Komplexe Analysis
Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur H¨oheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite vhm.mathematik.uni-stuttgart.def¨ur Erl¨auterungen zur Nutzung und zum Copyright.
Komplexe Analysis 1-1
Gebiet
Eine zusammenh¨ angende offene (nicht leere) Teilmenge D des R n oder C n wird als Gebiet bezeichnet.
Meist werden an den Rand eines Gebietes gewisse minimale
Regularit¨ atsanforderungen gestellt. Beispielsweise fordert man f¨ ur ein Lipschitz-Gebiet D, dass sich der Rand ∂D lokal als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion darstellen l¨ asst.
Komplexe Funktionen Gebiet 1-1
Beispiel:
einige h¨ aufig auftretende Gebiete:
Kreisscheibe Kreisring
D : | z | < r D : r 1 < | z | < r 2
Re z Im z
r Re z
Im z
r
1r
2Komplexe Funktionen Gebiet 2-1
Halbebene Streifen D : Im z > 0 D : b < Im z < a
Re z Im z
Re z Im z
a
b
Komplexe Funktionen Gebiet 2-2
Sektor geschlitzte Ebene D : α < arg(z ) < β , 0 < | z | < r D : − π < arg(z) < π , | z | > 0
Re z Im z
β α r
Re z Im z
Komplexe Funktionen Gebiet 2-3
Komplexe Funktion
Eine komplexe Funktion mit Definitionsgebiet D ⊆ C ordnet einer komplexen Zahl z ∈ D eine komplexe Zahl w = f (z) zu:
f : C ⊇ D → C .
Sie kann mit zwei bivariaten reellen Funktionen identifiziert werden:
f (z ) = u(x , y) + iv(x, y), z = x + iy , d.h. u = Re f und v = Im f .
Komplexe Funktionen Komplexe Funktion 3-1
Beispiel:
f (z ) = z 2 z = x + iy
f (x + iy) = (x + iy ) 2 = x 2 + 2xy i − y 2 Real- und Imagin¨ arteil als reelle Funktionen
u(x, y) = x 2 − y 2 , v(x, y) = 2xy Darstellung in Polarkoordinaten
z = r e iϕ = ⇒ f (z ) = r 2 e 2iϕ
Komplexe Funktionen Komplexe Funktion 4-1
Beispiel:
Darstellung der Wurzelfunktion f (z) = √ z :
z = r exp(iϕ) = x + iy , w = f (z ) = s exp(iψ) = u + iv z = w 2 ⇐⇒ s = √
r und ψ ∈ { ϕ/2, π + ϕ/2 } z 6 = 0
zwei m¨ ogliche Werte f¨ ur w mit unterschiedlichem Vorzeichen, d.h. √ . . . ist eine mehrdeutige Funktion mit zwei verschiedenen Zweigen
Real- und Imagin¨ arteil von w f¨ ur y 6 = 0:
v
u = tan ψ = tan(ϕ/2) = sin ϕ
1 + cos ϕ = y/r
1 + x/r = y
r + x = y
p x 2 + y 2 + x
= ⇒
(u, v) k (x + r, y ) , r = p
x 2 + y 2
Komplexe Funktionen Komplexe Funktion 5-1
√ u 2 + v 2 = √
r = ⇒
(u, v ) = ±
√ r
| (x + r, y) | (x + r , y) Mit
| (x + r, y ) | = p
2r 2 + 2rx = √ 2 √
r √ r + x y/ √
r + x = y √
r − x/ p
r 2 − x 2 = y √
r − x/ | y | folgt
(u, v) = ± 1
√ 2
√ r + x , sign(y) √ r − x
Definiert man sign(0) = 1, so bleibt diese Darstellung auch f¨ ur y = 0 g¨ ultig.
Hauptzweig positives Vorzeichen:
arg( √ z ) ∈
− π 2 , π
2 i
Komplexe Funktionen Komplexe Funktion 5-2
Bei der Definition der Wurzelfunktion ist zu beachten, dass bei einer konsistenten Wahl des Vorzeichens (z.B. f¨ ur den Hauptzweig) der
Grenzwert bei Ann¨ aherung an die negative reelle Achse von oben sich von dem Grenzwert bei Ann¨ aherung von unten unterscheidet. Das
Definitionsgebiet D sollte also keine geschlossene Kurve um den Ursprung enthalten.
Beispielsweise kann der Sektor
D : − π < arg z < π , | z | > 0 , gew¨ ahlt werden.
Komplexe Funktionen Komplexe Funktion 5-3
M¨ obius-Transformation
Eine linear rationale Funktion
f : z 7→ w = az + b
cz + d , ad − bc 6 = 0 ,
wird als M¨ obius-Transformation bezeichnet. Dabei d¨ urfen z und w Werte in ¯ C = C ∪ {∞} annehmen.
Die Umkehrabbildung ist
w 7→ z = − dw + b cw − a .
Komplexe Funktionen M¨obius-Transformation 6-1
Eine M¨ obius-Transformation bildet Kreise auf Kreise ab, wobei eine Gerade als entarteter Kreis anzusehen ist. Sie ist durch die Bilder w k von drei Punkten z k eindeutig bestimmt und kann mit Hilfe des
Doppelverh¨ altnisses in der Form w − w 2 w − w 3
: w 1 − w 2 w 1 − w 3
= z − z 2 z − z 3
: z 1 − z 2 z 1 − z 3
angegeben werden. Diese Identit¨ at kann nach z oder w aufgel¨ ost werden, wobei die Konvention ∞ ∞ = 1 zu verwenden ist.
Komplexe Funktionen M¨obius-Transformation 6-2
Beweis:
(i) Umkehrabbildung:
Aufl¨ osen nach z gebrochen rationaler Ausdruck gleichen Typs (ii) Invarianz von Kreisen:
allgemeine Darstellung eines Kreises s =
z − p z − q
Einsetzen von z = ( − dw + b)/(cw − a) Darstellung der Bildmenge s =
( − dw + b) − p(cw − a) ( − dw + b) − q(cw − a)
=
− d − pc
− d − qc
w − p ˜ w − q ˜ Kreis in der w -Ebene
(iii) Doppelverh¨ altnis:
Identit¨ at richtig f¨ ur (w , z) = (w k , z k ), k = 1, 2, 3
Aufl¨ osen nach z oder w linear rationale Funktion
Komplexe Funktionen M¨obius-Transformation 7-1
Beispiel:
Berechnung der durch
1 7→ 0, 0 7→ 1, i 7→ ∞ bestimmten M¨ obius-Transformation
(i) Doppelverh¨ altnis:
w − 1
w − ∞ : 0 − 1
0 − ∞ = z − 0
z − i : 1 − 0 1 − i Vereinfachung und Aufl¨ osen nach w
(w − 1) ∞ w − ∞
| {z }
=
−∞∞= − 1
= z
z − i (1 − i)
und
w = 1 − (1 − i)z
z − i = iz − i z − i
Komplexe Funktionen M¨obius-Transformation 8-1
(ii) Einsetzen der Funktionswerte in die Abbildungsgleichung:
w = f (z) = az + b cz + d f (1) = a + b
c + d = 0 = ⇒ a = − b f (0) = b
d = 1 = ⇒ d = b
f (i) = ai + b
c i + d = ai − a
c i − a = ∞ = ⇒ c = − ia Wahl von a = i
c = 1, b = − i, d = − i d.h. die obige Form f¨ ur f
Komplexe Funktionen M¨obius-Transformation 8-2
Exponentialfunktion
Aufgrund der Formel von Euler-Moivre,
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ , l¨ asst sich die komplexe Exponentialfunktion durch
e z = e x (cos y + i sin y) mit z = x + iy definieren.
