen soll an einer harten Kugel gestreut werden. Das Potential f ¨ur eine harte Kugel mit Radius a ist V(r)

⁼

0 f ¨ur r

^>

a und V(r)

⁼¹

f ¨ur r

^<

a.

i) Die Wellenfunktion im Außenraum r

^>

a lautet 2P

(r

^;

)

⁼

1 (2

) ³

⁼

² ∑

l

i ^l (2l

⁺

1)e ⁱ

^Æ

^l [cos

^Æ

l j l (kr)

⁺

sin

^Æ

l n l (kr)]P l (cos

)

^:

Leiten Sie aus der Anschlußbedingung f ¨ur die Wellenfunktion einen Ausdruck f ¨ur die Streuphasen

^Æ

l her. Zeigen Sie insbesondere, daß

^Æ

0

⁼

ka (f ¨ur l

⁼

0 gilt

j 0 (

)

⁼

sin

⁼

und n 0 (

)

⁼

cos

⁼

).

Die Wellenfunktion mu im Inneren und am Rand der Kugel vershwinden, d.h.

(r

⁼

a)

⁼

0

^{. Da dies unabhangig von gilt und} vershiedene

P l

aufeinander orthogonal sind, mu die Bedingungfur jedenTermin der Summeextra gelten, d.h.

cos

^Æ

l j l (ka)

⁺

sin

^Æ

l n l (ka)

⁼

0

⁾

tan

^Æ

l

⁼

j l (ka) n l (ka)

Speziell fur

l

⁼

0

^gilt

j 0 (

)

⁼

sin

^=und

n 0 (

)

⁼

cos

^{= unddaher}

tan

^Æ

0

⁼

sin(ka)

cos(ka)

⁼

tan(ka)

⁼

tan( ka)

Esfolgt Æ

0

⁼

ka

^.

ii) Die Streuamplitude lautet 1P

f (

)

⁼

1 k ∑

l

(2l

⁺

1)e ⁱ

^Æ

^l sin

^Æ

l P l (cos

)

^:

Berechnen Sie hieraus, unter Verwendung des Resultats von i) f ¨ur

^Æ

l , den totalen Wirkungsquerschnitt, wobei

R

d

sin

P l (cos

)P l

⁰

(cos

)

⁼

[2

⁼

(2l

⁺

1)]

^Æ

ll

⁰

.

= Z

dΩ f (

) f

(

)

⁼

2

k ²

Z

d(cos

) ∑

l

^;

l

⁰

(2l

⁺

1)(2l

⁰⁺

1)e ⁱ⁽

^Æ

^l

^Æ

^l

⁰

sin

^Æ

l sin

^Æ

l

⁰

P l (cos

) P l

⁰

(cos

)

⁼

4

k ² ∑

l

(2l

⁺

1) sin ²

^Æ

l

wobei

Z

d(cos

)P _l (cos

)P _l

⁰

(cos

)

⁼

2 2l

⁺

1

^Æ

^l

^;

^l

⁰

benutztwurde. Aus

i)

^{ergibt sihweiter}

tan ²

^Æ

_l

⁼

sin ²

^Æ

_l

1 sin ²

^Æ

_l

=

j ² _l (ka) n ² _l (ka)

)

sin ²

^Æ

_l

⁼

j ² _l (ka) j ² _l (ka)

⁺

n ² _l (ka)

undsomit

=

4

k ² ∑

l

(2l

⁺

1) j ² _l (ka) j ² _l (ka)

⁺

n ² _l (ka)

iii) Geben Sie den totalen Wirkungsquerschnitt f ¨ur s-Wellenstreuung im Limes klei- 1P ner Energie k

^!

0 an. Vergleichen Sie mit dem klassisch zu erwartenden geome- trischen Streuquerschnitt.

Furden

s

-Wellenanteil destotalenWirkungsquershnitt erhaltman

0

⁼

4

k ² sin ²

^Æ

0

⁼

4

k ² sin ² ( ka)

undim Limes

k

^!

