Komplexe Analysis

Komplexe Analysis

Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur H¨ oheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite www.imng.uni-stuttgart.de/LstNumGeoMod/VHM/ f¨ ur Erl¨ auterungen zur Nutzung und zum Copyright.

Komplexe Analysis 1-1

Gebiet

Eine zusammenh¨ angende offene (nicht leere) Teilmenge D des R ⁿ oder C ⁿ wird als Gebiet bezeichnet.

Meist werden an den Rand eines Gebietes gewisse minimale

Regularit¨ atsanforderungen gestellt. Beispielsweise fordert man f¨ ur ein Lipschitz-Gebiet D, dass sich der Rand ∂D lokal als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion darstellen l¨ asst.

Komplexe Funktionen Gebiet 1-1

Beispiel:

einige h¨ aufig auftretende Gebiete:

Kreisscheibe Kreisring

D : | z | < r D : r ₁ < | z | < r ₂

Re z Im z

r Re z

Im z

r ₁ r ₂

Komplexe Funktionen Gebiet 2-1

Halbebene Streifen

D : Im z > 0 D : b < Im z < a

Re z Im z

Re z Im z

a

b

Komplexe Funktionen Gebiet 2-2

Sektor geschlitzte Ebene D : α < arg(z ) < β , 0 < | z | < r D : − π < arg(z) < π , | z | > 0

Re z Im z

β α r

Re z Im z

Komplexe Funktionen Gebiet 2-3

Komplexe Funktion

Eine komplexe Funktion mit Definitionsgebiet D ⊆ C ordnet einer komplexen Zahl z ∈ D eine komplexe Zahl w = f (z) zu:

f : C ⊇ D → C .

Sie kann mit zwei bivariaten reellen Funktionen identifiziert werden:

f (z ) = u(x , y ) + iv (x , y ), z = x + iy , d.h. u = Re f und v = Im f .

Komplexe Funktionen Komplexe Funktion 3-1

Beispiel:

f (z ) = z ² z = x + iy

f (x + iy ) = (x + iy ) ² = x ² + 2xy i − y ² Real- und Imagin¨ arteil als reelle Funktionen

u(x , y ) = x ² − y ² , v (x , y ) = 2xy Darstellung in Polarkoordinaten

z = re ^iϕ = ⇒ f (z) = r ² e ^2iϕ

Komplexe Funktionen Komplexe Funktion 4-1

Beispiel:

Darstellung der Wurzelfunktion f (z ) = √ z:

z = r exp(iϕ) = x + iy , w = f (z) = s exp(iψ) = u + iv z = w ² ⇐⇒ s = √

r und ψ ∈ { ϕ/2, π + ϕ/2 } z 6 = 0

zwei m¨ ogliche Werte f¨ ur w mit unterschiedlichem Vorzeichen, d.h. √ . . . ist eine mehrdeutige Funktion mit zwei verschiedenen Zweigen

Real- und Imagin¨ arteil von w f¨ ur y 6 = 0:

v

u = tan ψ = tan(ϕ/2) = sin ϕ

1 + cos ϕ = y /r

1 + x /r = y

r + x = y

p x ² + y ² + x

= ⇒

(u, v ) k (x + r , y ) , r = p

x ² + y ²

Komplexe Funktionen Komplexe Funktion 5-1

√ u ² + v ² = √

r = ⇒

(u , v ) = ±

√ r

| (x + r , y ) | (x + r , y ) Mit

| (x + r, y ) | = p

2r ² + 2rx = √ 2 √

r √ r + x y / √

r + x = y √

r − x / p

r ² − x ² = y √

r − x / | y | folgt

(u , v ) = ± 1

√ 2

√ r + x , sign(y ) √ r − x

Definiert man sign(0) = 1, so bleibt diese Darstellung auch f¨ ur y = 0 g¨ ultig.

Hauptzweig positives Vorzeichen:

arg( √ z) ∈

− π 2 , π

2 i

Komplexe Funktionen Komplexe Funktion 5-2

Bei der Definition der Wurzelfunktion ist zu beachten, dass bei einer konsistenten Wahl des Vorzeichens (z.B. f¨ ur den Hauptzweig) der

Grenzwert bei Ann¨ aherung an die negative reelle Achse von oben sich von dem Grenzwert bei Ann¨ aherung von unten unterscheidet. Das

Definitionsgebiet D sollte also keine geschlossene Kurve um den Ursprung enthalten.

Beispielsweise kann der Sektor

D : − π < arg z < π , | z | > 0 , gew¨ ahlt werden.

Komplexe Funktionen Komplexe Funktion 5-3

M¨ obius-Transformation

Eine linear rationale Funktion

f : z 7→ w = az + b

cz + d , ad − bc 6 = 0 ,

wird als M¨ obius-Transformation bezeichnet. Dabei d¨ urfen z und w Werte in ¯ C = C ∪ {∞} annehmen.

Die Umkehrabbildung ist

w 7→ z = − dw + b cw − a .

Komplexe Funktionen M¨ obius-Transformation 6-1

Eine M¨ obius-Transformation bildet Kreise auf Kreise ab, wobei eine Gerade als entarteter Kreis anzusehen ist. Sie ist durch die Bilder w _k von drei Punkten z _k eindeutig bestimmt und kann mit Hilfe des

Doppelverh¨ altnisses in der Form w − w ₂

w − w ₃ : w ₁ − w ₂

w ₁ − w ₃ = z − z ₂

z − z ₃ : z ₁ − z ₂ z ₁ − z ₃

angegeben werden. Diese Identit¨ at kann nach z oder w aufgel¨ ost werden, wobei die Konvention ^∞

∞ = 1 zu verwenden ist.

Komplexe Funktionen M¨ obius-Transformation 6-2

Beweis:

(i) Umkehrabbildung:

Aufl¨ osen nach z gebrochen rationaler Ausdruck gleichen Typs (ii) Invarianz von Kreisen:

allgemeine Darstellung eines Kreises s =

z − p z − q

Einsetzen von z = ( − dw + b)/(cw − a) Darstellung der Bildmenge s =

( − dw + b) − p(cw − a) ( − dw + b) − q(cw − a)

=

− d − pc

− d − qc

w − p ˜ w − q ˜ Kreis in der w -Ebene

(iii) Doppelverh¨ altnis:

Identit¨ at richtig f¨ ur (w , z ) = (w _k , z _k ), k = 1, 2, 3

Aufl¨ osen nach z oder w linear rationale Funktion

Komplexe Funktionen M¨ obius-Transformation 7-1

Beispiel:

Berechnung der durch

1 7→ 0, 0 7→ 1, i 7→ ∞ bestimmten M¨ obius-Transformation

(i) Doppelverh¨ altnis:

w − 1

w − ∞ : 0 − 1

0 − ∞ = z − 0

z − i : 1 − 0 1 − i Vereinfachung und Aufl¨ osen nach w

(w − 1) ∞ w − ∞

| {z }

= _−∞ ^∞ = − 1

= z

z − i (1 − i) und

w = 1 − (1 − i)z

z − i = iz − i z − i

Komplexe Funktionen M¨ obius-Transformation 8-1

(ii) Einsetzen der Funktionswerte in die Abbildungsgleichung:

w = f (z) = az + b cz + d f (1) = a + b

c + d = 0 = ⇒ a = − b f (0) = b

d = 1 = ⇒ d = b

f (i) = ai + b

c i + d = ai − a

c i − a = ∞ = ⇒ c = − ia Wahl von a = i

c = 1, b = − i, d = − i d.h. die obige Form f¨ ur f

Komplexe Funktionen M¨ obius-Transformation 8-2

Exponentialfunktion

Aufgrund der Formel von Euler-Moivre,

e ^iϕ = cos ϕ + i sin ϕ , l¨ asst sich die komplexe Exponentialfunktion durch

e ^z = e ^x (cos y + i sin y ) mit z = x + iy definieren.