Es gilt
exp(z + 2πi) = exp(z ) ,
d.h. exp(z ) ist bez¨ uglich des Imagin¨ arteils y von z periodisch.
Komplexe Funktionen Komplexe Exponentialfunktion 9-1
Weiter folgt, dass jeder durch Im z ∈ [s, s + 2π) definierte Streifen bijektiv auf die gelochte Gauß-Ebene C\{ 0 } abgebildet wird.
Horizontale Geraden z = t + iy, t ∈ R , werden auf Halbgeraden w = se iy , s ∈ R + , und vertikale Geraden z = x + it, t ∈ R, auf Kreise | w | = e x abgebildet.
Komplexe Funktionen Komplexe Exponentialfunktion 9-2
Komplexer Logarithmus
Die komplexe Logarithmusfunktion w = Ln(z ) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion z = exp(w ).
Mit Hilfe der Polardarstellung
z = r e iϕ , r = | z | , ϕ = arg(z ) , gilt somit
Ln(z) = ln(r) + i(ϕ + 2πk), f¨ ur ein k ∈ Z , wobei ln(r) der reelle Logarithmus von r ist.
Alternativ erh¨ alt man durch Einsetzen von r = p
x 2 + y 2 , ϕ = arctan(y /x) + σπ
eine Darstellung des Logarithmus als Funktion des Realteils x und Imagin¨ arteils y von z. Dabei ist, analog zu Polarkoordinaten, σ ∈ {− 1, 0, 1 } je nach dem Vorzeichen von x und y zu w¨ ahlen.
Komplexe Funktionen Komplexer Logarithmus 10-1
Aufgrund der Periodizit¨ at der Exponentialfunktion ist ϕ nur bis auf Vielfache von 2π bestimmt. Man sagt, Ln besitzt unendlich viele Zweige.
Ein Standardbereich (Hauptzweig) ist
ϕ = arg(z ) ∈ ( − π, π], k = 0 .
Obwohl Ln so auf der gelochten Ebene C\{ 0 } eindeutig definiert ist, erh¨ alt man keine global stetige Funktion. Beim ¨ Uberschreiten der negativen reellen Achse ¨ andert sich arg(z ) abrupt um 2π. Eine singularit¨ atenfreie Definition der Logarithmusfunktion ist nur auf Gebieten m¨ oglich, die weder 0 noch eine geschlossene Kurve um 0 enthalten.
Komplexe Funktionen Komplexer Logarithmus 10-2
Die Abbildung zeigt den Imagin¨ arteil der Logarithmusfunktion f¨ ur die Einheitskreisscheibe. Jede Windung entspricht einem Zweig der Funktion.
Komplexe Funktionen Komplexer Logarithmus 10-3
Beispiel:
Komplexer Logarithmus
einer positiven reellen Zahl x:
Ln(x) = ln(x) + 2πik, k ∈ Z einer negativen reellen Zahl x:
Ln(x) = ln( − x) + πi (2k + 1), k ∈ Z (x = | x | e iπ , | x | = − x)
von z = √
2 (1 + i):
Ln(z) = Ln 2e iπ/4
= ln(2) + πi (8k + 1)/4, k ∈ Z
Komplexe Funktionen Komplexer Logarithmus 11-1
Potenzen einer komplexen Zahl
Um Potenzen komplexer Zahlen zu bilden, verwendet man am geeignetsten die Polarform z = re iϕ . F¨ ur m ∈ Z ist
z m = r m e imϕ .
Die gleiche Formel bleibt auch f¨ ur rationale Exponenten m = p/q ∈ Q richtig, allerdings ist das Ergebnis aufgrund der Mehrdeutigkeit der q-ten Einheitswurzel nicht eindeutig. Da die Gleichung w q = 1 die q L¨ osungen
w = w q k , w q = exp (2πi/q) , k = 0, . . . , q − 1 besitzt, erh¨ alt man entsprechend
r p/q exp (ipϕ/q) w q kp , k = 0, . . . , q − 1 als m¨ ogliche Werte f¨ ur z p/q .
Komplexe Funktionen Potenzen 12-1
Beispiel:
z = ( − 1 + i) 2/3 Polarform: r = √
1 + 1, ϕ = arctan(1/( − 1)) + π = 3π/4 √
2 exp(3πi/4) 2/3
= √
32 exp(πi/2)w 3 2k , k = 0, 1, 2 w 3 = exp(2πi/3)
m¨ ogliche Werte:
z 0 = √
32 i z 1 = √
32 i exp(4πi/3) = √
32( √
3/2 − i/2) z 2 = √
32 i exp(8πi/3) = √
32
− √
3/2 − i/2)
Komplexe Funktionen Potenzen 13-1
Best¨ atigung durch Probe:
z 1 3 = √
32 i exp(4πi/3) 3
= 2i 3 exp(4πi)
| {z }
=1
= − 2 i = ( − 1 + i) 2
d.h. z 1 = ( − 1 + i) 2/3 Probe f¨ ur z 0 und z 2 analog
Komplexe Funktionen Potenzen 13-2
Beispiel:
unendlich viele L¨ osungen f¨ ur irrationale oder imagin¨ are Exponenten unendlich viele L¨ osungen auf dem Einheitskreis:
i π = exp((π/2 + 2πk)i) π
= exp i[π 2 /2 + 2π 2 k ]
, k ∈ Z
unendlich viele L¨ osungen auf einer Halbgeraden:
π i = exp(ln π + 2πki) i = exp(i ln π − 2πk )
= exp( − 2πk) exp(i ln π), k ∈ Z unendlich viele L¨ osungen auf der positiven reellen Achse:
i i = exp((π/2 + 2πk)i) i
= exp( − π/2 − 2πk ), k ∈ Z
Komplexe Funktionen Potenzen 14-1
Komplexe Differenzierbarkeit
Eine komplexe Funktion f ist im Punkt z komplex differenzierbar, wenn der als Ableitung bezeichnete Grenzwert
f 0 (z) = lim
| ∆z |→ 0
f (z + ∆z ) − f (z )
∆z existiert und unabh¨ angig von der Folge ∆z ist.
Ist f in jedem Punkt einer offenen Menge D ⊆ C komplex differenzierbar, so heißt f komplex differenzierbar oder analytisch in D.
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Komplexe Differenzierbarkeit 15-1
Beispiel:
(i) f (z) = z 2 : f 0 (z ) = lim
| ∆z |→ 0
(z + ∆z ) 2 − z 2
∆z = lim
| ∆z |→ 0
2z ∆z + (∆z ) 2
∆z = 2z
= ⇒ f komplex differenzierbar ∀ z ∈ C (ii) f (z) = 1/z:
f 0 (z ) = lim
| ∆z |→ 0
1/(z + ∆z) − 1/z
∆z = lim
| ∆z |→ 0 − 1
(z + ∆z )z = − 1 z 2
= ⇒ f komplex differenzierbar ∀ z ∈ C\{ 0 }
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Komplexe Differenzierbarkeit 16-1
Beispiel:
f (z) = Re z (i) ∆z = t ∈ R :
∆z lim → 0
Re(x + t + iy) − Re(x + iy )
t = lim
t → 0
x + t − x
t = 1
(ii) ∆z = it, t ∈ R:
∆z lim → 0
Re(x + i(t + y)) − Re(x + iy)
it = lim
it → 0
x − x it = 0
= ⇒ f an keinem Punkt z = x + iy komplex differenzierbar
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Komplexe Differenzierbarkeit 17-1
Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
Eine komplexe Funktion
f (z) = u(x, y) + iv (x, y ) , z = x + iy
ist genau dann komplex differenzierbar, wenn die bivariate reelle Funktion f (x, y) = (u , v) t total differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gen¨ ugen:
u x = v y , u y = − v x . In diesem Fall ist
f 0 = u x + iv x = v y − iu y . Es sind dann sowohl u als auch v harmonisch, d.h.