0

0

^'

4

k ² (ka) ²

⁼

4

a ²

was genau viermal so groistwie der klassisheKugelquershnitt

kl

⁼

a ²

^.

Aufgabe 2: System im ¨außeren Magnetfeld 5 Punkte Ein System in einem ¨außeren Magnetfeld senkrecht zur z-Achse habe den Hamilton- operator (

^~

L ist der Drehimpulsoperator, c ist eine reelle Konstante; es sei B z

^>

0, B y

^>

0)

H

⁼

H 0

^+~

L ²

⁺

c(B z L z

⁺

B y L y )

^;

wobei H 0 drehinvariant ist, nicht vom Drehimpuls abh¨angt und daher f ¨ur feste Haupt- quantenzahl als eine Konstante E 0 betrachtet werden kann.

i) Bestimmen Sie (f ¨ur feste Hauptquantenzahl, d.h. H 0

^!

E 0 ) durch eine geeignete 3P Rotation des Koordinatensystems die exakten Energieeigenwerte und Energieei- genzust¨ande dieses Hamilton-Operators.

Die Drehimpulseigenzustande j

l

^;

m

^{i konnen als} gleihzeitige Eigenzustande von

~

L ²

^{und einer}

beliebigen Komponente des Drehimpulese geahlt werden. Fur die exakte Losung wahlt man

naturlih die Komponente des Drehimpulses in Rihtung des Magnetfeldes, und bezeihnet

dieseRihtungderEinfahheithalberals

z

^{0-Rihtung,d.h.als}

z

-Koordinateineinemgedrehten Koordinatensystem

K

^0:

B

^{~ =}

B y

^~

e y

⁺

B z

^~

e z

⁼

B _z

^0~

e _z

^{0 mit}

B _z

^{0 =}

q

B ² _z

⁺

B ² _y

H

⁼

E 0

^+~

L ²

⁺

c( B z L z

⁺

B y L y )

⁼

E 0

^+~

L ²

⁺

c B

^~~

L

⁼

E 0

^+~

L ²

⁺

cB z

⁰

L z

⁰

DieEigenzustande j

l

^;

m

^{0i sollennun die simultanenEigenzustande zu~}

L ²

^und

L z

^{0 sein. Fur die}

Energieeigenwerte ergibt sih

H

^j

l

^;

m

⁰ⁱ⁼

E 0

^+~

2 l(l

⁺

1)

⁺

cB z

^0~

m

⁰

j

l

^;

m

⁰ⁱ

wobei diemoglihen Werte von

l

^und

m

^{0 wie ublih}

l

⁼

0

^;

1

^;

2

^{;::: und}

m

⁰⁼

l

^;:::;

l

^sind.

ii) Betrachten Sie nun den Fall B z

^>>

B y , behandeln Sie den Term cB y L y als St ¨orterm 2P und berechnen Sie die Energieeigenwerte in niedrigster nichtverschwindender (!) Ordnung St ¨orungstheorie (wieder gilt H 0

^!

E 0 ). Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Resultat von i).

Der ungestorte Hamiltonoperator lautet

H u

⁼

E 0

^+~

L ²

⁺

cB z L z

^{. Er ist diagonal in der Basis}

j

l

^;

m

^{i der Eigenzustande zu~}

L ²

^und

L z

^{.Seine Eigenwerte sind}

H u

^j

l

^;

m

ⁱ⁼

(E 0

^+~

2 l(l

⁺

1)

⁺

cB z

^~

m)

^j

l

^;

m

ⁱ

E ⁽⁰⁾ _lm

^j

l

^;

m

^{i :}

DerStorterm ist

H

^{0 =}

cB y L y

⁼

cB y 1

2i (L

⁺

L )

^{.Erfuhrt zuden} Energiekorrekturen

∆E ⁽¹⁾

^=h

l

^;

m

^j

H

^0j

l

^;

m

ⁱ⁼

cB y

2i

^h

l

^;

m

^j

(L

⁺

L )

