Terme und Formeln

(1)

Terme und Formeln

Goniometrie

Diese Figur erschien in einer der der ersten Enzyklopädien, der „Cyclopaedia or an universal dictionary of arts and sciences“, im Jahr 1728 in London. Trigonometrische Berechnungen in der Ebene und vor allem der Kugeln sind dargestellt. Die Anwendung war in erster Linie die Seefahrt.

(2)

Terme und Formeln: Goniometrie Seite 2 www.mathema.ch (November 11)

1. Goniometrische Gleichungen

Gleichungen, in denen die Variablen auch als Argument von trigonometrischen Funktionen vorkommen, heissen goniometrische Gleichungen. Gegeben sind also Funktionswerte, und gesucht werden die dazugehörigen Winkel im Grad- oder im Bogenmass.

Wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen gibt es meistens mehrere oder sogar unendlich viele Lösungen.

Um goniometrische Gleichungen lösen zu können, stellen wir die wichtigsten Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen noch einmal zusammen.

Definitionen der Winkelfunktionen:

Definition: Die trigonometrischen Funktionen sind am Einheitskreis wie folgt festgelegt:

I sin( )α =y cos( )α =x

II tan( ) ^y

α = x cot( ) ^x α = y

Periodizität

Satz: Die trigonometrischen Funktionen haben folgende Periodizitäten (k∈]):

I ^sin

(

^{α + ⋅}^{k 360}^{° =}

)

^sin

( )

^α ^cos

(

^{α + ⋅}^{k 360}^{° =}

)

^cos

( )

^α

II ^tan

(

^{α +}¹⁸⁰^{° =}

)

^tan

( )

^α ^cot

(

^{α +}¹⁸⁰^{° =}

)

^cot

( )

^α

Wir betrachten nun die Gleichung

( ) ( )

sin α =0.5 α =asin 0.5 =30°

Die Gleichung wird also durch α = 30° gelöst. Wegen der Periodizität sind jedoch auch α = 30°+360° = 390°, α = 30° + 5⋅360° = 1830° oder α = 30° – 4⋅360° = –1440°

Lösungen. Wir schreiben die Lösung wie folgt:

30 k 360 , k α = ° + ⋅ ° ∈]

(3)

360 180 0 180 360 540 720

1 1

Reduktionsformeln

Die Gleichung sin( )α =0.5 hat jedoch pro Periode zwei Lösungen, da der Sinus in einer Periode von α zweimal den Wert 0.5 annimmt. Wir können die zweite Lösung mithilfe der Reduktionsformel finden.

Satz: Es gelten folgende Reduktionsformeln:

I sin(90° – α) = cos(α) cos(90° – α) = sin(α) II sin(90° + α) = cos(α) cos(90° + α) = –sin(α) III sin(180° – α^{) = sin(}α) cos(180° – α) = –cos(α) VI sin(180° + α) = –sin(α) cos(180° + α) = –cos(α) V sin(–α) = –sin(α) cos(–α) = cos(α)

VI sin(360° – α) = –sin(α) cos(360° – α^{) = cos(}α⁾

Für das Auffinden einer zweiten Lösung in einer Periode werden meistens die beiden kursiv gedruckten Formeln verwendet. Wenn α = 30° eine Lösung der Gleichung sin( )α =0.5 ist, so muss wegen der Reduktionsformel III auch 180° – 30° = 150° eine Lösung sein.

Die vollständige Lösung der Gleichung sin( )α =0.5 lautet also:

30 k 360 , k 150 k 360 , k

α = ° + ⋅ ° ∈] ∪ α = ° + ⋅ ° ∈] Grafisch sehen die Lösungen wie folgt aus:

^f(x)

x

Aufgabe 1: Notiere die Lösung der Gleichung sin( )α =0.5 im Bogenmass.

Aufgabe 2: Überlege dir an den Winkelfunktionen im Einheitskreis, ob die angegebenen Reduktionsformeln stimmen.

(4)

Beziehungen unter den Winkelfunktionen

Satz: Unter den Winkelfunktionen gelten folgende Beziehungen:

I sin²( )α +cos²( )α =1 tan( )α ⋅cot( )α =1

II ( ) ( ) ( ) tan sin

cos α = α

α ( ) ( )

( ) cot cos

sin α = α

α III ₂¹( ) 1 cot²( )

sin = + α

α

( ) ²( )

2

1 1 tan

cos = + α

α

Aufgabe 3: Beweise drei dieser Beziehungen. Du brauchst dazu die Definitionen der Winkelfunktionen.

Die Additionstheoreme

Satz: Vielleicht brauchst Du bei einigen Gleichungen noch diese Spezialfälle der Additionstheoreme:

I sin 2( )α =2sin( )α cos( )α II cos 2( )α = −1 2sin²( )α

2. Übungen

Wir messen den Winkel bei goniometrischen Gleichungen immer im Bogenmass. Üblicherweise wird in goniometrischen Gleichungen x für den Winkel geschrieben. Bestimme sämtliche Lösungen im Intervall [0, 2π[.

Aufgabe 4: a) 3sin(x) – 2 = 0 b) 3sin(x) – sin(x) = 1.2 c) 4cos(x) = 1 – 2cos(x) d) 3tan(x) = 4 – tan(x) Aufgabe 5: a) ^{sin x}

( )

⁻²^π ⁼¹ b) ^cos

(

²¹^{x 1 =0}⁺

)

c) ^{tan x}

(

⁻²³^⋅π

)

⁼¹ d) ^{cos 4x}

(

⁺ ⁴^π

)

⁼⁰

Aufgabe 6: a) sin²(x) = ¼ b) 5cos²(x) = 1

c) sin²(x) – 3sin(x) + 1 = 0 d) 2cos²(x) + 3cos(x) + 1 = 0 Aufgabe 7: a) cos²(x) – 3sin²(x) = 1 b) 4cos²(x) = 1 + 3sin²(x) Aufgabe 8: a) sin(x) = cos(x) b) sin(x) + sin(x)cos(x) = 0

c) 3sin(x) – 4cos(x) = 5 d) sin(x) + tan(x) = 0 e) 3sin(2x) – 2cos(x) = 0 f) sin(x) + cos(x) = 2

g) sin(x) + 0.5sin(2x) = 1 + cos(x) h) 8cos(x) + 12sin²(x) – 5 = 0