∆u = u xx + u yy = 0 = ∆v .
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 18-1
Beweis:
(i) Komplexe Differenzierbarkeit:
f (z + 4 z) = f (z) + f 0 (z) 4 z + o( |4 z | ), 4 z = 4 x + i 4 y Aufspaltung in Real- und Imagin¨ arteil mit f 0 (z ) = a + ib
u (x + 4 x , y + 4 y) v (x + 4 x, y + 4 y)
=
u(x, y) v(x, y)
+
h
a − b
b a
| {z }
J
4 x 4 y
i
+o
4 x 4 y
wobei f 0 (z)∆z = (a∆x − b∆y ) + (a∆y + b∆x)i und somit [. . . ] =
Re f 0 (z )∆z Im f 0 (z)∆z
⇔ reelle Differenzierbarkeit mit J der Jacobi-Matrix
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 19-1
Vergleich mit der reellen Jacobi Matrix a − b
b a
= J = ∂(u, v )
∂(x, y ) =
u x u y
v x v y
Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen:
u x = v y , u y = − v x (ii) Komplexe Ableitung:
f 0 (z ) = a + ib
= u x + iv x = v y − iu y
(iii) Harmonizit¨ at:
Vertauschbarkeit partieller Ableitungen
∆u = u xx + u yy = (v y ) x + ( − v x ) y = 0 analog: ∆v = 0
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 19-2
Beispiel:
f (z ) = e z = e x+iy = e x cos y
| {z }
u
+i e x sin y
| {z }
v
Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen erf¨ ullt:
u x (x, y) = e x cos y = v y (x, y) u y (x, y) = − e x sin y = − v x (x, y)
= ⇒ komplexe Differenzierbarkeit ∀ z und
f 0 (z) = e x cos y + i e x sin y = e z u und v harmonisch:
∆u = u xx + u yy = e x cos y + e x ( − cos y) = 0 analog: ∆v = 0
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 20-1
Konjugiert harmonische Funktionen
Jede auf einem einfach zusammenh¨ angenden Gebiet D ⊆ R 2 zweimal stetig differenzierbare harmonische Funktion u ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion f :
f (z) = u (x, y ) + iv (x, y ) , z = x + iy.
Die reelle Funktion v = Im f erf¨ ullt ebenfalls 4 v = 0. Sie wird als konjugiert harmonisch zu u bezeichnet und f als komplexes Potential.
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Harmonische Funktionen 21-1
Beweis:
betrachte das Vektorfeld
G = (G x , G y ) t = ( − u y , u x ) t
∆u = 0 = ⇒ Integrabilit¨ atsbedingung
∂ x G y − ∂ y G x = 0
= ⇒ Existenz eines Potentials v, d.h.
G = grad v
⇔ Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
− u y = v x , u x = v y
= ⇒ f = u + iv komplex differenzierbar und v ebenfalls harmonisch
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Harmonische Funktionen 22-1
Beispiel:
Konstruktion einer konjugiert harmonischen Funktion v zu u(x, y) = x 3 − 3xy 2
pr¨ ufe Harmonizit¨ at:
∆u = u xx + u yy = (6x − 0) − 6x = 0 X integriere die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen
u x = v y , u y = − v x v x = − u y = − ( − 6xy ) = ⇒
v = 3x 2 y + c(y) v y = u x = 3x 2 − 3y 2 = ⇒
3x 2 + c 0 (y) = 3x 2 − 3y 2 , d.h. c(y) = − y 3 + C komplexes Potential
f (z ) = u + iv = (x 3 − 3xy 2 ) + i(3x 2 y − y 3 + C ) = (x + iy ) 3 + C = z 3 + C
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Harmonische Funktionen 23-1
Konforme Abbildung
Eine auf dem Definitionsgebiet D injektive komplex differenzierbare Funktion z 7→ w = f (z) bezeichnet man als konforme Abbildung.
Konforme Abbildungen sind isotrop und winkeltreu. Bezeichnet t 7→ w (t) = f (z(t))
das Bild einer Kurve unter einer komplex differenzierbaren Abbildung f , dann gilt f¨ ur das Bild der Tangente in einem Punkt z 0 = z(t 0 )
w 0 (t 0 ) = f 0 (z 0 )z 0 (t 0 ) .
Unabh¨ angig von der Wahl der Kurve z wird die Tangente in z 0 um den Faktor | f 0 (z 0 ) | gestreckt und um den Winkel arg(f 0 (z 0 )) gedreht.
Insbesondere bleibt der Schnittwinkel zweier Kurven unter der Abbildung f erhalten. Konforme Abbildungen k¨ onnen damit zur Transformation
orthogonaler Gitter verwendet werden.
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Konforme Abbildung 24-1
Beispiel:
Gerade C 1 : z 1 (t) = − 2i + t(1 + i) Kreis C 2 : z 2 (t) = 2/(t + i) Abbildung
f (z ) = z 2 , f 0 (z ) = 2z
Im z
Re z 1
1 (1 − i)
π 4
f (z)
Im w
Re w 1
1
− 2i
π 4
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Konforme Abbildung 25-1
Schnittpunkt z 0 = 1 − i (Parameter t 0 = 1 f¨ ur beide Kurven) Tangentenvektoren im Schnittpunkt:
z 1 0 (1) = 1 + i = √ 2e iπ/4 z 2 0 (1) = − 2
(t + i) 2 t=1
= i = e iπ/2 Schnittwinkel: π/4
Schnittpunkt der Bildkurven f (C 1 ) und f (C 2 ): w 0 = z 0 2 = (1 − i) 2 = − 2i Tangentenvektoren
f 0 (1 − i)z 1 0 (1) = 2(1 − i)(1 + i) = 4 f 0 (1 − i)z 2 0 (1) = 2(1 − i)i = 2(i + 1) = 2 √
2e iπ/4 gleicher Schnittwinkel π/4 der Bildkurven
Streckungsfaktor: | f 0 (1 − i) | = | 2(1 − i) | = 2 √ 2
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Konforme Abbildung 25-2
Beispiel:
konforme Abbildung
f : z 7→ w = z 2 reelle Darstellung mit z = x + iy und w = u + iv
z 2 = (x 2 − y 2 ) + 2xy i ⇔ u = x 2 − y 2 , v = 2xy Winkeltreue = ⇒ f und f −1 erhalten die Orthogonalit¨ at von Koordinatengittern
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Konforme Abbildung 26-1
(i) Gitter x = const, y = const:
zwei Scharen orthogonaler Parabeln u + v
2x 2
− x 2 = 0, u − v
2y 2
+ y 2 = 0
(jeweils x bzw. y als Parameter; Herleitung der impliziten Darstellung durch Elimination von y bzw. x aus der Gleichung f¨ ur v)
− 4 − 2 0 2 4
− 4
−2 0 2 4
− 10 0 10
− 30
−15 0 15 30
xy -Ebene uv -Ebene
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Konforme Abbildung 26-2
(ii) Gitter u = const, v = const:
Umkehrabbildung z = √
w zwei Scharen orthogonaler Hyperbeln x 2 − y 2 = u, 2xy = v
(u, v Parameter)
− 2 − 1 0 1 2
− 2
− 1 0 1 2
− 4 − 2 0 2 4
− 4
− 2 0 2 4
xy -Ebene uv -Ebene
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Konforme Abbildung 26-3
Exponentialfunktion und Logarithmus als konforme Abbildungen
Durch w = e z wird der Streifen
z : 0 < Im z < γ mit γ ≤ 2π auf den Sektor
w : 0 < arg w < γ abgebildet.
