Im ersten Fallstimmtdas Phasenportrait der Linearisierung mitdemjenigen des har-
monishenOszillators
uberein; eshandeltsih umKreiseum denNullpunkt. Auhdas
Phasenportrait des mathematishen Pendels zeigt geshlossene, nahezu kreisformige
Kurven um0. Dieskannman jedohniht aus dem Linearisierungssatzfolgern, dadie
beidenEigenwerte
1;2
=ivonAnihtdieVoraussetzungendesLinearisierungssatzes
erfullen.
2 Ljapunov-Stabilitat
In diesem Abshnitt betrahten wir autonomeSysteme der Form
(2.1) y
0
(t)=f(y(t));
wobei f : U ! R n
eine stetige Funktion ist, U R n
oen und 0 2 U gilt. Weiter
setzen wir voraus, dass f(0) =0gilt.Eine Losung dieser Gleihung nennen wir stabil,
falls siedie Bedingungder Denition III.4.6erfullt.
Fureine FunktionL2C 1
(U;R) denierenwir dieAbleitungvonL langsTrajektorien
als
_
L(x) =(rL(x)jf(x)) = lim
h!0 1
h
[L(x+hf(x)) L(x)℄:
Oenbar ist _
L die Rihtungsableitung von L in Rihtung f. Ist u eine Losung der
Gleihung (2.1), so folgtaus der Kettenregel
(2.2)
d
dt
L(u(t))=(rL(u(t))ju 0
(t))=(rL(u(t))jf(u(t))= _
L(u(t)):
Die folgende Denition istzentralfurdiesen Abshnitt.
2.1 Denition. a) Eine Funktion L 2 C 1
(U;R) heit Lyapunov-Funktion fur die
Gleihung (2.1), fallsgilt:
i) L(0) =0; L(x)>0 furalle x2U nf0g,
ii) _
L(x) 0furallex2U.
b) Gilt in Bedingung ii) sogar _
L(x) < 0 fur alle x 2 U n f0g, so heit L strikte
Lyapunov-Funktion der Gleihung (2.1).
DiefurunsereStabilitatsaussagenentsheidende EigenshafteinerLyapunov-Funktion
besteht darin, dass sielangs jeder Losung abnimmt,d.h. es giltwegen (2.2)
d
L(u(t))=(rL(u(t))jf(u(t))0;
solange u(t)2U gilt.Den Zusammenhang mitder Stabilitat in0 konnen wir uns wie
folgt plausibel mahen.
Fur">0istU
"
=fx2U :L(x) "gwegen L(0)=0 eineUmgebung von0.Da 0die
einzigeNullstellevonLinU ist,ziehensihdieMengen U
"
fur" !0auf0zusammen.
Istnun U
"
kompakt,sobleibtjedeinU
"
startendeLosungfurwahsendes tinU
"
,denn
es gilt
L(u(t))L(u(0))" furalle t 0:
Hieraus folgt dieStabilitatvon0. Ist Leine strikte Lyapunov-Funktion, sogilt
lim
t!1
L(u(t))=0und somit lim
t!1
u(t)=0:
Hierzu interpretieren wir L als Abstandsfunktion zum Punkt 0. Dann ist rL(x) ein
auerer Normalenvektor zur Niveaumenge N := fx 2 U : L(x) = "g und wegen
(rL(x)jf(x)) <0 dringen diePunkte u(t) durh den Rand von N in jede Umgebung
U
"
ein.
Wir formulieren unsere Plausibilitatsbetrahtungen rigoros in dem folgenden Stabili-
titatssatzvon Lyapunov.
2.2 Theorem. (Stabilitatssatzvon Lyapunov).
Es sei U R n
oen und L : U ! R eine Lyapunov-Funktion fur die Gleihung
y 0
=f(y)mit f 2C(U;R n
),02U undf(0)=0. Danngelten diefolgenden Aussagen:
a) Die Nulllosung von (2.1) ist stabil.
b) Ist L eine strikte Lyapunov-Funktion, so ist die Nulllosung von (2.1) asymptotish
stabil.
