Terme und Formeln

Terme und Formeln

Logarithmen

Bei der logarithmischen Spirale nimmt der Radius exponentiell mit dem Winkel zu. Die logarithmische Spirale, von Jakob Bernoulli „Spira mirabilis“ genannt, hat viele schönen Eigenschaften und tritt in der Natur nicht nur bei der gezeigten Schnecke, sondern auch bei Spiralnebeln (Galaxien), Sonnenblumen, Zyklonen (Tiefdruckgebiet), Spinnennetzen etc. auf

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1. Logarithmische Gleichungen

Definition des Logarithmus

Pro Memoria: Der Logarithmus ist eine weitere Umkehrfunktion der Potenzoperation:

bx =a ⇔ x = logb(a) a > 0, b > 0 und b  1

wobei a der Numerus und b die Basis.

Rechenregeln

Satz: Für Logarithmen gelten diese Rechenregeln:

( )

a a a

log u v⋅ =log u log v+ _a u _{a a} log log u log v

v

§ ·= −

¨ ¸© ¹

a a

log 1 log v v

§ ·= −

¨ ¸© ¹ ^loga

( )

Beweis: loga(u v⋅ )=log u log va + a

( )

( ) ( )

x

a y

a

x y x y

a a a a a

Es sei : u a x log u

v a y log v

log u v log a a log a⁺ x y log u log v

= Ÿ =

= Ÿ =

Ÿ ⋅ = ⋅ = = + = +

Basiswechsel

Satz: _a ln x log x log x

ln a log a

= =

Beweis:

( )

( )

q

u q

Einsetzen von a 10 a

q u q u log

q u Einsetzen von q und u

: loga a

a

Es sei : a 10 q log a

u log x a x

10 10 x

log 10 q u log x loga log x log x

log x

log x .

log a

=

⋅

⋅

= Ÿ =

= Ÿ =

Ÿ = =

Ÿ = ⋅ =

Ÿ ⋅ =

Ÿ = ,

Spezielle Logarithmen Satz: log 1 0_a =

Beweis: a⁰ =1 Ÿ 0 log 1= _a

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2. Übungen

Aufgabe 1: Vereinfache folgende Ausdrücke durch Anwendung der Logarithmengesetze:

a) log(3xy) – log^§¨^3x_y ^·¸

© ¹ b) loga 2

3 1 a

§ ·

¨ ¸

© ¹ c) log(x – 3)⁵ d) loga(a)

Aufgabe 2: Fasse zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfache soweit wie möglich:

a) m·log(x) – n·log(y) b) 0.5·log(a²ⁿ) – (n+2)·log(a) Aufgabe 3: Berechne den Wert x auf vier Dezimalen, wenn

a) 2^x = 11 b) 5^x = 0.08 c) 10^x = 1991 d) 10^1/x = 0.1991

e) 2^{3 – 4x}= 5 f) 2.3Ã1.5^x =17

Aufgabe 4: Löse folgende Gleichungen nach der Variablen x auf:

a) 2^x = 7^x–2 b) 2^1/x = 10^{x +1} Aufgabe 5: Löse folgende Gleichungen nach x auf:

a) 3log_ax = 2log_ax b) log(9x+5) = 1 + log x

c) log x + log x² + log x³ + log x⁴ = 5 Aufgabe 6: Für welche natürlichen Zahlen gilt 7 ^{3 n}

4

§ ·¨ ¸

© ¹ < 10⁻⁵?

Aufgabe 7: Was ist grösser 2¹⁰⁰⁰ oder 3³⁶⁰? Wie viele Stellen besitzt die Zahl 2²⁰⁰⁰?