Insbesondere erh¨ alt man f¨ ur γ = 2π als Bild die geschlitzte Ebene C\R + 0 . Durch Verkn¨ upfung mit einer Potenzfunktion, z 7→ w s , kann der
Offnungswinkel des Sektors ver¨ ¨ andert werden: γ → γ s.
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 27-1
γ
Re z Im z
Re w Im w
γ
z-Ebene w -Ebene
Entsprechend kann man mit Hilfe des komplexen Logarithmus Sektoren konform auf Streifen abbilden.
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 27-2
Beispiel:
konforme Abbildung eines Streifens auf eine Kreisscheibe:
0 < Im z < π/2 → | w | < 1 Zerlegung in elementare Teilabbildungen
Streifen → Sektor:
ξ = e z : 0 < arg ξ < π/2 Sektor → Halbebene:
η = ξ 2 : 0 < Im η (iii) Halbebene → Kreisscheibe:
w = aη + b c η + d
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 28-1
bestimme die Koeffizienten der M¨ obius-Transformation η 7→ w durch Wahl geeigneter Bildpunkte mit konsistenter Reihenfolge (Gebiet liegt
” links“) η = 0, 1, ∞ 7→ w = 1, i, − 1
0 7→ 1 = ⇒ d = b
∞ 7→ − 1 = ⇒ c = − a (o.B.d.A. a = 1) 1 7→ i = ⇒
1 + b
− 1 + b = i ⇔ b = − i zusammengesetzte Transformation
w = η − i
− η − i = ξ 2 − i
− ξ 2 − i = e 2z − i
− e 2z − i
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 28-2
Beispiel:
Konstruktion der Joukowski-Abbildung z 7→ w = 1
2
z + 1 z
, K : | z | < 1 → D = C\ [ − 1, 1]
M¨ obius-Transformation: K → Halbebene H : Re z > 0 ξ = 1 + z
1 − z , 1, i, − 1 7→ ∞ , i, 0 Quadrieren: H → geschlitzte Ebene E = C\R − 0
η = ξ 2 , | arg ξ | < π
2 → | arg η | < π M¨ obius-Transformation: E → D
w = η + 1
η − 1 , −∞ , − 1, 0 7→ 1, 0, − 1
korrekte Abbildung des Komplements: ( −∞ , 0) → ( − 1, 1)
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 29-1
Gesamtabbildung
w =
1 + z 1 − z
2
+ 1 1 + z
1 − z 2
− 1
= · · · = 1 2
z + 1
z
Bild des orthogonalen Gitters r = | z | = const, ϕ = arg(z ) = const
−1 0 1
−1 0 1
−8 −4 0 4 8
−8
−4 0 4 8
z -Ebene w -Ebene
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 29-2
Hauptsatz ¨ uber konforme Abbildungen
Jedes einfach zusammenh¨ angende, echte Teilgebiet der komplexen Ebene kann durch eine konforme Abbildung f auf die Einheitskreisscheibe abgebildet werden.
F¨ ur einen beliebigen Punkt z 0 ∈ D kann die Abbildung durch die Bedingungen
f (z 0 ) = 0, f 0 (z 0 ) > 0 eindeutig festgelegt werden.
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Hauptsatz ¨uber konforme Abbildungen 30-1
Beispiel:
konforme Abbildung der Halbkreisscheibe auf das Innere des Einheitskreises D : | z | < 1, Re z > 0 → K : | w | < 1
Konstruktion mit mehreren Teilabbildungen M¨ obius-Transformation:
ξ = z + i iz + 1
− i, 1, i 7→ 0, 1, ∞
= ⇒ Halbkreis → R +
imagin¨ are Achse invariant, − i, i 7→ 0, ∞
= ⇒ Segment zwischen − i und i → positive imagin¨ are Achse Vereinigung der Teilr¨ ander korrekte Abbildung von ∂D Quadrieren:
η = ξ 2 erster Quadrant → obere Halbebene H
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Hauptsatz ¨uber konforme Abbildungen 31-1
M¨ obius-Transformation:
w = i − η i + η 0, 1, ∞ → 1, i, − 1 = ⇒ H → K Gesamtabbildung
w = i −
z+i iz+1
2
i + z+i
iz+1
2 = · · · = − i(z 2 + 2z − 1) z 2 − 2z − 1
Komplexe Differentialrechnung und konforme
Abbildungen Hauptsatz ¨uber konforme Abbildungen 31-2
Integral einer komplexen Funktion
Das Integral einer komplexwertigen Funktion
f (t) = u(t) + iv(t), t ∈ [a, b] , ist durch
b
Z
a
f (t) dt =
b
Z
a
u(t ) dt + i
b
Z
a
v(t) dt definiert.
Es ist in der ¨ ublichen Weise linear und additiv.
Dar¨ uber hinaus gilt
Z
f ≤
Z
| f | .
Komplexe Integration Komplexe Integranden 32-1
Beispiel:
f (t) = e it (i) Integral ¨ uber das Intervall [0, ϕ]:
ϕ
Z
0
e it dt =
ϕ
Z
0
cos t dt + i
ϕ
Z
0
sin t dt
= [sin t] ϕ 0 + i [ − cos t] ϕ 0
= sin ϕ + i (1 − cos ϕ)
alternativ: direkte Verwendung einer komplexen Stammfunktion e it
i ϕ
0
= e iϕ − 1 i
Komplexe Integration Komplexe Integranden 33-1
(ii) Illustration der Betragsungleichung:
Integral des Betrages
ϕ
Z
0
| f (t ) | dt | f = | =1 ϕ Betrag des Integrals
ϕ
Z
0
f (t) dt
= | sin ϕ + i (1 − cos ϕ) | = q
sin 2 ϕ + 1 − 2 cos ϕ + cos 2 ϕ
= p
2 − 2 cos ϕ =
Add. Thm
q
2 − 2(cos 2 (ϕ/2) − sin 2 (ϕ/2))
= | 2 sin(ϕ/2) |
geometrische Definition der Sinusfunktion | sin(t) | ≤ | t | und
Z
f
= | 2 sin(ϕ/2) | ≤ ϕ = Z
| f |
Komplexe Integration Komplexe Integranden 33-2
Komplexes Kurvenintegral
F¨ ur einen stetig differenzierbaren Weg
C : t 7→ z (t), t ∈ [a, b] , in der komplexen Ebene bezeichnet man
Z
C
f dz =
b
Z
a
f (z(t ))z 0 (t ) dt als komplexes Kurvenintegral.