Beweis. a) Wir wahlen "
0
> 0 so klein, dass B
"0
(0) U gilt. Fur 0 < " < "
0 setze
m(") :=min
jxj="
fL(x)g. Nah Denition der Lyapunov-Funktion giltm(") >0. Da L
stetigistundL(0)=0gilt,existierteinÆ =Æ
"
<"mitL(x)<m(")furallex2B
Æ (0).
IstueineLosungvon(2.1)mitju(t
1
)j<Æfureint
1
0,sofolgtdaherL(u(t
1
))<m(")
und wegen Eigenshaftii)
d
dt
L(u(t))=(rL(u(t))jf(u(t)))0:
Daher folgtL(u(t))<m(") furallet t
1 .
Gilt ju(t)j " fur ein t > t , so existiert aus Stetigkeitsgrunden ein t t mit
ju(t
2
)j=". Somit gilt aberL(u(t
2
))m("). Widerspruh! Also giltju(t)j<" fur alle
t t
1
und daher dieStabilitatder Nulllosung.
b) Ist y
0 2 B
Æ
(0), so giltfur jede Losung u von (2.1) wegen Teil a) ju(t)j <" fur alle
t 0.Wir zeigen zunahst, dass eine Folge (t
n
) existiert mit t
n
! 1 und u(t
n
)! 0.
Ware dies niht so, so wurden r;T > 0 existieren mit ju(t)j > r fur alle t T. Nah
Voraussetzung giltjedoh
M :=maxf(rL(x)jf(x)); rjxj"g<0
und furallet T gibt es ein 2[T;t) mit
L(u(t)) L(u(T))=(t T) d
dt
(LÆu)()(t T)M; 2[T;t℄:
Daher existiert t>T mitL(u(t))<0 imWiderspruh zur Eigenshaft i) von L.
Weiter, daL stetig ist,folgtL(u(t
n
))!L(0) =0. Umden Beweis zu beenden, zeigen
wir noh, dass u(t
n
) ! 0 gilt fur t
n
! 1. Hierzu sei r > 0 und m := min
rjxj"
fL(x)g.
Die Eigenshaft i) impliziert m > 0 und daher existiert ein n 2N mit L(u(t
n
))< m.
Somit gilt L(u(t)) L(u(t
n
)) < m fur alle t t
n
, d.h. es gilt u(t) 2 B
r
(0) fur alle
t t
n .
Der entsprehende Instabilitatssatz, welhen wir hier jedoh niht im Detail beweisen
wollen, lautet wie folgt:
2.3 Satz. (Instabilitatssatz).EsseiU R n
oenmit02U.Es seiL2C 1
(U;R) eine
Funktion mit L(0) = 0 und es gelte L(x
j
)> 0 fur eine Folge (x
j
) U mit (x
j
)! 0.
Gilt _
L(x)>0 fur alle x2Unf0g, so ist die Nulllosung von (2.1) instabil.
Wir weisen noh einmal darauf hin, dass eine allgemeine Vorgehensweise zur Kon-
struktion von Lyapunov-Funktionen niht existiert. In konkreten Fallen erweisen sih
Energiefunktionale und Skalarprodukte jedohoft als hilfreih.
2.4 Beispiele.
a) Wirbetrahten den harmonishen Oszillatorbeshrieben durh dieGleihung
y 00
(t)+y(t)=0:
Shreibt man diese Gleihung als System 1.Ordnung, sogilt
x 0
(t)=Ax(t); mit A=
0 1
:
Deniert man L:R 2
!R durh
L(x) :=
1
2 (x
2
1 +x
2
2 );
so gilt:
i) L(x)>0 furalle x6=0 und L(0)=0,
ii)
(rL(x)jf(x))=
x
1
x
2
0 1
1 0
x
1
x
2
=0:
Nah Theorem 2.2a) ist dieNulllosungdaher stabil.
b) Nihtlineare Shwingungen werden oftdurh Gleihungender Art
x 00
(t)+h(x(t))=0;
furstetigeFunktionenh mith(y)>0furalley6=0beshrieben. Formuliertmandiese
Gleihung als System 1.Ordnung, sogilt
x 0
1
= x
2
x 0
2
= h(x
1 ):
Wir denieren L durh
L(x
1
;x
2 ):=
1
2 x
2
2 +
Z
x
1
0
h(s)ds;
und erhalten:
i) L(0)=0, L(x
1
;x
2
)>0 fur allex=(x
1
;x
2 )6=0,
ii)
(rL(x)jf(x))=
h(x
1 )
x
2
j
x
2
h(x
1 )
!