Es gilt

exp(z + 2πi) = exp(z ) ,

d.h. exp(z ) ist bez¨ uglich des Imagin¨ arteils y von z periodisch.

Komplexe Funktionen Komplexe Exponentialfunktion 9-1

Weiter folgt, dass jeder durch Im z ∈ [s , s + 2π) definierte Streifen bijektiv auf die gelochte Gauß-Ebene C\{ 0 } abgebildet wird.

Horizontale Geraden z = t + iy , t ∈ R , werden auf Halbgeraden w = se ^iy , s ∈ R ⁺ , und vertikale Geraden z = x + it, t ∈ R , auf Kreise | w | = e ^x abgebildet.

Komplexe Funktionen Komplexe Exponentialfunktion 9-2

Komplexer Logarithmus

Die komplexe Logarithmusfunktion w = Ln(z) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion z = exp(w ).

Mit Hilfe der Polardarstellung

z = re ^iϕ , r = | z | , ϕ = arg(z ) , gilt somit

Ln(z) = ln(r) + i(ϕ + 2πk ), f¨ ur ein k ∈ Z , wobei ln(r ) der reelle Logarithmus von r ist.

Alternativ erh¨ alt man durch Einsetzen von r = p

x ² + y ² , ϕ = arctan(y /x ) + σπ

eine Darstellung des Logarithmus als Funktion des Realteils x und Imagin¨ arteils y von z . Dabei ist, analog zu Polarkoordinaten, σ ∈ {− 1, 0, 1 } je nach dem Vorzeichen von x und y zu w¨ ahlen.

Komplexe Funktionen Komplexer Logarithmus 10-1

Aufgrund der Periodizit¨ at der Exponentialfunktion ist ϕ nur bis auf Vielfache von 2π bestimmt. Man sagt, Ln besitzt unendlich viele Zweige.

Ein Standardbereich (Hauptzweig) ist

ϕ = arg(z ) ∈ ( − π, π], k = 0 .

Obwohl Ln so auf der gelochten Ebene C\{ 0 } eindeutig definiert ist, erh¨ alt man keine global stetige Funktion. Beim ¨ Uberschreiten der negativen reellen Achse ¨ andert sich arg(z ) abrupt um 2π. Eine singularit¨ atenfreie Definition der Logarithmusfunktion ist nur auf Gebieten m¨ oglich, die weder 0 noch eine geschlossene Kurve um 0 enthalten.

Komplexe Funktionen Komplexer Logarithmus 10-2

Die Abbildung zeigt den Imagin¨ arteil der Logarithmusfunktion f¨ ur die Einheitskreisscheibe. Jede Windung entspricht einem Zweig der Funktion.

Komplexe Funktionen Komplexer Logarithmus 10-3

Beispiel:

Komplexer Logarithmus

einer positiven reellen Zahl x :

Ln(x ) = ln(x ) + 2πik, k ∈ Z einer negativen reellen Zahl x :

Ln(x ) = ln( − x ) + πi (2k + 1), k ∈ Z (x = | x | e ^iπ , | x | = − x )

von z = √

2 (1 + i):

Ln(z) = Ln

2e ^iπ/4

= ln(2) + πi (8k + 1)/4, k ∈ Z

Komplexe Funktionen Komplexer Logarithmus 11-1

Potenzen einer komplexen Zahl

Um Potenzen komplexer Zahlen zu bilden, verwendet man am geeignetsten die Polarform z = re ^iϕ . F¨ ur m ∈ Z ist

z ^m = r ^m e ^imϕ .

Die gleiche Formel bleibt auch f¨ ur rationale Exponenten m = p/q ∈ Q richtig, allerdings ist das Ergebnis aufgrund der Mehrdeutigkeit der q-ten Einheitswurzel nicht eindeutig. Da die Gleichung w ^q = 1 die q L¨ osungen

w = w _q ^k , w _q = exp (2πi/q) , k = 0, . . . , q − 1 besitzt, erh¨ alt man entsprechend

r ^p/q exp (ipϕ/q) w _q ^kp , k = 0, . . . , q − 1 als m¨ ogliche Werte f¨ ur z ^p/q .

Komplexe Funktionen Potenzen 12-1

Beispiel:

z = ( − 1 + i) ^2/3 Polarform: r = √

1 + 1, ϕ = arctan(1/( − 1)) + π = 3π/4 √

2 exp(3πi/4) 2/3

= √ ³

2 exp(πi/2)w ₃ ^2k , k = 0, 1, 2 w ₃ = exp(2πi/3)

m¨ ogliche Werte:

z ₀ = √ ³ 2 i z ₁ = √ ³

2 i exp(4πi/3) = √ ³ 2( √

3/2 − i/2) z ₂ = √ ³

2 i exp(8πi/3) = √ ³ 2

− √

3/2 − i/2)

Komplexe Funktionen Potenzen 13-1

Best¨ atigung durch Probe:

z ₁ ³ = √ 3

2 i exp(4πi/3) 3

= 2i ³ exp(4πi)

| {z }

=1

= − 2 i = ( − 1 + i) ²

d.h. z ₁ = ( − 1 + i) ^2/3 Probe f¨ ur z ₀ und z ₂ analog

Komplexe Funktionen Potenzen 13-2

Beispiel:

unendlich viele L¨ osungen f¨ ur irrationale oder imagin¨ are Exponenten unendlich viele L¨ osungen auf dem Einheitskreis:

i ^π = exp((π/2 + 2πk)i) ^π

= exp i[π ² /2 + 2π ² k]

, k ∈ Z

unendlich viele L¨ osungen auf einer Halbgeraden:

π ⁱ = exp(ln π + 2πk i) ⁱ = exp(i ln π − 2πk )

= exp( − 2πk ) exp(i ln π), k ∈ Z unendlich viele L¨ osungen auf der positiven reellen Achse:

i ⁱ = exp((π/2 + 2πk)i) ⁱ

= exp( − π/2 − 2πk ), k ∈ Z

Komplexe Funktionen Potenzen 14-1

Komplexe Differenzierbarkeit

Eine komplexe Funktion f ist im Punkt z komplex differenzierbar, wenn der als Ableitung bezeichnete Grenzwert

f ⁰ (z) = lim

| ∆z |→ 0

f (z + ∆z) − f (z )

∆z existiert und unabh¨ angig von der Folge ∆z ist.

Ist f in jedem Punkt einer offenen Menge D ⊆ C komplex differenzierbar, so heißt f komplex differenzierbar oder analytisch in D.

