§2 Trigonometrische Formeln

(1)

$Id: trig.tex,v 1.8 2015/05/04 10:16:36 hk Exp $

§2 Trigonometrische Formeln

2.1 Die Additionstheoreme

In der letzten Sitzung hatten wir begonnen die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen zu besprechen. Will man diese anhand der geometrischen Definitionen von Sinus und Cosinus herleiten, so müssen die additiven und subtraktiven Varianten getrennt behandelt werden und man muss einige Fälle für die möglichen Werte der betrachteten Winkel unterscheiden. Letzteres ist notwendig da sinα und cosα ja nur für spitze Winkel 0 < α < π/2 über Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken defi- niert sind, die Ausdehnung auf stumpfe Winkel π/2 < α < π erfolgte dann durch sinα= sin(π−α) und cosα =−cos(π−α). Für spitze Winkel 0< α, β < π/2 deren Summe ebenfalls spitz ist, also α+β < π/2 kann man beide Additionsformeln aus der folgenden Figur ablesen

D

α β

α

M

A

B C

F

sin(

cos(

α+β

)

) P

E

Wie beginnen mit einem Viertelkreis von Radius 1 mit Mittelpunkt in M. Dann tragen wir nacheinander die beiden Winkel α und β bei M ab und erhalten die beiden Schnittpunkte A und B mit unserem Viertelkreis. Fällen wir dann das Lot von A auf die untere Begrenzung des Viertelkreises, so erhalten wir den Punkt F und können Sinus und Cosinus von α+β im rechtwinkligen Dreieck M F A mit Hypothenuse der Länge 1 als

sin(α+β) =|AF| und cos(α+β) = |M F|

(2)

ablesen. Dann f¨allen wir das Lot vonA auf M B und erhalten den Punkt C. Dies gibt uns ein weiteres rechtwinkliges Dreieck M CA, dessen Hypothenuse wieder die L¨ange 1 hat, also sind

sinβ =|AC|und cosβ =|M C|.

IstP der Schnittpunkt vonAF undM B, so haben die DreieckeM F P undP CAbeiP denselben Winkel und da sie beide bei F beziehungsweiseC rechtwinklig sind, m¨ussen auch ihre Winkel beiM beziehungsweiseAubereinstimmen, d.h. der Winkel von¨ P CA bei A ist α. Schließlich f¨allen wir die Lote von C auf AF und auf M F und erhalten die Punkte D und E. Im rechtwinkligen DreieckDCA haben wir beiA den Winkelα, also sind

sinα = |DC|

|AC| und cosα= |AD|

|AC|.

Schließlich entnehmen wir dem rechtwinkligen Dreieck M EC noch sinα= |EC|

|M C| und cosα= |M E|

|M C|.

Damit haben wir alles beisammen um die beiden Additionstheoreme zu begr¨unden, f¨ur den Sinus rechnen wir

sin(α+β) = |AF|=|AD|+|DF|=|AD|+|EC|

= cosα· |AC|+ sinα· |M C|= cosαsinβ+ sinαcosβ und f¨ur den Cosinus ist

cos(α+β) = |M F|=|M E| − |F E|=|M E| − |DC|

= cosα· |M C| −sinα· |AC|= cosαcosβ−sinαsinβ.

Um diese Formeln auch auf den Fall stumpfer Winkel auszudehnen, ist es sinnvoll erst einmal die Formeln für die Subtraktion spitzer Winkel zu behandeln. Wir beschränken uns dabei auf Sinus und Cosinus, die Formeln für den Tangens kann man dann rech- nerisch herleiten. Seien also zwei Winkel 0< α < β < π/2 gegeben. Wir gehen ähnlich wie beim Beweis der Additionsformeln vor und betrachten die folgende Figur:

β−α α

α

M

A

B C

F

D E

(3)