=0:
Nah Theorem 2.2a) ist dieNulllosungdaher stabil.
) Betrahtet man nihtlineare Shwingungen mitReibung, d.h. dieGleihung
x 00
(t)+x 0
(t)+h(x(t))=0;
und somit das System
x 0
1
= x
2
x 0
2
= h(x
1 ) x
2
;
und deniert Lwie inBeispielb), sogilt
_
L(x
1
;x
2
)= x 2
:
Wiederum, was naturlih physikalish auh zu erwarten ist, ist die Nulllosung stabil.
DieFragenahderasymptotishenStabilitatderNulllosungkannandieserStelleniht
beantwortet werden, da wegen _
L(x
1
;0) = 0 fur alle x
1
, die Funktion L keine strikte
Lyapunov-Funktion ist.
d) Aus den vorherigen Abshnitten wissen wir bereits,dass dieLosung u des linearen
Systems
(2.3) y
0
(t)=Ay(t)
mit A 2 C nn
asymptotish stabil ist, sofern Re(A) < 0 gilt. Wir wollen eine fur
das obigeSystemgeeigneteLyapunov-FunktionmitHilfedieserTatsahe konstruieren.
Dies ergibt fur lineare Systeme zunahst keine neue Einsiht, die verwandte Tehnik
wird es aber im folgenden Abshnitt e) erlauben, einen eleganten Beweis des Satzes
uber dielinearisierte Stabilitatzu fuhren.
Hierzu denieren wir mit
<a;b >:=
Z
1
0 (e
tA
aje tA
b)dt; a;b 2C n
einSkalarprodukt aufC n
,wobei(j)das kanonishe Skalarproduktauf C n
bezeihnet.
Setzt man L(x) :=hx;xi fur x2R n
, sogilt
L(x+tf(x)) L(x) =2thx;f(x)i+t 2
hf(x);f(x)i;
und somit
_
L(x)=2hx;f(x)i
furf wie inTheorem2.2. Inunserem Beispielistspeziell f(x)=Axundsomit giltfur
eine Losung u=e tA
x von (2.3)
_
L(x) =2hx;Axi=2 Z
1
0 (e
tA
xjAe tA
x)dt=2 Z
1
0
(u(t)ju 0
(t))dt=ju(t)j 2
1
0
= jxj 2
:
Nah Theorem 2.2 b) istdie Nulllosungasymptotish stabil.
e)Wirwollennundieunterd)beshriebeneVorgehensweiseaufdieSituationdesSatzes
uber die linearisierte Stabilitat im autonomen Fall ausdehnen. Hierzu betrahten wir
die Gleihung
(2.4) y
0
(t)=Ay(t)+g(y(t))
mitRe(A)<0 und g erfulle
lim
jyj!0 jg(y)j
jyj
=0:
Setzten wir wie in Beispield)L(x) :=hx;xi, sofolgt
_
2 2
wobei jjjxjjj:=hx;xi 1=2
gilt.Da aufR n
alleNormen
aquivalentsind (vgl.AnalysisII),
existiert ein C > 0 mit jjjxjjj Cjxj fur allex 2 R n
. Wahlt man nun r >0 so, dass
B
r
(0)U und jg(x)j 1
4C 2
jxj fur allex2B
r
(0) gilt,so folgt
_
L(x) jxj 2
+2C 2
jxjjg(x)j 1
2 jxj
2
:
AlsoistLeinestrikteLyapunov-FunktionunddieNulllosungvon(2.4)istasymptotish
stabil.