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Komplexe Differenzierbarkeit 15-1

Beispiel:

(i) f (z ) = z ² : f ⁰ (z ) = lim

| ∆z |→ 0

(z + ∆z ) ² − z ²

∆z = lim

| ∆z |→ 0

2z ∆z + (∆z ) ²

∆z = 2z

= ⇒ f komplex differenzierbar ∀ z ∈ C (ii) f (z ) = 1/z:

f ⁰ (z) = lim

| ∆z |→ 0

1/(z + ∆z) − 1/z

∆z = lim

| ∆z |→ 0 − 1

(z + ∆z )z = − 1 z ²

= ⇒ f komplex differenzierbar ∀ z ∈ C\{ 0 }

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Komplexe Differenzierbarkeit 16-1

Beispiel:

f (z) = Re z (i) ∆z = t ∈ R :

lim

∆z → 0

Re(x + t + iy ) − Re(x + iy )

t = lim

t → 0

x + t − x

t = 1

(ii) ∆z = it, t ∈ R : lim

∆z → 0

Re(x + i(t + y )) − Re(x + iy )

it = lim

it → 0

x − x it = 0

= ⇒ f an keinem Punkt z = x + iy komplex differenzierbar

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Komplexe Differenzierbarkeit 17-1

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Eine komplexe Funktion

f (z ) = u(x , y ) + iv (x, y ) , z = x + iy

ist genau dann komplex differenzierbar, wenn die bivariate reelle Funktion f (x , y ) = (u, v ) ^t total differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gen¨ ugen:

u _x = v _y , u _y = − v _x . In diesem Fall ist

f ⁰ = u _x + iv _x = v _y − iu _y . Es sind dann sowohl u als auch v harmonisch, d.h.

∆u = u _xx + u _yy = 0 = ∆v .

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 18-1

Beweis:

(i) Komplexe Differenzierbarkeit:

f (z + 4 z ) = f (z) + f ⁰ (z ) 4 z + o ( |4 z | ), 4 z = 4 x + i 4 y Aufspaltung in Real- und Imagin¨ arteil mit f ⁰ (z) = a + ib

u(x + 4 x , y + 4 y ) v (x + 4 x , y + 4 y )

=

u(x , y ) v (x , y )

+ h

a − b

b a

| {z }

J

4 x 4 y

i

+o

4 x 4 y

wobei f ⁰ (z)∆z = (a∆x − b∆y ) + (a∆y + b∆x)i und somit [. . . ] =

Re f ⁰ (z)∆z Im f ⁰ (z)∆z

⇔ reelle Differenzierbarkeit mit J der Jacobi-Matrix

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 19-1

Vergleich mit der reellen Jacobi Matrix a − b

b a

= J = ∂(u, v )

∂(x , y ) =

u _x u _y v _x v _y

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen:

u _x = v _y , u _y = − v _x (ii) Komplexe Ableitung:

f ⁰ (z) = a + ib

= u _x + iv _x = v _y − iu _y (iii) Harmonizit¨ at:

Vertauschbarkeit partieller Ableitungen

∆u = u _xx + u _yy = (v _y ) _x + ( − v _x ) _y = 0 analog: ∆v = 0

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 19-2

Beispiel:

f (z ) = e ^z = e ^x+iy = e ^x cos y

| {z }

u

+i e ^x sin y

| {z }

v

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen erf¨ ullt:

u _x (x , y ) = e ^x cos y = v _y (x , y ) u _y (x , y ) = − e ^x sin y = − v _x (x, y )

= ⇒ komplexe Differenzierbarkeit ∀ z und

f ⁰ (z) = e ^x cos y + i e ^x sin y = e ^z u und v harmonisch:

∆u = u _xx + u _yy = e ^x cos y + e ^x ( − cos y ) = 0 analog: ∆v = 0

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen 20-1

Konjugiert harmonische Funktionen

Jede auf einem einfach zusammenh¨ angenden Gebiet D ⊆ R ² zweimal stetig differenzierbare harmonische Funktion u ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion f :

f (z ) = u(x , y ) + iv (x , y ) , z = x + iy .

Die reelle Funktion v = Im f erf¨ ullt ebenfalls 4 v = 0. Sie wird als konjugiert harmonisch zu u bezeichnet und f als komplexes Potential.

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Harmonische Funktionen 21-1

Beweis:

betrachte das Vektorfeld

G = (G _x , G _y ) ^t = ( − u _y , u _x ) ^t

∆u = 0 = ⇒ Integrabilit¨ atsbedingung

∂ _x G _y − ∂ _y G _x = 0

= ⇒ Existenz eines Potentials v , d.h.

G = grad v

⇔ Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

− u _y = v _x , u _x = v _y

= ⇒ f = u + iv komplex differenzierbar und v ebenfalls harmonisch

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Harmonische Funktionen 22-1

Beispiel:

Konstruktion einer konjugiert harmonischen Funktion v zu u(x , y ) = x ³ − 3xy ²

pr¨ ufe Harmonizit¨ at:

∆u = u _xx + u _yy = (6x − 0) − 6x = 0 X integriere die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

u _x = v _y , u _y = − v _x v _x = − u _y = − ( − 6xy) = ⇒

v = 3x ² y + c(y ) v _y = u _x = 3x ² − 3y ² = ⇒

3x ² + c ⁰ (y ) = 3x ² − 3y ² , d.h. c (y ) = − y ³ + C komplexes Potential

f (z ) = u + iv = (x ³ − 3xy ² ) + i(3x ² y − y ³ + C ) = (x + iy ) ³ + C = z ³ + C

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Harmonische Funktionen 23-1

Konforme Abbildung

Eine auf dem Definitionsgebiet D injektive komplex differenzierbare Funktion z 7→ w = f (z) bezeichnet man als konforme Abbildung.

Konforme Abbildungen sind isotrop und winkeltreu. Bezeichnet t 7→ w(t) = f (z (t))

das Bild einer Kurve unter einer komplex differenzierbaren Abbildung f , dann gilt f¨ ur das Bild der Tangente in einem Punkt z ₀ = z(t ₀ )

w ⁰ (t ₀ ) = f ⁰ (z ₀ )z ⁰ (t ₀ ) .

Unabh¨ angig von der Wahl der Kurve z wird die Tangente in z ₀ um den Faktor | f ⁰ (z ₀ ) | gestreckt und um den Winkel arg(f ⁰ (z ₀ )) gedreht.

Insbesondere bleibt der Schnittwinkel zweier Kurven unter der Abbildung f erhalten. Konforme Abbildungen k¨ onnen damit zur Transformation

orthogonaler Gitter verwendet werden.

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Konforme Abbildung 24-1

Beispiel:

Gerade C ₁ : z ₁ (t) = − 2i + t(1 + i) Kreis C ₂ : z ₂ (t) = 2/(t + i) Abbildung

f (z) = z ² , f ⁰ (z) = 2z

Im z

Re z 1

1 (1 − i)

π 4

f (z)

Im w

Re w 1

1

− 2i

π 4

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Konforme Abbildung 25-1

Schnittpunkt z ₀ = 1 − i (Parameter t ₀ = 1 f¨ ur beide Kurven) Tangentenvektoren im Schnittpunkt:

z ₁ ⁰ (1) = 1 + i = √ 2e ^iπ/4 z ₂ ⁰ (1) = − 2

(t + i) ² t=1

= i = e ^iπ/2 Schnittwinkel: π/4

Schnittpunkt der Bildkurven f (C ₁ ) und f (C ₂ ): w ₀ = z ₀ ² = (1 − i) ² = − 2i Tangentenvektoren

f ⁰ (1 − i)z ₁ ⁰ (1) = 2(1 − i)(1 + i) = 4 f ⁰ (1 − i)z ₂ ⁰ (1) = 2(1 − i)i = 2(i + 1) = 2 √