Wir beginnen wieder mit einem Viertelkreis mit Mittelpunkt M und Radius 1. In diesem tragen wir den Winkel β bei M ab, und in ihm enthalten dann auch den kleineren Winkel α. Seien A und B die Schnittpunkte dieser beiden Winkel mit dem Einheitskreis und f¨alle das Lot von A auf M B. Bezeichnet C den Lotfußpunkt, so k¨onnen wir Sinus und Cosinus vonβ−α im rechtwinkligen Dreieck M CA als

sin(β−α) =|AC| und cos(β−α) = |M C|

ablesen. F¨alle nun das Lot von A auf die untere Begrenzung des Viertelkreises und erhalte den Fußpunkt F. VonF aus f¨alle dann die Lote aufM B mit FußpunktD und auf AC mit Fußpunkt E. Wie beim Beweis der Additionsformel hat das DreieckF EA bei A den Winkel α. Nun ist F ECD ein Parallelogram, also

sin(β−α) =|AC|=|AE| − |CE|=|AE| − |DF|

=|AF|cosα− |M F|sinα= sinβcosα−cosβsinα und

cos(β−α) =|M C|=|M D|+|DC|=|M D|+|F E|

=|M F|cosα+|AF|sinα= cosβcosα+ sinβsinα.

Dies sind schon die beiden Subtraktionsformeln, und damit steht alles bereit auch den Fall stumpfer Winkel zu untersuchen. Erinnern sie sich daran, dass wir Sinus und Cosinus durch die Formeln

sinπ

2 := 1, cosπ

2 := 0, sinα := sin(π−α) und cosα:=−cos(π−α)

fürπ/2< α < π auf den Fall stumpfer Winkel ausgedehnt hatten. Weiter werden wir die Formeln für Complementärwinkel benötigen, also die für 0 < φ < π/2 gültigen Formeln

sin π

2 −φ

= cosφ und cos π

2 −φ

= sinφ.

Der erste noch zu behandelnde Fall der Additionstheoreme sind jetzt zwei spitze Winkel die sich zu einem Rechten ergänzen. In dieser Situation wird das Additionstheorem für den Sinus zum Satz des Pythagoras und das des Cosinus ist klar. Seien nämlich 0< α, β < π/2 spitze Winkel mitα+β =π/2. Dann sindαundβComplementärwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck und somit gelten

sinαcosβ+ cosαsinβ = sinαsin π

2 −β

+ cosαcos π

2 −β

= sin²α+ cos²α= 1 = sin(α+β) sowie

cosαcosβ−sinαsinβ = cosαsinπ 2 −β

−sinαcosπ 2 −β

= cosαsinα−sinαcosα= 0 = cos(α+β).

(4)

Der letzte noch verbleibende Fall in dem α und β spitze Winkel sind, ist die Situation 0< α, β < π/2 mit einem stumpfenα+β, alsoα+β > π/2. In diesem Fall haben wir die beiden Complement¨arwinkel 0< π/2−α, π/2−β < π/2 mit

π 2 −α

+π 2 −β

=π−(α+β)< π 2, und es folgen

sin(α+β) = sin(π−(α+β)) = sinπ 2 −α

cosπ 2 −β

+ cosπ 2 −α

sinπ 2 −β

= cosαsinβ+ sinαcosβ und

cos(α+β) = −cos(π−(α+β))

= sinπ 2 −α

sinπ 2 −β

−cosπ 2 −α

cosπ 2 −β

= cosαcosβ−sinαsinβ.

Damit sind alle Fälle behandelt in denen α, β beides spitze Winkel sind. Es verbeiben dann die Möglichkeiten α ≥ π/2 oder β ≥ π/2. Da wir allerdings α+β < π haben müssen, können nicht beide Alternativen zugleich zutreffen, einer der beiden Winkel muss also spitz sein. Durch eventuelles Vertauschen von α und β können wir dann 0< α < π/2 annehmen. Fürβ =π/2 werden dann

sin(α+β) = sin

α+ π 2

= sin

π− α+ π

2

= sin π

2 −α

= cosα= sinαcosπ

2 + cosαsinπ 2 und

cos(α+β) = cos α+ π

2

=−cos π−

α+ π 2

=−cosπ 2 −α

=−sinα= cosαcosπ

2 −sinαsinπ 2. Damit sind wir beim allerletzten Fall angelangt, dass also 0 < α < π/2 spitz ist und π/2< β < π stumpf ist. Weiter mussα+β < π gelten. Diesen Fall führen wir auf die Subtraktionsformel für spitze Winkel zurück, es sind 0 < α < π−β < π/2 und somit wird

sin(α+β) = sin(π−(α+β)) = sin((π−β)−α)

= sin(π−β) cosα−cos(π−β) sinα = sinβcosα+ cosβsinα sowie

cos(α+β) = −cos((π−β)−α) = −cos(π−β) cosα−sin(π−β) sinα

= cosβcosα−sinβsinα.

