Terme und Formeln

Terme und Formeln

Potenzen II

Die einzige schriftliche Überlieferung der Mathematik der Maya stammt aus dem Dresdner Kodex. Das Zahlensystem der Mayas beruht auf der Basis 20. Als Grund dafür wird vermutet, dass die Vorfahren der Mayas mit Fingern und Zehen zählten. Die Mayas kannten die Zahl 0, aber verwendeten keine Brüche. Für die Darstellung von Zahlen verwendeten sie Punkte, Striche und eine Muschel, die für die Ziffern 1, 5 und 0 standen.

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Vereinfachen von Termen

Aufgabe 7: Vereinfache die folgenden Terme:

1. a) 15z⁵ ⋅ 24z³ : (36z⁶) b) (3x)⁴ : (3x⁴)

c) 6y⁸ : (8y² ⋅ 3y⁴)

d) 120z¹² : [60z⁵ : (50z³)]

2. a) (a¹⁰⁰ + a⁵⁰) : a²⁵ b) (a¹² + a⁸ – a⁶) : a⁸ 3. a) a^2x+1⋅ a^2x–1 : a^3x–1

b) (16a^2x+1 + 8a^2x) : (4a^2x–1) 4. a)

5 7

d 6

6 d

æ ö æ ö÷ ÷ ç ÷ ⋅ç ÷ ç ÷ ç ÷

ç ç

è ø è ø b)

9 8

b : b

4 4

æ ö æ ö÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷

ç ç

è ø è ø 5. a) (2³)⁴⋅ (2³)⁵

b) (a⁵)⁶ : (a⁴)⁷

c) [(x²)⁵ + 5(x⁵)²] : (2x³)² 6. a) (a²)ⁿ⁺¹ : (a²)^n–1

b) _b^{( )52} _{: b}( )^{5 2} c) (c²ⁿ⁺³ : cⁿ⁺³)⁵ d) (a⁴⋅ a⁷)³ e) [20b²⁰ : (5b⁵)]² 7. a. (–a³)⁴

b) ((–a)³)⁴ c) (–a⁴)³ d) ((–a)³)⁵

8. a) (a²b)²⁵ ⋅ (ab⁴)²⁵ b) (6abc)ⁿ : (2ac)ⁿ

Faktorisieren von Termen Aufgabe 8: Zerlege in Faktoren:

1. a) b⋅a³ – a²⋅b b) p²q³ + p³q⁴

c) e³⋅d⁴ + e⋅d³ – e²⋅d²

2. a) c² – d² b) d⁶ – d⁴

c) n³ – 2n²m + nm²

Verwandeln von Termen

Aufgabe 9: Verwandle in Potenzen mit reinen Buchstabenexponenten. Im Exponenten soll also im Ergebnis nur noch ein Buchstaben vorkommen: 3^5m+2 = 3²·3^5m = 9·(3⁵)^m = 9·243^m

1. a) 5⁴ⁿ = b) 2^q+5 =

c) 3^2r+4 = d) 5^3s+2 =

2. a) 7^x–2 = b) 10^3z+5 = c) 100^2n–1 = d) 2^5n–7 =

Aufgabe 10: Schreibe diese Ausdrücke so, dass nur noch ein Potenzausdruck darin vorkommt.

a) 5 ⋅ 2ⁿ + 3 ⋅ 2ⁿ b) 4 ⋅ 5^n–1 + 5^n–1 c) 50 ⋅ 3^n–1 + 4 ⋅ 3^n–1 d) 100 ⋅ 2ⁿ – 4 ⋅ 2ⁿ

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Lösen von Gleichungen

Aufgabe 15: Löse die Gleichung durch schlaues Überlegen (ohne Rechner):

a) x⁴= 16 b) x³ = –8 c) x³ = 125^–1 d) x⁶ = 2⁶ e) x^–10 = 1024 f) x⁶ = 16³ g) x³ = 3⁹ h) x⁴ = x¹⁶ i) 5⁸ ⋅ 5^x = 5³ k) 2¹² ⋅ 2^x = 2^–3 l) 2^–12 ⋅ 2^x = 2^–3

m) 2^x = 8⁵ n) 2^x = 8^–4 o) 2^–x = 8⁵ Wissenschaftliche Schreibweise

Aufgabe 16: Welchen Wert besitzt (ohne Taschenrechner!) a) das 10-fache der Zahl 3.514·10^–12?