2e ^iπ/4 gleicher Schnittwinkel π/4 der Bildkurven

Streckungsfaktor: | f ⁰ (1 − i) | = | 2(1 − i) | = 2 √ 2

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Konforme Abbildung 25-2

Beispiel:

konforme Abbildung

f : z 7→ w = z ² reelle Darstellung mit z = x + iy und w = u + iv

z ² = (x ² − y ² ) + 2xyi ⇔ u = x ² − y ² , v = 2xy Winkeltreue = ⇒ f und f ^{− 1} erhalten die Orthogonalit¨ at von Koordinatengittern

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Konforme Abbildung 26-1

(i) Gitter x = const, y = const:

zwei Scharen orthogonaler Parabeln u + v

2x 2

− x ² = 0, u − v

2y 2

+ y ² = 0

(jeweils x bzw. y als Parameter; Herleitung der impliziten Darstellung durch Elimination von y bzw. x aus der Gleichung f¨ ur v )

−4 −2 0 2 4

−4

− 2 0 2 4

− 10 0 10

− 30

−15 0 15 30

xy-Ebene uv -Ebene

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Konforme Abbildung 26-2

(ii) Gitter u = const, v = const:

Umkehrabbildung z = √

w zwei Scharen orthogonaler Hyperbeln x ² − y ² = u , 2xy = v

(u, v Parameter)

− 2 − 1 0 1 2

− 2

−1 0 1 2

− 4 − 2 0 2 4

− 4

−2 0 2 4

xy -Ebene uv-Ebene

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Konforme Abbildung 26-3

Exponentialfunktion und Logarithmus als konforme Abbildungen

Durch w = e ^z wird der Streifen

z : 0 < Im z < γ mit γ ≤ 2π auf den Sektor

w : 0 < arg w < γ abgebildet.

Insbesondere erh¨ alt man f¨ ur γ = 2π als Bild die geschlitzte Ebene C\R ⁺ 0 . Durch Verkn¨ upfung mit einer Potenzfunktion, z 7→ w ^s , kann der

Offnungswinkel des Sektors ver¨ ¨ andert werden: γ → γ s.

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 27-1

γ

Re z Im z

Re w Im w

γ

z-Ebene w -Ebene

Entsprechend kann man mit Hilfe des komplexen Logarithmus Sektoren konform auf Streifen abbilden.

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 27-2

Beispiel:

konforme Abbildung eines Streifens auf eine Kreisscheibe:

0 < Im z < π/2 → | w | < 1 Zerlegung in elementare Teilabbildungen

Streifen → Sektor:

ξ = e ^z : 0 < arg ξ < π/2 Sektor → Halbebene:

η = ξ ² : 0 < Im η (iii) Halbebene → Kreisscheibe:

w = aη + b c η + d

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 28-1

bestimme die Koeffizienten der M¨ obius-Transformation η 7→ w durch Wahl geeigneter Bildpunkte mit konsistenter Reihenfolge (Gebiet liegt

” links“) η = 0, 1, ∞ 7→ w = 1, i, − 1

0 7→ 1 = ⇒ d = b

∞ 7→ − 1 = ⇒ c = − a (o.B.d.A. a = 1) 1 7→ i = ⇒

1 + b

− 1 + b = i ⇔ b = − i zusammengesetzte Transformation

w = η − i

− η − i = ξ ² − i

− ξ ² − i = e ^2z − i

− e ^2z − i

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 28-2

Beispiel:

Konstruktion der Joukowski-Abbildung z 7→ w = 1

2

z + 1 z

, K : | z | < 1 → D = C\ [ − 1, 1]

M¨ obius-Transformation: K → Halbebene H : Re z > 0 ξ = 1 + z

1 − z , 1, i, − 1 7→ ∞ , i, 0 Quadrieren: H → geschlitzte Ebene E = C\R ⁻ 0

η = ξ ² , | arg ξ | < π

2 → | arg η | < π M¨ obius-Transformation: E → D

w = η + 1

η − 1 , −∞ , − 1, 0 7→ 1, 0, − 1

korrekte Abbildung des Komplements: ( −∞ , 0) → ( − 1, 1)

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 29-1

Gesamtabbildung

w =

1 + z 1 − z

2

+ 1 1 + z

1 − z 2

− 1

= · · · = 1 2

z + 1

z

Bild des orthogonalen Gitters r = | z | = const, ϕ = arg(z) = const

− 1 0 1

− 1 0 1

−8 − 4 0 4 8

− 8

− 4 0 4 8

z-Ebene w -Ebene

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Elementare konforme Abbildungen 29-2

Hauptsatz ¨ uber konforme Abbildungen

Jedes einfach zusammenh¨ angende, echte Teilgebiet der komplexen Ebene kann durch eine konforme Abbildung f auf die Einheitskreisscheibe abgebildet werden.

F¨ ur einen beliebigen Punkt z ₀ ∈ D kann die Abbildung durch die Bedingungen

f (z ₀ ) = 0, f ⁰ (z ₀ ) > 0 eindeutig festgelegt werden.

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Hauptsatz ¨ uber konforme Abbildungen 30-1

Beispiel:

konforme Abbildung der Halbkreisscheibe auf das Innere des Einheitskreises D : | z | < 1, Re z > 0 → K : | w | < 1

Konstruktion mit mehreren Teilabbildungen M¨ obius-Transformation:

ξ = z + i iz + 1

− i, 1, i 7→ 0, 1, ∞

= ⇒ Halbkreis → R +

imagin¨ are Achse invariant, − i, i 7→ 0, ∞

= ⇒ Segment zwischen − i und i → positive imagin¨ are Achse Vereinigung der Teilr¨ ander korrekte Abbildung von ∂D Quadrieren:

η = ξ ² erster Quadrant → obere Halbebene H

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Hauptsatz ¨ uber konforme Abbildungen 31-1

M¨ obius-Transformation:

w = i − η i + η 0, 1, ∞ → 1, i, − 1 = ⇒ H → K Gesamtabbildung

w = i −

z+i iz+1

2

i + z+i

iz+1

2 = · · · = − i(z ² + 2z − 1) z ² − 2z − 1

Komplexe Differentialrechnung und konforme

Abbildungen Hauptsatz ¨ uber konforme Abbildungen 31-2

Integral einer komplexen Funktion

Das Integral einer komplexwertigen Funktion

f (t) = u(t) + iv (t), t ∈ [a, b] , ist durch

b

Z

a

f (t) dt =

b

Z

a

u(t) dt + i

b

Z

a

v (t) dt definiert.

Es ist in der ¨ ublichen Weise linear und additiv.

Dar¨ uber hinaus gilt

Z

f ≤

Z

| f | .

Komplexe Integration Komplexe Integranden 32-1

Beispiel:

f (t) = e ^it (i) Integral ¨ uber das Intervall [0, ϕ]:

ϕ

Z

0

e ^it dt =

ϕ

Z

0

cos t dt + i

ϕ

Z

0

sin t dt

= [sin t ] ^ϕ ₀ + i [ − cos t] ^ϕ ₀

= sin ϕ + i (1 − cos ϕ)

alternativ: direkte Verwendung einer komplexen Stammfunktion e ^it

i ϕ

0

= e ^iϕ − 1 i

Komplexe Integration Komplexe Integranden 33-1

(ii) Illustration der Betragsungleichung:

Integral des Betrages

ϕ

Z

0

| f (t) | dt ^{| f} = ^{| =1} ϕ Betrag des Integrals

ϕ

Z

0

f (t) dt

= | sin ϕ + i (1 − cos ϕ) | = q

sin ² ϕ + 1 − 2 cos ϕ + cos ² ϕ

= p

2 − 2 cos ϕ =

Add. Thm

q

2 − 2(cos ² (ϕ/2) − sin ² (ϕ/2))

= | 2 sin(ϕ/2) |

geometrische Definition der Sinusfunktion | sin(t) | ≤ | t | und

Z

f

= | 2 sin(ϕ/2) | ≤ ϕ = Z

| f |

Komplexe Integration Komplexe Integranden 33-2

Komplexes Kurvenintegral

F¨ ur einen stetig differenzierbaren Weg

C : t 7→ z (t), t ∈ [a, b] , in der komplexen Ebene bezeichnet man

Z

C

f dz =

b

Z

a

f (z(t))z ⁰ (t) dt als komplexes Kurvenintegral.