Auch die Subtraktionsformel l¨aßt sich f¨ur 0 < α < β < π entsprechend beweisen, da wir inzwischen gesehen haben das diese Beweise eher

”Buchhaltung“ sind, wollen wir hier darauf verzichten dies im Detail vorzuf¨uhren.

(5)

2.2 Verdoppelungs- und Halbierungsformeln

Als Verdoppelungsformeln bezeichnet man die Formeln für die Werte der trigonometrischen Funktionen bei verdoppelten Winkel, also für sin(2α), cos(2α) und tan(2α), und die Halbierungsformeln sind dann entsprechend die Formeln für die halbierten Winkel.

Man kann all diese Formeln nat¨urlich durch Spezialisieren der Additionstheoreme auf β =α erhalten, also etwa

sin(2α) = sin(α+α) = 2 sinαcosα,

cos(2α) = cos(α+α) = cos²α−sin²α = 2 cos²α−1 = 1−2 sin²α, tan(2α) = tan(α+α) = 2 tanα

1−tan²α,

sie lassen sich aber auch geometrisch an einer geeigneten Figur gewinnen. Wir betrachten einen Halbkreis mit Radius 1 und Mittelpunkt M und bezeichnen den unteren Durchmesser dieses Halbkreises als AB. Dann ist M der Mittelpunkt von AB und es ist|AB|= 2. Weiter sei ein Winkel 0< α < π/2 gegeben und trage diesen im Halbkreis bei A ab. BezeichnetC den entstehenden Schnittpunkt mit unserem Halbkreis, so hat das Dreieck ABC nach dem Satz von Thales §1.Satz 21 bei C einen rechten Winkel.

Die Seitenl¨angen in diesem Dreieck sind dann in den Standardbezeichnungen gegeben als

a=|BC|= 2 sinα, b=|AC|= 2 cosα und c=|AB|= 2.

α

α 2α

A M B

C

b

a

P

β

Ziehen wir jetzt die Verbindungsstrecke M C, so entsteht ein weiteres Dreieck M BC.

Der Winkel von M BC bei M ist der Mittelpunktswinkel der Sekante BC unseres Halbkreises und unser gegebener Winkel α ist der Perepheriewinkel dieser Sekante bei A, der Winkel von M BC bei M ist nach dem Perepheriewinkelsatz§1.Satz 23.(a) also gleich 2α. F¨allen wir also das Lot von C aufAB und bezeichnen den Fußpunkt mit P,

(6)

so sind sin(2α) = |P C| und cos(2α) = |M P| da die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks M P C ein Radius unseres Halbkreises ist und damit die L¨ange |M C|= 1 hat.

Dem rechtwinkligen Dreieck AP C entnehmen wir sinα= |P C|

b = sin(2α)

2 cosα, also sin(2α) = 2 sinαcosα

und wir haben eine geometrische Begr¨undung der Verdoppelungsformel des Sinus.

Ebenfalls im Dreieck M P C sehen wir cosα= |AP|

b = 1 +|M P|

b = 1 + cos(2α)

2 cosα , also cos(2α) = 2 cos²α−1

und dies ist eine der beiden Verdoppelungsformeln des Cosinus. Auch die andere Vari- ante dieser Formel k¨onnen wir an unserer Figur sehen. Dazu beachten wir zun¨achst das das DreieckM BCbeiMgleichschenklig ist, also sind die Winkel in diesem Dreieck nach Aufgabe (4.a) beiB undCgleich, etwaβ, und wir erhaltenπ= 2α+2β = 2(α+β), also β =π/2−α. Im rechtwinkligen DreieckP BCliegt damit beiCder Winkelπ/2−β=α an, und es ergibt sich

sinα= |P B|

a = |P B|

2 sinα, also auch

cos(2α) = |M P|= 1− |P B|= 1−2 sin²α.