Die Definition ist bei gleichbleibender Orientierung unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Parametrisierung des Weges C .
Bei Umkehrung der Durchlaufrichtung ¨ andert sich das Vorzeichen des Integrals.
Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 34-1
Beweis:
Umparametrisierung t 7→ s mit ds/dt > 0:
z(t ), t ∈ [a, b] ↔ z(s), ˜ s ∈ [c , d ] Variablensubstitution im Kurvenintegral
Z
C
f (z ) dz =
b
Z
a
f (z(t ))z 0 (t) dt =
b
Z
a
f (˜ z(s(t))) d
dt z ˜ (s (t)) dt
=
b
Z
a
f (˜ z(s (t)))˜ z 0 (s(t))s 0 (t ) dt =
d
Z
c
f (˜ z (s))˜ z 0 (s ) ds
= Z
C
f (˜ z) d z ˜
keine Ver¨ anderung bei orientierungserhaltenden Umparametrisierungen Vorzeichen¨ anderung bei Vertauschung der Grenzen (Umkehrung des Durchlaufsinns)
Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 35-1
Beispiel:
integriere f (z ) = z ¨ uber die geradlinige Verbindung C : z (t) = (1 − t)p + tq, t ∈ [0, 1] , zweier Punkte p und q
Z
C
f dz =
1
Z
0
(p + t(q − p )) (q − p )
| {z }
z
0(t)
dt
=
1
Z
0
p(q − p) + t (q − p) 2 dt
= pq − p 2 + (q − p) 2 /2 = q 2 /2 − p 2 /2
Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 36-1
Beispiel:
Kurvenintegral ¨ uber den Kreis
C : z(t) = re it , t ∈ [0, 2π]
z 0 (t ) = ire it = iz , dz = iz dt f (z ) = 1/z :
Z
C
f dz = Z 2π 0
1
r e it ire it dt = i Z 2π
0
1 dt = 2πi f (z ) = z n , n 6 = − 1:
Z
C
f dz = Z 2π 0
r e it n
ire it dt = ir n+1 Z 2π
0
e i(n+1)t dt
= ir n+1 1
i(n + 1) e i(n+1)t 2π
0
= 0
Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 37-1
Eigenschaften des komplexen Kurvenintegrals
Das komplexe Kurvenintegral ist linear bez¨ uglich des Integranden, d.h.
Z
C
f + g dz = Z
C
f dz + Z
C
g dz .
Dar¨ uber hinaus ist R
. . . dz additiv bez¨ uglich des Integrationsweges. Setzt sich ein (orientierter) Weg C aus zwei Wegen C 1 und C 2 zusammen, C = C 1 + C 2 , so gilt
Z
C
f dz = Z
C
1f dz + Z
C
2f dz .
Insbesondere ist R
C
f dz = − R
− C
f dz, wobei − C den in entgegengesetzter Richtung durchlaufenen Weg C bezeichnet.
Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 38-1
Beispiel:
Kurvenintegral der Funktion f (z ) = √
z entlang des skizzierten Weges
1 1
Re z Im z
C
1C
2C
30
Additivit¨ at Z
C
√ z dz = Z
C
1. . . dz + Z
C
2. . . dz + Z
C
3. . . dz
Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 39-1
C 1 : t 7→ z (t) = t, 0 ≤ t ≤ 1, dz = dt
1
Z
0
√ t dt = 2
3 t 3/2 1
0
= 2 3 C 2 : t 7→ z (t) = e it , 0 ≤ t ≤ π 2 , dz = ie it dt
π/2
Z
0
e it/2 ie it dt =
π/2
Z
0
ie 3it/2 dt = 2
3 e 3it/2 π/2
0
= 2
3 e 3iπ/4 − 2 3 C 3 : t 7→ z (t) = i − ti, 0 ≤ t ≤ 1, dz = − i dt
1
Z
0
p i(1 − t) ( − i) dt =
1
Z
0
− ie iπ/4 √
1 − t dt =
1
Z
0
− e iπ/2 e iπ/4 √
1 − t dt
= 2
3 e 3iπ/4 (1 − t) 3/2 1
0
= − 2 3 e 3iπ/4
Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 39-2
gesamtes Kurvenintegral:
Z
C
√ z dz = 2 3 +
2
3 e 3iπ/4 − 2 3
− 2
3 e 3iπ/4 = 0
Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 39-3
Komplexe Stammfunktion
Ist f in einem Gebiet D komplex differenzierbar, so gilt f¨ ur einen in D verlaufenden Weg C von z 0 nach z 1
Z
C
f 0 dz = f (z 1 ) − f (z 0 ) .
Insbesondere ist also das komplexe Kurvenintegral f¨ ur Funktionen mit komplexer Stammfunktion wegunabh¨ angig und verschwindet f¨ ur einen geschlossenen Weg.
Komplexe Integration Komplexe Stammfunktion 40-1
Beweis:
Weg von z 0 nach z 1
C : t 7→ z (t), t 0 ≤ t ≤ t 1 Definition des komplexen Kurvenintegrals
Z
C
f 0 dz =
t
1Z
t
0f 0 (z(t))z 0 (t ) dt =
t
1Z
t
0d
dt (f (z (t))) dt = f (z 1 ) − f (z 0 ) letzte Gleichheit nach Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung (Aufspaltung von f in Real- und Imagin¨ arteil)
Komplexe Integration Komplexe Stammfunktion 41-1
Beispiel:
Kurvenintegral von f (z ) = e z ¨ uber C : z (t) = 1 + t(1 + i), t ∈ [0, 1]
Direkte Berechnung:
e it = cos t + i sin t, dz = (1 + i) dt
Z
C
e z dz =
1
Z
0
e 1+t (cos t + i sin t )(1 + i)dt
=
1
Z
0
e 1+t (cos t − sin t)dt + i
1
Z
0
e 1+t (cos t + sin t)dt
=
e 1+t cos t 1 0 + i
e 1+t sin t 1 0
= e 2 cos(1) − e
+ i e 2 sin(1) − 0
= e 2+i − e
Komplexe Integration Komplexe Stammfunktion 42-1
Differenz der Werte der Stammfunktion:
f = F 0 , F (z ) = e z C : geradliniger Weg von z = 1 nach z = 2 + i Existenz der Stammfunktion = ⇒
Z
C
e z dz = [e z ] z(1)=2+i z(0)=1 = e 2+i − e
(gleiches Resultat)
Komplexe Integration Komplexe Stammfunktion 42-2
Singularit¨ aten einer komplexen Funktion
Ist eine komplexe Funktion f in der Umgebung D \ a eines Punktes a analytisch, so l¨ asst sich der Typ der Definitionsl¨ ucke wie folgt klassifizieren.
Schwache Singularit¨ at:
z lim → a (z − a)f (z ) = 0 ,
aufgrund der Cauchyschen Integralformel immer hebbar Pol n-ter Ordnung:
| (z − a) n f (z) | = O(1), z → a, n ∈ N minimal
wesentliche Singularit¨ at:
(z − a) n f (z) 6 = O(1) ∀ n ∈ N
Komplexe Integration Singularit¨aten 43-1
Man beachte, dass die Klassifizierung nicht auf Funktionen wie Ln(z − a) oder √
z − a anwendbar ist, da in keinem Kreisring um a eine konsistente stetige Definition m¨ oglich ist.