Die Definition ist bei gleichbleibender Orientierung unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Parametrisierung des Weges C .

Bei Umkehrung der Durchlaufrichtung ¨ andert sich das Vorzeichen des Integrals.

Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 34-1

Beweis:

Umparametrisierung t 7→ s mit ds/dt > 0:

z (t), t ∈ [a, b] ↔ z ˜ (s), s ∈ [c, d ] Variablensubstitution im Kurvenintegral

Z

C

f (z) dz =

b

Z

a

f (z(t))z ⁰ (t) dt =

b

Z

a

f (˜ z(s(t))) d

dt z ˜ (s (t)) dt

=

b

Z

a

f (˜ z(s(t)))˜ z ⁰ (s (t))s ⁰ (t) dt =

d

Z

c

f (˜ z (s ))˜ z ⁰ (s) ds

= Z

C

f (˜ z) d z ˜

keine Ver¨ anderung bei orientierungserhaltenden Umparametrisierungen Vorzeichen¨ anderung bei Vertauschung der Grenzen (Umkehrung des Durchlaufsinns)

Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 35-1

Beispiel:

integriere f (z) = z ¨ uber die geradlinige Verbindung C : z (t) = (1 − t)p + tq, t ∈ [0, 1] , zweier Punkte p und q

Z

C

f dz =

1

Z

0

(p + t(q − p)) (q − p)

| {z }

z ⁰ (t)

dt

=

1

Z

0

p(q − p) + t(q − p) ² dt

= pq − p ² + (q − p) ² /2 = q ² /2 − p ² /2

Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 36-1

Beispiel:

Kurvenintegral ¨ uber den Kreis

C : z(t) = re ^it , t ∈ [0, 2π]

z ⁰ (t) = ire ^it = iz , dz = iz dt f (z) = 1/z :

Z

C

f dz =

2π

Z

0

1

r e ^it ir e ^it dt = i

2π

Z

0

1 dt = 2πi f (z) = z ⁿ , n 6 = − 1:

Z

C

f dz =

2π

Z

0

r e ^it n

ir e ^it dt = ir ⁿ⁺¹

2π

Z

0

e ^i(n+1)t dt

= ir ⁿ⁺¹ 1

i(n + 1) e ^i(n+1)t 2π

0

= 0

Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 37-1

Eigenschaften des komplexen Kurvenintegrals

Das komplexe Kurvenintegral ist linear bez¨ uglich des Integranden, d.h.

Z

C

f + g dz = Z

C

f dz + Z

C

g dz .

Dar¨ uber hinaus ist R

. . . dz additiv bez¨ uglich des Integrationsweges. Setzt sich ein (orientierter) Weg C aus zwei Wegen C ₁ und C ₂ zusammen, C = C ₁ + C ₂ , so gilt

Z

C

f dz = Z

C 1

f dz + Z

C 2

f dz .

Insbesondere ist R

C

f dz = − R

− C

f dz, wobei − C den in entgegengesetzter Richtung durchlaufenen Weg C bezeichnet.

Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 38-1

Beispiel:

Kurvenintegral der Funktion f (z) = √

z entlang des skizzierten Weges

1 1

Re z Im z

C 1

C 2

C 3

0

Additivit¨ at Z

C

√ z dz = Z

C 1

. . . dz + Z

C 2

. . . dz + Z

C 3

. . . dz

Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 39-1

C ₁ : t 7→ z(t) = t , 0 ≤ t ≤ 1, dz = dt

1

Z

0

√ t dt = 2

3 t ^3/2 1

0

= 2 3 C ₂ : t 7→ z(t) = e ^it , 0 ≤ t ≤ ^π ₂ , dz = ie ^it dt

π/2

Z

0

e ^it/2 ie ^it dt =

π/2

Z

0

ie ^3it/2 dt = 2

3 e ^3it/2 π/2

0

= 2

3 e ^3iπ/4 − 2 3 C ₃ : t 7→ z(t) = i − ti, 0 ≤ t ≤ 1, dz = − i dt

1

Z

0

p i(1 − t ) ( − i) dt =

1

Z

0

− ie ^iπ/4 √

1 − t dt =

1

Z

0

− e ^iπ/2 e ^iπ/4 √

1 − t dt

= 2

3 e ^3iπ/4 (1 − t) ^3/2 1

0

= − 2 3 e ^3iπ/4

Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 39-2

gesamtes Kurvenintegral:

Z

C

√ z dz = 2 3 +

2

3 e ^3iπ/4 − 2 3

− 2

3 e ^3iπ/4 = 0

Komplexe Integration Komplexes Kurvenintegral 39-3

Komplexe Stammfunktion

Ist f in einem Gebiet D komplex differenzierbar, so gilt f¨ ur einen in D verlaufenden Weg C von z ₀ nach z ₁

Z

C

f ⁰ dz = f (z ₁ ) − f (z ₀ ) .

Insbesondere ist also das komplexe Kurvenintegral f¨ ur Funktionen mit komplexer Stammfunktion wegunabh¨ angig und verschwindet f¨ ur einen geschlossenen Weg.

Komplexe Integration Komplexe Stammfunktion 40-1

Beweis:

Weg von z ₀ nach z ₁

C : t 7→ z (t), t ₀ ≤ t ≤ t ₁ Definition des komplexen Kurvenintegrals

Z

C

f ⁰ dz =

t 1

Z

t 0

f ⁰ (z (t))z ⁰ (t) dt =

t 1

Z

t 0

d

dt (f (z (t))) dt = f (z ₁ ) − f (z ₀ ) letzte Gleichheit nach Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung (Aufspaltung von f in Real- und Imagin¨ arteil)

Komplexe Integration Komplexe Stammfunktion 41-1

Beispiel:

Kurvenintegral von f (z ) = e ^z uber ¨ C : z (t) = 1 + t(1 + i), t ∈ [0, 1]

Direkte Berechnung:

e ^it = cos t + i sin t, dz = (1 + i) dt

Z

C

e ^z dz =

1

Z

0

e ^1+t (cos t + i sin t)(1 + i)dt

=

1

Z

0

e ^1+t (cos t − sin t)dt + i

1

Z

0

e ^1+t (cos t + sin t )dt

=

e ^1+t cos t 1 0 + i

e ^1+t sin t 1 0

= e ² cos(1) − e

+ i e ² sin(1) − 0

= e ²⁺ⁱ − e

Komplexe Integration Komplexe Stammfunktion 42-1

Differenz der Werte der Stammfunktion:

f = F ⁰ , F (z ) = e ^z C : geradliniger Weg von z = 1 nach z = 2 + i Existenz der Stammfunktion = ⇒

Z

C

e ^z dz = [e ^z ] ^z _z ^(1)=2+i ₍₀₎₌₁ = e ²⁺ⁱ − e (gleiches Resultat)

Komplexe Integration Komplexe Stammfunktion 42-2

Singularit¨ aten einer komplexen Funktion

Ist eine komplexe Funktion f in der Umgebung D \ a eines Punktes a analytisch, so l¨ asst sich der Typ der Definitionsl¨ ucke wie folgt klassifizieren.