^j

l

^;

m

ⁱ⁼

0

^:

und

∆E ⁽²⁾

⁼

∑

l ¯

^;

m ¯

l ¯

⁶⁼

l

^;

m ¯

⁶⁼

m

jh

l ¯

^;

m ¯

^j

H

^0j

l

^;

m

^ij

² E ⁽⁰⁾ _lm E ⁽⁰⁾ _{l ¯ m ¯}

=

c ² B ² _y

4 ∑

l ¯

^;

m ¯

l ¯

⁶⁼

l

^;

m ¯

⁶⁼

m

jh

l ¯

^;

m ¯

^j

(L

⁺

L )

^j

l

^;

m

^ij

² E ⁽⁰⁾ _lm E ⁽⁰⁾ _{l ¯ m ¯}

Mit

L

^j

l

^;

m

^i=~

p

(l

m)(l

m

⁺

1)

^j

l

^;

m

ⁱ

ergibtsih weiter

∆E ⁽²⁾

⁼

c ² B ² _y

^~

² 4

0

(l m)(l

⁺

m

⁺

1) E ⁽⁰⁾ _l

;

m E ⁽⁰⁾ _l

;

m

⁺

1

+

(l

⁺

m)(l m

⁺

1) E ⁽⁰⁾ _l

;

m E ⁽⁰⁾ _l

;

m 1

1

A

=

cB ² _y

^~

4B z ( (l m)(l

⁺

m

⁺

1)

⁺

(l

⁺

m)(l m

⁺

1))

⁼

c

^~

mb ² _y 2B z

DieEnergie biszur zweitenOrdnungistalso

E ⁽²⁾

⁼

E 0

^+~

2 l(l

⁺

1)

⁺

c

^~

B z m

⁺

c

^~

mB ² _y 2B z

DasexakteResultat kann in

B y

^biszur quadratishen OrdnungTaylor-entwikelt werden,

E lm

^{0 =}

E 0

^+~

2 l(l

⁺

1)

⁺

c

^~

m

⁰

B z

^{0 =}

~

2 l(l

⁺

1)

⁺

c

^~

m

⁰

B z

q

1

⁺

( B y

⁼

B z ) ²

^'~

² l(l

⁺

1)

⁺

c

^~

m

⁰

B z 1

⁺

1 2

B ² _y B ² _z

!

was fur

m

⁼

m

^{0 genaumit dem}perturbativenResultat



ubereinstimmt.

Aufgabe 3: 2-Level-System 6 Punkte

Gegeben sei ein quantenmechanisches System mit den beiden orthonormalen Zust¨anden

j

1

ⁱ

und

^j

2

ⁱ

sowie mit dem Hamiltonoperator (

und

sind positive Konstante) H

⁼

j

1

^ih

1

^j+j

2

^ih

2

^j

+

j

1

^ih

2

^j+j

2

^ih

1

^j

:

i) Berechnen Sie die Eigenwerte und normierten Eigenzust¨ande von H. 3P

Diebeiden Eigenzustande desHamiltonoperators werdenals Linearkombinationen j

1

^i+j

2

ⁱ

mitder Normierungsbedingung j j

2

+j j

2

=

1

^{angesetzt.Die}Eigenwertgleihung lautet

H(

^j

1

^i+j

2

ⁱ

)

⁼

E

^j

1

^i+j

2

ⁱ

(

⁺

)

^j

1

ⁱ⁺

(

⁺

)

^j

2

ⁱ⁼

E

^j

1

ⁱ⁺

E

^j

2

ⁱ

was,da diebeiden Vektoren j

1

^{i und j}

2

^{i linearunabhangigsind,auf diebeidenGleihungen}

(

E)

⁺⁼

0

+

(

E)

⁼

0

DieseslinearehomogeneGleihungssystemfurundistnurlosbarwenndieSakulargleihung

erfullt ist:

(

E) ²

²

⁼

0

⁾

E

⁼

womitdieEigenwertevon

H

^{bestimmtsind.DieEigenzustandeergebensihdurhdieBestim-}

mungder KoeÆzienten und :

j

E

⁺ⁱ

:

(

E

⁺

)

⁺⁼

0

^{) +=}

0

^{) ==}

1

p

2

j

E

⁺ⁱ⁼

1

p

2 (

^j

1

^i+j

2

ⁱ

)

wobei j

E

^{+i naturlih nur bis auf eine komplexe Phase bestimmt ist (die hier der Einfahheit}

halberzu1 gewahlt ist).Analogergibt sih

j

E

ⁱ

:

(

E )

⁺⁼

0

^{) +=}

0

^{) = =}

1

p

2

j

E

ⁱ⁼

1

p

2 (

^j

1

^{i j}

2

ⁱ

)

wiederbisauf einePhase.

ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß sich das System zum Zeitpunkt t im 3P

Zustand

^j

2

ⁱ

befindet, wenn es sich zur Zeit t

⁼

0 im Zustand

^j

1

ⁱ

befunden hat.

Die gesuhte Wahrsheinlihkeit ist

P(t)

^{= jh}

2

^j

(t)

^ij

²

^{wobei j}

(t)

^{i die} Zeitentwiklung des Zustandesj

(t

⁼

0)

^i=j

1

^{i ist,d.h.}

j

(t)

ⁱ⁼

e ^iHt

^{= ~j}

1

^{i :}

Dieslatsihameinfahstenberehnen, indemj

1

^{i nahdenEigenzustanden von}

H

^entwikelt

wird.Manndetleiht

j

1

ⁱ⁼

1

p

2 (

^j

E

^+i+j

E

ⁱ

)

undsomit

j

(t)

ⁱ⁼

e ^iHt

^{= ~j}

1

ⁱ⁼

e ^iHt

^{= ~}

1

p

2 (

^j

E

^+i+j

E

ⁱ

)

⁼

1

p

2 (e ^iE

⁺

^t

^{= ~j}

E

⁺ⁱ⁺

e ^{iE t}

^{= ~j}

E

ⁱ

)

⁼

1

p

2 e ⁱ

^t

^{= ~}

(e ⁱ

^t

^{= ~j}

E

⁺ⁱ⁺

e

⁺

ⁱ

^t

^{= ~j}

E

ⁱ

)

^:

Somitwird h

2

^j

(t)

^{i zu}

h

2

^j

(t)

^i=h

2

^j

1

p

2 e ⁱ

^t

^{= ~}

(e ⁱ

^t

^{= ~j}

E

⁺ⁱ⁺

e

⁺

ⁱ

^t

^{= ~j}

E

ⁱ

)

⁼

1

2 e ⁱ

^t

^{= ~}

(e ⁱ

^t

^{= ~}

e

⁺

ⁱ

^t

^{= ~}

)

⁼

ie ⁱ

^t

^{= ~}

sin t

~

unddie



Ubergangswahrsheinlihkeit

P(t)

^=jh

2

^j

(t)

^ij

²

⁼

sin ² t

~

Aufgabe 4: Dirac-Gleichung 5 Punkte

i) sei eine L ¨osung der Dirac-Gleichung 2P

[i

e

A

m]

⁼

0

^:

Leiten Sie die Gleichungen ab, die f ¨ur

^{= y}

⁰ , sowie f ¨ur den ladungskonjugier-

ten Spinor ^c

⁼

C ^T gelten. Hier bedeutet T Transposition, und die Ladungskon-

jugationsmatrix C erf ¨ullt die Relation C(

) ^T C ¹

⁼

. Auch gilt (

⁰ )

^{y =}

⁰ und

(

^k )

^y=

^k .

y

i[(

⁰ )

^y

0

⁺

(

^k )

^y

k ] e[(

⁰ )

^y

A 0

⁺

(

^k )

^y

A k ] m

=

0

y

i[

⁰

0

k

k ] e[

⁰ A 0

k A k ] m

=

0

wobei

(

⁰ )

^{y =}

⁰

^und

(

^k )