Komplexe Integration Singularit¨aten 43-2
Beispiel:
verschiedene Singularit¨ aten bei z = 0 Schwache Singularit¨ at, z.B.
f (z ) = sin z z , denn | zf (z) | → | sin(0) | = 0 f¨ ur z → 0 Pol zweiter Ordnung, z.B.
f (z) = cos z z 2 ,
denn lim z → 0 z 2 f (z ) = cos 0 = 1 und z f (z ) = cos z / z → ∞ f¨ ur z → 0
Wesentliche Singularit¨ at, z.B.
f (z ) = exp(1/z ) , denn t n exp(1/t) → ∞ , t → 0, f¨ ur alle n ∈ N
Komplexe Integration Singularit¨aten 44-1
Homotopie von Kurven in der komplexen Ebene
Zwei Kurven C 0 und C 1 in einem Gebiet D heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung
[0, 1] 2 3 (s , t) 7→ z (s , t) ∈ D
gibt, f¨ ur die t 7→ z (k, t) , 0 ≤ t ≤ 1 , Parametrisierungen von C k , k = 0, 1, sind.
Analog bezeichnet man ˜ C : t 7→ z(0, t) als homotop zu einem Punkt P , wenn z(1, t) = p, t ∈ [0, 1], ist. Anschaulich bedeutet dies, dass sich ˜ C in D zu einem Punkt zusammenziehen l¨ asst.
Komplexe Integration Homotopie von Kurven in der komplexen Ebene 45-1
P
C ˜
C
0C
1In der Abbildung sind die fett gezeichneten Kurven C 0 und C 1 homotop.
Aufgrund des Loches im Gebiet besteht jedoch keine Homotopie zur gestrichelten Kurve ˜ C , die zu jedem Punkt P in D homotop ist.
Komplexe Integration Homotopie von Kurven in der komplexen Ebene 45-2
Beispiel:
homotope Kurven
nicht homotope Kurven
Komplexe Integration Homotopie von Kurven in der komplexen Ebene 46-1
Cauchys Theorem
F¨ ur ein beschr¨ anktes Gebiet D , das durch entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte (Gebiet liegt
” links“) st¨ uckweise stetig differenzierbare Kurven C k berandet wird, und eine in D analytische und in D stetige Funktion f gilt
Z
C
f (z) dz = 0 mit C = P
k C k .
Insbesondere ist das komplexe Kurvenintegral von f ¨ uber geschlossene Wege Null, die ein Teilgebiet von D beranden. Allgemeiner verschwindet R
C f (z ) dz f¨ ur jeden Weg, der in D zu einem Punkt homotop ist.
Komplexe Integration Cauchys Theorem 47-1
Beweis:
(i) Spezialfall eines Rechtecks R und einer in einer Umgebung von R analytischen Funktion f :
definiere
s (R) = Z
C
f dz
mit Randkurve C = ∂R mathematisch positiv orientiert
R
R
′R
′′R
′′′R
′′′′Aufteilung von R in vier kongruente Rechtecke R 0 , R 00 , R 000 und R 0000 s (R) = s (R 0 ) + s (R 00 ) + s (R 000 ) + s(R 0000 )
aufgrund der Aufhebung entgegengesetzter Wege
Komplexe Integration Cauchys Theorem 48-1
f¨ ur mindestens ein Teil-Rechteck R 1 von R = R 0 gilt
| s(R 1 ) | ≥ 1 4 | s (R) |
Iteration des Unterteilungsprozesses R = R 0 ⊃ R 1 ⊃ · · · mit
| s (R j ) | ≥ 1
4 | s(R j − 1 ) | ≥ · · · ≥ 4 − j | s (R 0 ) | R j → Punkt z ? , d.h.
∀ δ > 0 ∃ j (δ) : R j ⊂ { z : | z − z ? | < δ } f¨ ur j > j (δ) f komplex differenzierbar = ⇒
∀ ε > 0 ∃ δ(ε) : | f (z ) − f (z ? ) − f 0 (z ? )(z − z ? ) | < ε | z − z ? | , | z − z ? | < δ
Komplexe Integration Cauchys Theorem 48-2
Existenz von Stammfunktionen f¨ ur die Monome = ⇒ Z
C
jf (z ? ) dz = Z
C
jf 0 (z ? )(z − z ? ) dz = 0, C j = ∂R j
j > j (δ(ε)) = ⇒
| s(R j ) | = Z
C
jf (z ) − f (z ? ) − f 0 (z ? )(z − z ? ) dz
≤ ε Z
C
j| z − z ? | dz ≤ εd j L j
wobei d j die L¨ ange der Diagonale und L j die L¨ ange des Randes von R j bezeichnet
d j = 2 − j d 0 , L j = 2 − j L 0 = ⇒
| s (R 0 ) | ≤ 4 j | s (R j ) | ≤ ε (4 j d j L j ) = ε d 0 L 0
ε beliebig = ⇒ | s(R) | = 0
Komplexe Integration Cauchys Theorem 48-3
(ii) Beweisidee im allgemeinen Fall:
analoger Beweis f¨ ur ein Dreieck
Approximation von ∂D durch einen polygonalen, ganz in D enthaltenen Rand
Triangulierung eines polygonalen Gebietes;
Aufhebung der Integrale ¨ uber innere Kanten Reduktion auf den Fall eines Dreiecks
Komplexe Integration Cauchys Theorem 48-4
Beispiel:
illustriere Cauchys Theorem f¨ ur den Kreis
C : z (t) = a + r e it , 0 ≤ t ≤ 2π (i) f (z) = (z − a) n (n 6 = − 1):
Z
C
f dz = Z 2π 0
(z(t ) − a) n z 0 (t) dt = Z 2π
0
r n e int r ie it dt
=
r n+1 1
n + 1 e i(n+1)t 2π
0
= 0 im Einklang mit Cauchys Theorem
Das Verschwinden des Integrals folgt ebenfalls aus der Existenz einer Stammfunktion.
Komplexe Integration Cauchys Theorem 49-1
(ii) f (z) = e z
2:
keine explizite Stammfunktion
nicht analytisch berechenbares Kurvenintegral
2π
Z
0
e (a+re
it)
2rie it dt
Cauchys Theorem = ⇒ R
C f dz = 0
Komplexe Integration Cauchys Theorem 49-2
Beispiel:
reelle Darstellung des Kurvenintegrals R
C f dz Z
C
(u + iv )(dx + idy ) = Z
C
(udx − vdy) + i Z
C
(udy + vdx)
Satz von Green, R
∂D
ϕ dx + ψ dy = RR
D
ψ x − ϕ y dxdy = ⇒ Z
C
f dz = − Z
D
(u y + v x ) dxdy + i Z
D
(u x − v y ) dxdy , C = ∂D Null aufgrund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Voraussetzung: Stetigkeit der partiellen Ableitungen von u und v
Deshalb keine einfache Beweisalternative, da ¨ ublicherweise die Stetigkeit von f 0 mit dem zu beweisenden Satz von Cauchy hergeleitet wird!
Komplexe Integration Cauchys Theorem 50-1
Umlaufzahl
F¨ ur einen st¨ uckweise differenzierbaren, geschlossenen Weg C definiert man f¨ ur a ∈ / C
n(C , a) = 1 2πi
Z
C
dz z − a als die Umlaufzahl von C bez¨ uglich a.