Schwache Singularit¨ at:

z lim → a (z − a)f (z) = 0 ,

aufgrund der Cauchyschen Integralformel immer hebbar Pol n-ter Ordnung:

| (z − a) ⁿ f (z) | = O(1), z → a, n ∈ N minimal

wesentliche Singularit¨ at:

(z − a) ⁿ f (z ) 6 = O (1) ∀ n ∈ N

Komplexe Integration Singularit¨ aten 43-1

Man beachte, dass die Klassifizierung nicht auf Funktionen wie Ln(z − a) oder √

z − a anwendbar ist, da in keinem Kreisring um a eine konsistente stetige Definition m¨ oglich ist.

Komplexe Integration Singularit¨ aten 43-2

Beispiel:

verschiedene Singularit¨ aten bei z = 0 Schwache Singularit¨ at, z.B.

f (z ) = sin z z , denn | zf (z ) | → | sin(0) | = 0 f¨ ur z → 0 Pol zweiter Ordnung, z.B.

f (z) = cos z z ² ,

denn lim _{z → 0} z ² f (z ) = cos 0 = 1 und z f (z) = cos z / z → ∞ f¨ ur z → 0

Wesentliche Singularit¨ at, z.B.

f (z) = exp(1/z) , denn t ⁿ exp(1/t) → ∞ , t → 0, f¨ ur alle n ∈ N

Komplexe Integration Singularit¨ aten 44-1

Homotopie von Kurven in der komplexen Ebene

Zwei Kurven C ₀ und C ₁ in einem Gebiet D heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung

[0, 1] ² 3 (s , t) 7→ z(s , t) ∈ D

gibt, f¨ ur die t 7→ z(k, t) , 0 ≤ t ≤ 1 , Parametrisierungen von C _k , k = 0, 1, sind.

Analog bezeichnet man ˜ C : t 7→ z(0, t) als homotop zu einem Punkt P, wenn z (1, t) = p, t ∈ [0, 1], ist. Anschaulich bedeutet dies, dass sich ˜ C in D zu einem Punkt zusammenziehen l¨ asst.

Komplexe Integration Homotopie von Kurven in der komplexen Ebene 45-1

P

C ˜

C 0

C 1

In der Abbildung sind die fett gezeichneten Kurven C ₀ und C ₁ homotop.

Aufgrund des Loches im Gebiet besteht jedoch keine Homotopie zur gestrichelten Kurve ˜ C , die zu jedem Punkt P in D homotop ist.

Komplexe Integration Homotopie von Kurven in der komplexen Ebene 45-2

Beispiel:

homotope Kurven

nicht homotope Kurven

Komplexe Integration Homotopie von Kurven in der komplexen Ebene 46-1

Cauchys Theorem

F¨ ur ein beschr¨ anktes Gebiet D, das durch entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte (Gebiet liegt

” links“) st¨ uckweise stetig differenzierbare Kurven C _k berandet wird, und eine in D analytische und in D stetige Funktion f gilt

Z

C

f (z) dz = 0 mit C = P

k C _k .

Insbesondere ist das komplexe Kurvenintegral von f ¨ uber geschlossene Wege Null, die ein Teilgebiet von D beranden. Allgemeiner verschwindet R

C f (z ) dz f¨ ur jeden Weg, der in D zu einem Punkt homotop ist.

Komplexe Integration Cauchys Theorem 47-1

Beweis:

(i) Spezialfall eines Rechtecks R und einer in einer Umgebung von R analytischen Funktion f :

definiere

s(R ) = Z

C

f dz

mit Randkurve C = ∂R mathematisch positiv orientiert

R

R ^′ R ^′′

R ^′′′ R ^′′′′

Aufteilung von R in vier kongruente Rechtecke R ⁰ , R ⁰⁰ , R ⁰⁰⁰ und R ⁰⁰⁰⁰ s(R ) = s (R ⁰ ) + s (R ⁰⁰ ) + s(R ⁰⁰⁰ ) + s (R ⁰⁰⁰⁰ )

aufgrund der Aufhebung entgegengesetzter Wege

Komplexe Integration Cauchys Theorem 48-1

f¨ ur mindestens ein Teil-Rechteck R ₁ von R = R ₀ gilt

| s (R ₁ ) | ≥ 1 4 | s (R ) |

Iteration des Unterteilungsprozesses R = R ₀ ⊃ R ₁ ⊃ · · · mit

| s (R _j ) | ≥ 1

4 | s (R _{j − 1} ) | ≥ · · · ≥ 4 ^{− j} | s (R ₀ ) | R _j → Punkt z _? , d.h.

∀ δ > 0 ∃ j (δ) : R _j ⊂ { z : | z − z _? | < δ } f¨ ur j > j (δ) f komplex differenzierbar = ⇒

∀ ε > 0 ∃ δ(ε) : | f (z ) − f (z _? ) − f ⁰ (z _? )(z − z _? ) | < ε | z − z _? | , | z − z _? | < δ

Komplexe Integration Cauchys Theorem 48-2

Existenz von Stammfunktionen f¨ ur die Monome = ⇒ Z

C j

f (z _? ) dz = Z

C j

f ⁰ (z _? )(z − z _? ) dz = 0, C _j = ∂R _j

j > j (δ(ε)) = ⇒

| s(R _j ) | = Z

C j

f (z ) − f (z _? ) − f ⁰ (z _? )(z − z _? ) dz

≤ ε Z

C j

| z − z _? | dz ≤ εd _j L _j

wobei d _j die L¨ ange der Diagonale und L _j die L¨ ange des Randes von R _j bezeichnet

d _j = 2 ^{− j} d ₀ , L _j = 2 ^{− j} L ₀ = ⇒

| s(R ₀ ) | ≤ 4 ^j | s (R _j ) | ≤ ε (4 ^j d _j L _j ) = ε d ₀ L ₀ ε beliebig = ⇒ | s(R ) | = 0

Komplexe Integration Cauchys Theorem 48-3

(ii) Beweisidee im allgemeinen Fall:

analoger Beweis f¨ ur ein Dreieck

Approximation von ∂D durch einen polygonalen, ganz in D enthaltenen Rand

Triangulierung eines polygonalen Gebietes;

Aufhebung der Integrale ¨ uber innere Kanten Reduktion auf den Fall eines Dreiecks

Komplexe Integration Cauchys Theorem 48-4

Beispiel:

illustriere Cauchys Theorem f¨ ur den Kreis

C : z (t) = a + re ^it , 0 ≤ t ≤ 2π (i) f (z ) = (z − a) ⁿ (n 6 = − 1):

Z

C

f dz = Z 2π

0

(z(t) − a) ⁿ z ⁰ (t) dt = Z 2π

0

r ⁿ e ^int rie ^it dt

=

r ⁿ⁺¹ 1

n + 1 e ^i(n+1)t 2π

0

= 0 im Einklang mit Cauchys Theorem

Das Verschwinden des Integrals folgt ebenfalls aus der Existenz einer Stammfunktion.