f)DiefolgendenBeispielklassenspieleninsbesondereinderPhysikeinegroeRolle.Wir
beginnen mitsogenanntenGradientensystemen,d.h.autonomenSystemen,beiwelhen
die rehteSeite f eine Stammfunktion g 2C 1
(U;R) besitzt, alsomitGleihungen der
Form
(2.5) y
0
(t)= rg(y(t)):
Setzt man L(x) :=g(x), sogilt
_
L (x) jrg(x)j 2
; x2U:
Besitzt g in 0 2 U ein lokales Minimum und existiert eine Umgebung V von 0 mit
g(x) > g(0) und rg(x) 6= 0 fur alle x 2 V nf0g, so ist nah Theorem 2.2 b) die
Nulllosung von (2.5) asymptotishstabil.
g)Wirbetrahten dieBewegung in einem konservativenKraftfeld. Genauergesagt, sei
F einkonservativesKraftfeld auf U R n
, d.h. es gelte
F(x)= rV(x);
miteinerPotentialfunktionV 2C 1
(U).DieNewtonshenBewegungsgleihungenx 00
(t) =
F(x) lautendann x 00
(t)= rV(x;t) bzw.
x 0
= y
y 0
= rV:
EshandeltsihhieralsoumeinSystemvon2nGleihungen.WahlenwiralsLyapunov-
Funktion dieEnergiefunktion, d.h. setzen wir
L(x;y):=E(x;y):=V(x)+ 1
2 jyj
2
;
so gilt
_
L (x)=0:
Dies bedeutet, dass L auf den Trajektorien der Losungen konstant bleibt, alsogenau
den Energieerhaltungssatz. Weiter gilt
und wir konnen diefolgende Aussage folgern:
GiltrV(0)=0und besitzt V in0 einstriktes Minimum, soist dieNulllosung stabil.
h)EsseienU R n
undH :R n
R n
!R einezweimalstetigdierenzierbareFunktion.
Autonome System der Form
x 0
= H
y (x;y)
y 0
= H
x (x;y)
werdenHamiltonsheSystemegenannt.HierbeiistHdiesogenannteHamilton-Funktion.
Verwendenwir dieHamilton-FunktionalsLyapunov-Funktion, d.h. setzenwir L=H,
so gilt
L= 0 in U. Besitzt die Hamilton-Funktion in 0 ein stiktes Minimum, so ist 0
stabil nah Theorem 2.2.
2.5 Bemerkung. (Lorenz-System).
ZumAbshlussdiesesAbshnittswollenwirnohkurzaufdasberuhmteLorenz-System
eingehen. Es wurde in den 60er Jahren von dem Meteorologen und Mathematiker
E.N. LORENZ als Modell einer konvektiven Stromung aufgestellt, welhes ein von
unten erwarmstesund von oben gekuhltesFluid (z.B. Luft)beshreibt. Dieses Modell
war fur die Entwiklung der Chaostheorie von zentraler Bedeutung. Die Lorenzshen
Gleihungen lauten
x 0
=
1
(y x)
y 0
=
2
x y xz (2.6)
z 0
= xy
3 z;
mit Konstanten
1
;
2
;
3
>0. An dieser Stelle konnen wir hier nurdie folgenden Aus-
sagen herleiten:
i) Fur 0<
2
<1 ist dieNulllosungvon(2.6) asymptotish stabil;
ii) Fur
2
>1 istdieNulllosung von (2.6) instabil.
Um dieAussage i) zu beweisen, benutzenwir dieLyapunov-Funktion
L(x;y;z):=x 2
+
1 y
2
+
1 z
2
und wenden Theorem 2.2 b) an. Zum Beweis der Aussage ii) zeigen wir, dass die
MatrixdeslinearisiertenSystems3reelleEigenwerte,zweinegativeundeinenpositiven,
besitzt,und wendenSatz 2.3 an.
Furtieferliegende, mathematishsowie philosophishsehr spannende Fragestellungen
mussen wir an dieserStelle auf dieLiteratur verweisen.