C a
C aC a
n(C , a) = 0 n(C , a) = 1 n(C , a) = 2 Anschaulich gibt n(C , a) an, wie oft C den Punkt a umrundet.
Insbesondere ist n(C , a) = 1 f¨ ur den Rand C eines Gebietes, das a enth¨ alt.
Komplexe Integration Umlaufzahl 51-1
Beweis:
C : t 7→ z (t), t 0 ≤ t ≤ t 1 zu zeigen:
ϕ(t) =
t
Z
t
0z 0 (s )
z (s ) − a ds = k (2πi) f¨ ur t = t 1 bzw. dazu ¨ aquivalent, dass exp(ϕ(t 1 )) = 1 betrachte
p(t) = exp( − ϕ(t))(z(t) − a) Produkt- und Kettenregel
p 0 = p − z 0 z − a
| {z }
−ϕ
0(t)
+ p
z − a z 0 = 0
bis auf Sprungstellen von z 0
Komplexe Integration Umlaufzahl 52-1
= ⇒ p konstant, insbesondere p(t 0 ) = p(t 1 ), und exp(ϕ(t 1 )) = z (t 1 ) − a
p(t 1 ) = z (t 1 ) − a p(t 0 ) = 1 wegen ϕ(t 0 ) = 0, p(t 0 ) = z(t 0 ) − a und z (t 0 ) = z (t 1 )
Komplexe Integration Umlaufzahl 52-2
Cauchysche Integralformel
F¨ ur ein beschr¨ anktes Gebiet D , das durch entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte (Gebiet liegt
” links“) st¨ uckweise stetig differenzierbare Kurven C k berandet wird, und eine in D analytische und in D stetige Funktion f gilt
f (z) = 1 2πi
Z
C
f (w )
w − z dw, C = X
k
C k , f¨ ur alle z ∈ D.
Durch Differenzieren unter dem Integral erh¨ alt man eine Darstellung f¨ ur die Ableitungen:
f (n) (z ) = n!
2πi Z
C
f (w )
w − z dw , z ∈ D .
Aus der komplexen Differenzierbarkeit folgt somit die Existenz und Stetigkeit von Ableitungen beliebiger Ordnung.
Komplexe Integration Cauchysche Integralformel 53-1
Beweis:
schneide aus dem Gebiet D eine Kreisscheibe D r um z mit Radius r aus Mit C r dem entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand von D r
berandet C − C r das Teilgebiet D \ D r (korrekte Orientierung des Randes:
D \ D r liegt
” links“ von − C r ).
Cauchys Theorem = ⇒ 0 =
Z
C − C
rf (w )
w − z dz ⇔ Z
C
. . . = Z
C
r. . . denn der Integrand ist auf D \ D r analytisch
berechne das Integral ¨ uber C r
Stetigkeit von f = u + iu Z
C
r. . . = Z 2π
0
f (z + re it )
r e it ir e it dt = 2πi u(z + r e is ) + iv (z + re i˜ s ) f¨ ur s, ˜ s ∈ [0, 2π] nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung
R
C
r. . . → 2πif (z ) f¨ ur r → 0 = ⇒ behauptete Integralformel
Komplexe Integration Cauchysche Integralformel 54-1
Beispiel:
f (z) = e z , C : t 7→ e it , 0 ≤ t ≤ 2π Cauchysche Integralformel f¨ ur einen Kreis = ⇒
Z
C
e z
z dz = 2πi e 0 = 2πi Versuch der direkten Berechnung:
dz = i e it dt
2π
Z
0
e e
ite it ie it dt = i
2π
Z
0
e e
itdt kein Erfolg!
Komplexe Integration Cauchysche Integralformel 55-1
Beispiel:
f (w ) =
m
X
k=0
a k (w − z ) k , C : t 7→ z + re it , 0 ≤ t ≤ 2π Integraldarstellung f¨ ur Ableitungen = ⇒
2πi f (n) (z ) n! =
Z
C
f (w )
(w − z ) n+1 dw =
m
X
k=0
a k Z
C
(w − z ) k − n − 1 dw
k 6 = n: ∃ Stammfunktion f¨ ur die Monome (w − z ) k − n − 1 und R
C . . . = 0
= ⇒ [ · · · ] = 0 f¨ ur m < n und f¨ ur m ≥ n gilt [ · · · ] = a n
Z
C
dw
w − z = a n (2πi) n(C , z )
| {z }
Umlaufzahl
= 2πi a n
konsistent mit der direkten Berechnung der Ableitung
Komplexe Integration Cauchysche Integralformel 56-1
Mittelwerteigenschaft
F¨ ur eine auf einer Kreisscheibe um z mit Radius > r komplex differenzierbare Funktion ist
f (z) = 1 2π
2π
Z
0
f (z + r e it ) dt .
Diese Identit¨ at gilt auch separat f¨ ur Real- und Imagin¨ arteil von f , insbesondere also auch f¨ ur harmonische Funktionen.
Eigenschaften analytischer Funktionen Mittelwerteigenschaft 57-1
Beweis:
Cauchysche Integralformel f¨ ur den Kreis
C : t 7→ w = z + re it , dw = i re it dt
= ⇒
f (z ) = 1 2πi
Z
C
f (w ) w − z dw
= 1
2πi Z 2π
0
f (z + re it ) re it ire it dt
= 1
2π
2π
Z
0
f (z + re it ) dt
Eigenschaften analytischer Funktionen Mittelwerteigenschaft 58-1
Maximumprinzip
F¨ ur eine in einem Gebiet D analytische, nicht konstante Funktion f besitzt
| f | kein Maximum in D .
Ist f auf D = D ∪ C stetig, wobei C = ∂D der Rand von D ist, so gilt deshalb
max z ∈ D | f (z ) | ≤ max
z ∈ C | f (z ) | ,
d.h. das Maximum des Betrages wird auf dem Rand angenommen.
Eigenschaften analytischer Funktionen Maximumprinzip 59-1
Beweis:
(i) zeige: f ist konstant = f (z ) auf jedem Kreis C : t 7→ w = z + r e it in D um eine Maximalstelle z von | f |
Multiplikation mit e iϕ o.B.d.A. f (z) reell und positiv (Behauptung trivial, falls | f (z ) | = 0)
= ⇒ Re f (w ) ≤ | f (w ) | ≤ f (z )
Annahme: f (w ) 6 = f (z) f¨ ur ein w = z + re it ∈ C
= ⇒
Re f (w ) < f (z ) = Re f (z) Mittelwerteigenschaft Widerspruch
f (z) = 1 2π
2π
Z
0
Re f (z + re it ) dt < f (z ) ,
da die Ungleichung Re f (w ) < f (z) in einer Umgebung von w g¨ ultig bleibt
Eigenschaften analytischer Funktionen Maximumprinzip 60-1
(ii) verbinde einen beliebigen Punkt in w ∈ D durch eine Kurve Γ mit z und ¨ uberdecke Γ mit Kreisscheiben
= ⇒ f konstant entlang von Γ
= ⇒ f (w ) = f (z )
Eigenschaften analytischer Funktionen Maximumprinzip 60-2
Beispiel:
illustriere das Maximumprinzip f¨ ur cos(z ) = 1
2 (e iz + e − iz ) auf dem Rechteck
D : x = Re z ∈ ( − π, π), y = Im z ∈ ( − 1, 1) berechne den Betrag
| cos(z) | 2 = cos(z)cos(z) = 1
4 (e ix e − y + e − ix e y )(e − ix e − y + e ix e y )
= 1
4 (e − 2y + 2 cos(2x ) + e 2y )
Maximum an den Ecken des Randes: x ∈ {− π, π } , y ∈ {− 1, 1 }
Eigenschaften analytischer Funktionen Maximumprinzip 61-1
Absch¨ atzungen f¨ ur komplexe Ableitungen
Ist f auf einer Kreisscheibe mit Radius > r um z analytisch, so gilt
| f (n) (z) | ≤ n!
r n max
| w − z | =r | f (w ) | .