Komplexe Integration Cauchys Theorem 49-1

(ii) f (z) = e ^{z 2} :

keine explizite Stammfunktion

nicht analytisch berechenbares Kurvenintegral

2π

Z

0

e ^{(a+re it ) 2} rie ^it dt

Cauchys Theorem = ⇒ R

C f dz = 0

Komplexe Integration Cauchys Theorem 49-2

Beispiel:

reelle Darstellung des Kurvenintegrals R

C f dz Z

C

(u + iv )(dx + idy) = Z

C

(udx − vdy ) + i Z

C

(udy + vdx )

Satz von Green, R

∂D

ϕ dx + ψ dy = RR

D

ψ _x − ϕ _y dxdy = ⇒ Z

C

f dz = − Z

D

(u _y + v _x ) dxdy + i Z

D

(u _x − v _y ) dxdy , C = ∂D Null aufgrund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Voraussetzung: Stetigkeit der partiellen Ableitungen von u und v

Deshalb keine einfache Beweisalternative, da ¨ ublicherweise die Stetigkeit von f ⁰ mit dem zu beweisenden Satz von Cauchy hergeleitet wird!

Komplexe Integration Cauchys Theorem 50-1

Umlaufzahl

F¨ ur einen st¨ uckweise differenzierbaren, geschlossenen Weg C definiert man f¨ ur a ∈ / C

n(C , a) = 1 2πi

Z

C

dz z − a als die Umlaufzahl von C bez¨ uglich a.

C a ^{C a}

C a

n(C , a) = 0 n(C , a) = 1 n(C , a) = 2 Anschaulich gibt n(C , a) an, wie oft C den Punkt a umrundet.

Insbesondere ist n(C , a) = 1 f¨ ur den Rand C eines Gebietes, das a enth¨ alt.

Komplexe Integration Umlaufzahl 51-1

Beweis:

C : t 7→ z(t), t ₀ ≤ t ≤ t ₁ zu zeigen:

ϕ(t) =

t

Z

t 0

z ⁰ (s )

z (s ) − a ds = k (2πi) f¨ ur t = t ₁ bzw. dazu ¨ aquivalent, dass exp(ϕ(t ₁ )) = 1 betrachte

p(t) = exp( − ϕ(t))(z (t) − a) Produkt- und Kettenregel

p ⁰ = p − z ⁰ z − a

| {z }

−ϕ ⁰ (t)

+ p

z − a z ⁰ = 0

bis auf Sprungstellen von z ⁰

Komplexe Integration Umlaufzahl 52-1

= ⇒ p konstant, insbesondere p(t ₀ ) = p(t ₁ ), und exp(ϕ(t ₁ )) = z(t ₁ ) − a

p(t ₁ ) = z(t ₁ ) − a p(t ₀ ) = 1 wegen ϕ(t ₀ ) = 0, p(t ₀ ) = z(t ₀ ) − a und z (t ₀ ) = z(t ₁ )

Komplexe Integration Umlaufzahl 52-2

Cauchysche Integralformel

F¨ ur ein beschr¨ anktes Gebiet D, das durch entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte (Gebiet liegt

” links“) st¨ uckweise stetig differenzierbare Kurven C _k berandet wird, und eine in D analytische und in D stetige Funktion f gilt

f (z) = 1 2πi

Z

C

f (w )

w − z dw , C = X

k

C _k , f¨ ur alle z ∈ D.

Durch Differenzieren unter dem Integral erh¨ alt man eine Darstellung f¨ ur die Ableitungen:

f ⁽ⁿ⁾ (z) = n!

2πi Z

C

f (w )

w − z dw , z ∈ D .

Aus der komplexen Differenzierbarkeit folgt somit die Existenz und Stetigkeit von Ableitungen beliebiger Ordnung.

Komplexe Integration Cauchysche Integralformel 53-1

Beweis:

schneide aus dem Gebiet D eine Kreisscheibe D _r um z mit Radius r aus Mit C _r dem entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand von D _r berandet C − C _r das Teilgebiet D \ D _r (korrekte Orientierung des Randes:

D \ D _r liegt

” links“ von − C _r ).

Cauchys Theorem = ⇒ 0 =

Z

C − C r

f (w )

w − z dz ⇔ Z

C

. . . = Z

C r

. . . denn der Integrand ist auf D \ D _r analytisch

berechne das Integral ¨ uber C _r Stetigkeit von f = u + iu

Z

C r

. . . = Z 2π

0

f (z + re ^it )

r e ^it ire ^it dt = 2πi u(z + r e ^is ) + iv (z + re ^{i˜ s} ) f¨ ur s , ˜ s ∈ [0, 2π] nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung

R

C r . . . → 2πif (z) f¨ ur r → 0 = ⇒ behauptete Integralformel

Komplexe Integration Cauchysche Integralformel 54-1

Beispiel:

f (z) = e ^z , C : t 7→ e ^it , 0 ≤ t ≤ 2π Cauchysche Integralformel f¨ ur einen Kreis = ⇒

Z

C

e ^z

z dz = 2πi e ⁰ = 2πi Versuch der direkten Berechnung:

dz = i e ^it dt

Z 2π 0

e ^{e it}

e ^it ie ^it dt = i Z 2π 0

e ^{e it} dt kein Erfolg!

Komplexe Integration Cauchysche Integralformel 55-1

Beispiel:

f (w ) =

m

X

k=0

a _k (w − z) ^k , C : t 7→ z + re ^it , 0 ≤ t ≤ 2π Integraldarstellung f¨ ur Ableitungen = ⇒

2πi f ⁽ⁿ⁾ (z ) n! =

Z

C

f (w )

(w − z) ⁿ⁺¹ dw =





m

X

k=0

a _k Z

C

(w − z) ^{k − n − 1} dw



 k 6 = n: ∃ Stammfunktion f¨ ur die Monome (w − z) ^{k − n − 1} und R

C . . . = 0

= ⇒ [ · · · ] = 0 f¨ ur m < n und f¨ ur m ≥ n gilt [ · · · ] = a _n

Z

C

dw

w − z = a _n (2πi) n(C , z)

| {z }

Umlaufzahl

= 2πi a _n konsistent mit der direkten Berechnung der Ableitung

Komplexe Integration Cauchysche Integralformel 56-1

Mittelwerteigenschaft

F¨ ur eine auf einer Kreisscheibe um z mit Radius > r komplex differenzierbare Funktion ist

f (z) = 1 2π

2π

Z

0

f (z + r e ^it ) dt .

Diese Identit¨ at gilt auch separat f¨ ur Real- und Imagin¨ arteil von f , insbesondere also auch f¨ ur harmonische Funktionen.

Eigenschaften analytischer Funktionen Mittelwerteigenschaft 57-1

Beweis:

Cauchysche Integralformel f¨ ur den Kreis

C : t 7→ w = z + re ^it , dw = i re ^it dt

= ⇒

f (z) = 1 2πi

Z

C

f (w) w − z dw

= 1

2πi

2π

Z

0

f (z + r e ^it ) re ^it ire ^it dt

= 1

2π Z 2π 0

f (z + re ^it ) dt

Eigenschaften analytischer Funktionen Mittelwerteigenschaft 58-1

Maximumprinzip

F¨ ur eine in einem Gebiet D analytische, nicht konstante Funktion f besitzt

| f | kein Maximum in D.

Ist f auf D = D ∪ C stetig, wobei C = ∂D der Rand von D ist, so gilt deshalb

max

z ∈ D | f (z ) | ≤ max

z ∈ C | f (z) | ,

d.h. das Maximum des Betrages wird auf dem Rand angenommen.