Wir k¨onnen an unserer Figur weiter auch zwei Gleichungen f¨ur den Tangens von α sehen. Im rechtwinkligen Dreieck AP C erhalten wir

tanα= |P C|

|AP| = |P C|

1 +|M P| = sin(2α) 1 + cos(2α), und ebenso liefert das rechtwinklige Dreieck P BC

tanα = |P B|

|P C| = 1− |M P|

|P C| = 1−cos(2α) sin(2α) .

Setzen wir in diese beiden Formeln nochθ= 2αein, so ergibt sich die Halbierungsformel des Tangens in ihren beiden Varianten

tanθ

2 = sinθ

1 + cosθ = 1−cosθ sinθ .

Mit derselben Substitution ergeben sich aus cos(2α) = 2 cos²α−1 = 1−2 sin²α dann auch die Halbierungsformeln f¨ur Sinus und Cosinus, aus

cosθ = 2 cos² θ

2−1 folgt cosθ 2 =

r1 + cosθ 2 und

cosθ = 1−2 sin² θ

2 ergibt sinθ 2 =

r1−cosθ

2 .

(7)

Wir wollen noch eine zweite Methode zum Beweis der Verdopplungsformel des Cosinus anschauen. Angenommen wir haben einen Kreis k von Radius r und eine Sekante AB von k der L¨ange a. Ist dann ein φ ein spitzer Perepheriewinkel von AB, etwa in einem Punkt C∈k, so haben wir in §1.Lemma 26 bereits

a² = 2r²(1−cos(2φ))

eingesehen. Andererseits ist k der Umkreis des Dreiecks ABC, also gilt nach §1.Satz 18 auch

r = a

2 sinφ, d.h. a = 2rsinφ

und dies liefert erneut die Verdopplungsformel cos(2φ) = 1−2 sin²φ. Außerdem ist dies eine verbesserte Form unserer Formel f¨ur die Sekantenl¨ange, die wir als ein Lemma festhalten wollen.

Lemma 2.1 (Bestimmung der Sekantenl¨ange)

Seien kein Kreis mit Radius r,AB eine Sekante vonk der L¨angeaund φein Perephe- riewinkel von AB in k. Dann gilt a= 2rsinφ.

Beweis: Ist AB ein Durchmesser von k, so ist φ = π/2 nach dem Satz von Thales

§1.Satz 21 ein rechter Winkel und somit gilt a= 2r = 2rsinφda sin(π/2) = 1 ist. Nun nehme an das AB kein Durchmesser von k. Ist φ < π/2 ein spitzer Winkel, so haben wir die Formel a = 2rsinφ bereits eingesehen. Ist φ > π/2 stumpf, so ist π−φ nach dem Perepheriewinkelsatz§1.Satz 23.(b) ein spitzer Perepheriewinkel vonAB, also gilt auch in diesem Fall a= 2rsin(π−φ) = 2rsinφ.

2.3 Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen

In diesem Abschnitt wollen wir uns einige der exakt berechenbaren Werte von Sinus, Cosinus und Tangens anschauen und uns für diese auch jeweils eine geometrische Herlei- tung überlegen. Da die Werte fürα =π/2 direkt vorgegeben sind, beginnen wir mit 60^◦.

C’

α α

α

a a

a

A B

C

h

Wir betrachten ein gleichseitiges Dreieck ABC mit Sei- tenlänge a = b = c > 0. Nach Aufgabe (4.a) sind dann auch alle Winkel in ABC gleich, also α = β = γ und somit haben wir 3α=πbeziehungsweiseα=π/3. Eben- falls nach Aufgabe (4.a) stimmen in ABC die Seitenhal- bierende CC⁰ und die Höhe h auf AB überein, und der Satz des Pythagoras§1.Satz 1 im rechtwinkligen Dreieck AC⁰C liefert

a 2

2

+h² =a², also h=

√3 2 a.

(8)

Nun k¨onnen wir Sinus, Cosinus und Tangens in AC⁰C ablesen und erhalten sinπ

3 = h

a = 1 2

√ 3, cosπ

3 =

1 2a

a = 1 2, tanπ

3 = h

1

2a =√ 3.