Eigenschaften analytischer Funktionen Absch¨atzungen f¨ur komplexe Ableitungen 62-1
Beweis:
Integralformel f¨ ur Ableitungen, f (n) (z) = n!
2πi Z
C
f (w )
(w − z ) n+1 dw , f¨ ur einen Kreis
C : w (t) = z + re it , 0 ≤ t ≤ 2π , um z mit Radius r = ⇒
f (n) (z )
=
n!
2πi
2π
Z
0
f (z + r e it )
r n+1 e (n+1)it i r e it dt
| {z }
dw
≤ n!
r n 1 2π
Z 2π 0
| f (z + re it ) | dt ≤ n!
r n max
| w − z | =r | f (w ) |
Eigenschaften analytischer Funktionen Absch¨atzungen f¨ur komplexe Ableitungen 63-1
Beispiel:
illustriere die Absch¨ atzung f¨ ur f (z ) = 1
z , f (n) (z ) = ( − 1) n n!z − (n+1) auf einer Kreisscheibe C : | w − z | < r mit r < | z | Absch¨ atzung mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel
| f (n) (z ) | ≤ n!
r n max
| w − z | =r | f (w ) | = n!
r n 1
| z | − r geringf¨ ugig schlechter als exakter Wert
| f (n) (z ) | = n!
| z | n+1 denn
0<r< max | z | r n ( | z | − r ) = | z | n+1
(n + 1)(1 + 1/n) n ≥ | z | n+1 (n + 1)e (Schranke um den Faktor (n + 1)e gr¨ oßer)
Eigenschaften analytischer Funktionen Absch¨atzungen f¨ur komplexe Ableitungen 64-1
Satz von Liouville
Eine analytische Funktion f , die auf ganz C beschr¨ ankt ist, d.h.
sup
z ∈C | f (z) | = c < ∞ , ist konstant.
Eigenschaften analytischer Funktionen Satz von Liouville 65-1
Beweis:
Absch¨ atzung f¨ ur die komplexe Ableitung = ⇒
| f 0 (z ) | ≤ 1 r max
| w − z | =r | f (w ) | ≤ 1 r c f¨ ur einen Kreis um z mit Radius r
Grenzwertbildung r → ∞ = ⇒
f 0 (z) = 0 ∀ z ∈ C d.h. f ist konstant
Eigenschaften analytischer Funktionen Satz von Liouville 66-1
Fundamentalsatz der Algebra
Jedes nicht konstante Polynom
p(z ) = z n + a n − 1 z n − 1 + · · · + a 1 z 1 + a 0
mit Koeffizienten a 0 , a 1 , . . . , a n − 1 ∈ C besitzt in C mindestens eine Nullstelle z 1 .
Mit Hilfe von Polynomdivision erh¨ alt man durch wiederholte Anwendung dieses Satzes die Faktorisierung
p (z) = (z − z 1 ) · · · (z − z n ) ,
d.h. die Existenz von genau n Nullstellen von p inklusive Vielfachheiten.
Eigenschaften analytischer Funktionen Fundamentalsatz der Algebra 67-1
Beweis:
Gegenannahme: p besitzt keine Nullstelle in C
= ⇒ z 7→ 1/p(z ) ist analytisch (kein Pol)
| z | ≥ c = max(1, 2( | a 0 | + · · · + | a n − 1 | )) = ⇒ 1
| p(z) | ≤ 1
| z | n − | a n − 1 || z | n − 1 − · · · − | a 0 |
| z ≤ |≥ 1
1
| z | n − ( | a n − 1 | + · · · + | a 0 | ) | z | n − 1
≤ 1
| z | n − ( | z | /2) | z | n − 1 = 1
| z | n /2 ≤ 2 1/ | p(z) | ist aus Stetigkeitsgr¨ unden auch f¨ ur | z | ≤ c beschr¨ ankt.
Satz von Liouville = ⇒ 1/p konstant Widerspruch
= ⇒ ∃ mindestens eine Nullstelle in C von p
Eigenschaften analytischer Funktionen Fundamentalsatz der Algebra 68-1
Residuum
F¨ ur eine in einer punktierten Kreisscheibe D \{ a } analytische Funktion f definiert man das Residuum im Punkt a als
Res z=a f (z) = Res
a f = 1 2πi
Z
C
f (z ) dz ,
wobei C : t 7→ a + r e it , 0 ≤ t ≤ 2π, ein entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis in D ist.
a
D C
Residuenkalk¨ul Residuum 69-1
Hat f bei a eine Polstelle n-ter Ordnung, d.h.
f (z) = c − n
(z − a) n + · · · + c − 1
z − a + g (z ) mit einer in D analytischen Funktion g , so ist
Res a f = c − 1 .
Dies gilt allgemeiner f¨ ur eine in D absolut konvergente Laurent-Reihe f (z) =
∞
X
n= −∞
c n (z − a) n ,
d.h. Res a f = c − 1 auch im Falle einer wesentlichen Singularit¨ at.
Residuenkalk¨ul Residuum 69-2
Beweis:
(i) Unabh¨ angigkeit vom gew¨ ahlten Kreis C : zwei entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte Kreise
C k : t 7→ z + r e it , 0 ≤ t ≤ 2π , mit r 0 < r 1 beranden einen Kreisring R: ∂R = C 1 − C 0 Cauchys Theorem = ⇒
0 = Z
C
1− C
0f (z ) dz = Z
C
0f (z ) dz − Z
C
1f (z) dz d.h. die Unabh¨ angigkeit vom gew¨ ahlten Radius r
Residuenkalk¨ul Residuum 70-1
(ii) Konsistenz der Definition f¨ ur die Spezialf¨ alle:
(z − a) n , n 6 = − 1, besitzt die Stammfunktion (z − a) n+1 /(n + 1) = ⇒ Z
C
(z − a) n dz = 0
Cauchys Theorem f¨ ur eine analytische Funktion g = ⇒ Z
C
g (z ) dz = 0
= ⇒
Res a f = 1 2πi
Z
C
c − 1
z − a dz = c − 1 n(C , a)
| {z }
Umlaufzahl
= c − 1 sowohl f¨ ur Polstellen als auch f¨ ur wesentliche Singularit¨ aten mit konvergenten Laurent-Entwicklungen
Residuenkalk¨ul Residuum 70-2
Beispiel:
typische F¨ alle
Rationale Funktion:
f (z ) = 1
z 3 − z 2 = 1 z − 1 − 1
z 2 − 1 z Residuen an den Polstellen: Res
0 f = − 1 und Res
0 f = 1 Funktion mit einer wesentlicher Singularit¨ at:
f (z) = e 1/z Laurent-Entwicklung
f (z) =
∞
X
n=0
1 n! z − n Residuum: Res
0 f = 1
Residuenkalk¨ul Residuum 71-1