^{y =}

^k

^{verwendet wurde.} Multiplizieren mit

0

von rehts und

DurhkommutierendieserMatrix

0

ergibt mit

k

0

=

0

k

y

0

i[

⁰

0

⁺

k

k ] e[

⁰ A 0

⁺

k A _k ] m

=

0

undnah Multiplizierenmit

1

^{mit = y}

⁰

i[

]

⁺

e[

A

]

⁺

m

=

0

^:

Furdie Berehnungder Gleihungfur

c

transponiert man ambesten dieobigeGleihung,

[ i(

) ^T

e(

) ^T A

m] ^T

⁼

0

undmultipliziertvon linksmit

C

^.Manerhalt

C[ i(

) ^T

e(

) ^T A

m]C ¹ C ^T

⁼

0 [i

⁺

e

A

m] ^c

⁼

0

wobei

C(

) ^T C ¹

^{= verwendet wurde. Der} ladungskonjugierte Spinor erfullt also eine Diragleihung,in der dasVorzeihen der elektrishen Ladung

e

^{geandertwurde.}

ii) Die Spinoren u ⁽¹⁾ und u ⁽²⁾ seien L ¨osungen der freien Dirac-Gleichung mit positiver 3P Energie und beliebigem Impuls

^~

p. In der Dirac-Darstellung sind sie gegeben als

u ⁽¹⁾

⁼

N

0

B

B

B

1 0

p z

E

⁺

m p x

⁺

ip y

E

⁺

m

1

C

C

C

A

;

u ⁽²⁾

⁼

N

0

B

B

B

0 1

p x ip y

E

⁺

m p z

E

⁺

m

1

C

C

C

A

;

wobei N eine Normierungskonstante ist und c

⁼

1 gesetzt wurde. Bestimmen Sie, welche Bedingung f ¨ur den Impuls

^~

p gelten muß, damit eine geeignet gew¨ahlte Linearkombination aus u ⁽¹⁾ und u ⁽²⁾ eine Eigenfunktion zum Spinoperator

S x

⁼

1 2

x 0 0

x

!

ist.

S x (

u ⁽¹⁾

⁺

u ⁽²⁾ )

⁼

(

u ⁽¹⁾

⁺

u ⁽²⁾ )

oder explizit

1 2

0

B

B

B

B

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

1

C

C

C

C

A 2

6

6

6

6

4

0

B

B

B

B

1 0

p z

E

⁺

m p

⁺

E

⁺

m

1

C

C

C

C

A +

0

B

B

B

B

0 1

p E

⁺

m

p z

E

⁺

m

1

C

C

C

C

A 3

7

7

7

7

5

= 2

6

6

6

6

4

0

B

B

B

B

1 0

p z

E

⁺

m p

⁺

E

⁺

m

1

C

C

C

C

A +

0

B

B

B

B

0 1

p E

⁺

m

p z

E

⁺

m

1

C

C

C

C

A 3

7

7

7

7

5

wobei

p

⁼

p x

ip y

^{abgekurzt wurde. Die Matrix}

S x

^ist blokdiagonal, daher konnen die oberen und unteren 2 Spinorkomponenten jeweils separat betrahtet werden. Fur die oberen

Komponentenergibt sih

1 2

"

0 1

!

+

1 0

!#

=

"

1 0

!

+

0 1

!#

undsomit

=

2

^{; =}

2

⁾

²

⁼

²

^{) =}

Furdie unterenbeiden Komponenten ergibt sih, nahMultiplikationmit

2(E

⁺

m)

^,

p

⁺

p z

!

+

p z

p

!

=

2

p z

p

⁺

!

+

2

p p z

!

undmit denobigen Resultaten

p

⁺

p 2p z

!

=

2 p z

p

⁺

p

!

)

ip y

p z

!

=

p z

ip y

!

wobei = und

p

⁺

p

⁼

2ip y

^{verwendet wurde. Es folgt}

p y

⁼

p z

⁼

0

^{, d.h. ~}

p

^{mu in}

die

x

^{-Rihtungorientiert sein.}