b) das 1'000-fache der Zahl 7.18·10^–22? c) das 4-fache der Zahl 2.5·10^–15? d) das Doppelte der Zahl 8.5·10^–34?

e) das Produkt der beiden Zahlen 3·10^–8 und 4.5·10^–11? Aufgabe 17: Berechne ohne Taschenrechner:

a) 2.65·10^–7 + 3·10^–8 b) 1.2·10^–8 : (2·10^–6) c) 7.5·10⁵ : (1.5·10^–11)

Aufgabe 18: In der der Pulvermetallurgie werden Metall- pulver hergestellt und daraus Werkstücke gepresst.

Ein mikroskopisch kleines Stahlkügelchen in einem solchen Pulver besitze einen Radius von

1.5⋅10^–2 mm.

a) Berechne die Grösse seiner Oberfläche A.

b) Berechne die Grösse seines Volumens V.

c) Stahl besitzt eine Dichte von etwa 7.9 g pro cm³. Wie viele derartige Stahlkügelchen benötigt man, um eine Gesamtmasse von 1 kg zu erhalten?

d) Wie viele derartige Stahlkügelchen benötigt man, um damit ein Volumen von 1 m³ auszufüllen?

Die Kugeln füllen ca. 65% des Volumens.

Aufgabe 19: Die Wellenlänge von grünem Licht misst etwa λ = 5·10^–4 mm. Berechne die Frequenz f (Anzahl Schwingungen pro Sekunde) einer solchen grünen Lichtwelle, welches sich mit Lichtgeschwindigkeit (c = 2.997925 ⋅ 10^8m/s) fortpflanzt. (Hinweis: c = λ ⋅ f)

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4. Vermische Aufgaben

Aufgabe 40: Multipliziere diese Ausdrücke aus!

1. a) (a⁷ + a³) ⋅ a⁵ b) (xⁿ – xⁿ⁺¹) ⋅ x² c) (a^n–1 + a^n–2) ⋅ a² d) (cⁿ – c^n–2) ⋅ cⁿ⁺¹ 2. a) (3a⁵ – 4a³ + 2a) ⋅ a⁴

b) (bⁿ – 2bⁿ⁺¹ + 3bⁿ⁺²) ⋅ b³ c) (4x⁵ – 3x⁴ – x³) ⋅ x^n–4 d) (cⁿ⁺¹ + 5c^n–1 – 7c^n–2) ⋅ c⁴ 3. a) (x⁸ + 5x⁶ – 3x⁵) : x⁴

b) (xⁿ⁺² + 2xⁿ⁺¹ + 3xⁿ) : x² c) (aⁿ⁺² – 2aⁿ⁺¹ + aⁿ) : aⁿ d) (9d²ⁿ⁺¹ – 6d²ⁿ) : (3dⁿ⁺¹) 4. a) (5 ⋅ 2ⁿ + 3 ⋅ 2ⁿ) : 2ⁿ⁺¹

b) (3^p–1 + 8 ⋅ 3^p–1) : 3^p

c) (aⁿ + 2aⁿ⁺¹) ⋅ (3aⁿ⁺² + aⁿ⁺³) d) (2y^2m – y^2m–1) ⋅ (3y^m–2 + 6y^m–1) 5. a) (x³ + y³) ⋅ (x³ – y³)

b) (aⁿ – bⁿ) ⋅ (aⁿ + bⁿ)

c) (x^m + 3x^m–2) ⋅ (2x^m–1 – x^m–3) d) (u⁶ – w⁵) ⋅ (w⁵ + u⁶)

6. a) (2a^m+2 – 7b^n–1) ⋅ (2a^m+2 + 7b^n–1) b) (a³ + b⁴)²

c) (y + yⁿ)² d) (4aⁿ + 9bⁿ)² 7. a) (¹/3 p^n–1 + ³/4 p^n–2)²

b) (x³ⁿ + x²ⁿ + xⁿ + 1)⋅(xⁿ – 1) c) (a^2p + a^pb^p + b^2p)⋅(a^p – b^p) d) (x^2p – 3x^py^q + 9y^2q)⋅(x^p + 3y^q) Aufgabe 41: Zerlege diese Ausdrücke in Faktoren:

1. a) a⁵ + a⁷ b) xⁿ + xⁿ⁺¹ c) aⁿ⁺² – 4a^n–2 d) 3x^2n–1 – 4xⁿ⁺²

2. a) a⁴p – b⁴p b) 9p⁴ – 1 c) x⁵ + 2x⁴ + x³ d) t^4p – 12t^2p + 36

Aufgabe 42: Vereinfache die folgenden Brüche:

1. a) + +

6 5

4 3

x x

x x

b) ₊ + ⁺₊ +

n n 1

n 1 n 2

a a

a a

c) ₊ −

− ⋅

2n 2n

n 1 n

a x

a a x

d) ₊− ⁺ +

p p 2

p 1 p

c c

c c

2. a) −

−

2 4

4 5

25z 4z

5z 2z

b) ₊ ⁻ − ⁻ ₋

− +

q 1 q 2

q 1 q q 1

z 4z

z 8z 16z

c) a₇⁸ ⋅ b₁₂¹¹ ⋅ a³₆

b a b

d) p⁵₆ : q³₄

q p

3. a) r^{m 2}_{m 3}⁺₊ r^{m 2}_{m 2}⁻₊ s : s

b) _{2m 1}x^3m₊ ⋅ y_{3m 2}^{m 2−}₋ ⋅ z^{2m 5}_{m 3−}⁻

y z x

c) a^{n 2}_{n 2}⁻₊ ⋅ b^{2n 1}_2n⁺ ⋅ c_{2n 3}^{n 1+}₋

b c a

d) u^{2n 5}_{3n 4}⁻₋ : u^{3n 1}_2n⁻

v v

4. a)  ₊^{+ −}₊  ⁻₊

 

 

2n 1 n 2 3n 2

3n 2 n 4 4n 1

x : y : x

y x y

b)  ₊^{− +}₋   ₊^{+ −}₊ 

   

   

2n 3 3n 1 2n 1 3n 2

n 2 2n 5 n 4 2n 1

a c a c

: : :

b d b d

c)  ⁻₊ ⁺₋ 

 

 

8 m 5 m 1

9 m 4 m 1

r : r : r

s s s

d)  ₊^{− −}₋   ₋^{+ +}₋ 

   

   

3n 2 2n 5 3n 2 2n 3

n 3 2n 1 n 3 2n 3

w y w y

: : :

x z x z

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Aufgabe 43: Vereinfache die folgenden Brüche:

1. a)

( )

( )

3 2 4 2

2 3 3

x y z x y z

b)

( )

( )

−

− n n 1 2

2 2 n 1

x y x y

2. a)

( )

( )

+

− 3 9 n 1

n 3n 1 3

125 x y 5 x y

b)

( )

( )

2 4 n

2 2n 1

16 a b 4 a b

c)

( )

( )

−

+ 3 6 n 1

2 3n 1

27 x y 3 x y

d)

( )

( )

4 7 3

2 5 4

8 u v 4 u v

3. a) ⁻ ⋅ ₊ ⁻ ⋅ ₋⁻

⋅ ⋅

3n 2 2n 3 n 1

n n 1 2n 6

6 10 12

32 9 30

b) ₋⁻ ⋅ ₋⁺ ⋅ ₊

⋅ ⋅

2n 3 n 2 n

2n 1 n 1 n 3

20 54 49

30 56 21

Aufgabe 44: Schreibe in Form eines einzigen Bruches:

1. a) 1 x−₇⁵ + 1₂

x x

b) 1 a−₆ ² +1 a+₄ − 1₃

a a a

c) + −

2

8 6

4 x 1

x x

d) 1 a+₁₀² −1 2a+ ₈ ⁴ + 2₄

a a a

2. a) 1 4a+ ³_{n 2+}−2a⁶ +aⁿ_{n 1}−₋4 a− ^{n 3−}_{n 4−}−2

a a a

b) b^{n 2+} −_2nb^{n 1−} +1 b− ²_{n 1+}−1 b 1− _{n 1}−₋

b b b

c) x³ +₅1 3 x− ^{m 1−}_{m 1+}−1 3 x− ^{m 4−} −2 x_{m 1+}^{m 1−} −5

5 x 9 x 15 x

d) − + −

+ −

4 4

2 2

9x 1 9x 1

1 3x 3x 1