Eigenschaften analytischer Funktionen Maximumprinzip 59-1

Beweis:

(i) zeige: f ist konstant = f (z) auf jedem Kreis C : t 7→ w = z + re ^it in D um eine Maximalstelle z von | f |

Multiplikation mit e ^iϕ o.B.d.A. f (z ) reell und positiv (Behauptung trivial, falls | f (z) | = 0)

= ⇒ Re f (w ) ≤ | f (w ) | ≤ f (z)

Annahme: f (w ) 6 = f (z) f¨ ur ein w = z + re ^it ∈ C

= ⇒

Re f (w ) < f (z ) = Re f (z) Mittelwerteigenschaft Widerspruch

f (z) = 1 2π

2π

Z

0

Re f (z + re ^it ) dt < f (z ) ,

da die Ungleichung Re f (w) < f (z) in einer Umgebung von w g¨ ultig bleibt

Eigenschaften analytischer Funktionen Maximumprinzip 60-1

(ii) verbinde einen beliebigen Punkt in w ∈ D durch eine Kurve Γ mit z und ¨ uberdecke Γ mit Kreisscheiben

= ⇒ f konstant entlang von Γ

= ⇒ f (w ) = f (z )

Eigenschaften analytischer Funktionen Maximumprinzip 60-2

Beispiel:

illustriere das Maximumprinzip f¨ ur cos(z) = 1

2 (e ^iz + e ^{− iz} ) auf dem Rechteck

D : x = Re z ∈ ( − π, π), y = Im z ∈ ( − 1, 1) berechne den Betrag

| cos(z) | ² = cos(z)cos(z ) = 1

4 (e ^ix e ^{− y} + e ^{− ix} e ^y )(e ^{− ix} e ^{− y} + e ^ix e ^y )

= 1

4 (e ^{− 2y} + 2 cos(2x ) + e ^2y )

Maximum an den Ecken des Randes: x ∈ {− π, π } , y ∈ {− 1, 1 }

Eigenschaften analytischer Funktionen Maximumprinzip 61-1

Absch¨ atzungen f¨ ur komplexe Ableitungen

Ist f auf einer Kreisscheibe mit Radius > r um z analytisch, so gilt

| f ⁽ⁿ⁾ (z) | ≤ n!

r ⁿ max

| w − z | =r | f (w ) | .

Eigenschaften analytischer Funktionen Absch¨ atzungen f¨ ur komplexe Ableitungen 62-1

Beweis:

Integralformel f¨ ur Ableitungen, f ⁽ⁿ⁾ (z) = n!

2πi Z

C

f (w )

(w − z) ⁿ⁺¹ dw , f¨ ur einen Kreis

C : w (t) = z + re ^it , 0 ≤ t ≤ 2π , um z mit Radius r = ⇒

f ⁽ⁿ⁾ (z)

=

n!

2πi

2π

Z

0

f (z + r e ^it )

r ⁿ⁺¹ e ^(n+1)it i re ^it dt

| {z }

dw

≤ n!

r ⁿ 1 2π

Z 2π 0

| f (z + re ^it ) | dt ≤ n!

r ⁿ max

| w − z | =r | f (w ) |

Eigenschaften analytischer Funktionen Absch¨ atzungen f¨ ur komplexe Ableitungen 63-1

Beispiel:

illustriere die Absch¨ atzung f¨ ur f (z) = 1

z , f ⁽ⁿ⁾ (z) = ( − 1) ⁿ n!z ^{− (n+1)} auf einer Kreisscheibe C : | w − z | < r mit r < | z | Absch¨ atzung mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel

| f ⁽ⁿ⁾ (z) | ≤ n!

r ⁿ max

| w − z | =r | f (w ) | = n!

r ⁿ 1

| z | − r geringf¨ ugig schlechter als exakter Wert

| f ⁽ⁿ⁾ (z ) | = n!

| z | ⁿ⁺¹ denn

max

0<r< | z | r ⁿ ( | z | − r) = | z | ⁿ⁺¹

(n + 1)(1 + 1/n) ⁿ ≥ | z | ⁿ⁺¹ (n + 1)e (Schranke um den Faktor (n + 1)e gr¨ oßer)

Eigenschaften analytischer Funktionen Absch¨ atzungen f¨ ur komplexe Ableitungen 64-1

Satz von Liouville

Eine analytische Funktion f , die auf ganz C beschr¨ ankt ist, d.h.

sup

z ∈C | f (z) | = c < ∞ , ist konstant.

Eigenschaften analytischer Funktionen Satz von Liouville 65-1

Beweis:

Absch¨ atzung f¨ ur die komplexe Ableitung = ⇒

| f ⁰ (z) | ≤ 1 r max

| w − z | =r | f (w) | ≤ 1 r c f¨ ur einen Kreis um z mit Radius r

Grenzwertbildung r → ∞ = ⇒

f ⁰ (z) = 0 ∀ z ∈ C d.h. f ist konstant

Eigenschaften analytischer Funktionen Satz von Liouville 66-1

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nicht konstante Polynom

p(z ) = z ⁿ + a _{n − 1} z ^{n − 1} + · · · + a ₁ z ¹ + a ₀

mit Koeffizienten a ₀ , a ₁ , . . . , a _{n − 1} ∈ C besitzt in C mindestens eine Nullstelle z ₁ .

Mit Hilfe von Polynomdivision erh¨ alt man durch wiederholte Anwendung dieses Satzes die Faktorisierung

p(z) = (z − z ₁ ) · · · (z − z _n ) ,

d.h. die Existenz von genau n Nullstellen von p inklusive Vielfachheiten.

Eigenschaften analytischer Funktionen Fundamentalsatz der Algebra 67-1

Beweis:

Gegenannahme: p besitzt keine Nullstelle in C

= ⇒ z 7→ 1/p(z ) ist analytisch (kein Pol)

| z | ≥ c = max(1, 2( | a ₀ | + · · · + | a _{n − 1} | )) = ⇒ 1

| p(z) | ≤ 1

| z | ⁿ − | a _{n − 1} || z | ^{n − 1} − · · · − | a ₀ |

| z ≤ |≥ 1

1

| z | ⁿ − ( | a _{n − 1} | + · · · + | a ₀ | ) | z | ^{n − 1}

≤ 1

| z | ⁿ − ( | z | /2) | z | ^{n − 1} = 1

| z | ⁿ /2 ≤ 2 1/ | p(z ) | ist aus Stetigkeitsgr¨ unden auch f¨ ur | z | ≤ c beschr¨ ankt.

Satz von Liouville = ⇒ 1/p konstant Widerspruch

= ⇒ ∃ mindestens eine Nullstelle in C von p

Eigenschaften analytischer Funktionen Fundamentalsatz der Algebra 68-1

Residuum

F¨ ur eine in einer punktierten Kreisscheibe D \{ a } analytische Funktion f definiert man das Residuum im Punkt a als

Res z=a f (z ) = Res

a f = 1 2πi

Z

C

f (z) dz ,

wobei C : t 7→ a + r e ^it , 0 ≤ t ≤ 2π, ein entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis in D ist.

a

D C

Residuenkalk¨ ul Residuum 69-1

Hat f bei a eine Polstelle n-ter Ordnung, d.h.

f (z) = c _{− n}

(z − a) ⁿ + · · · + c _{− 1}

z − a + g (z) mit einer in D analytischen Funktion g , so ist

Res a f = c _{− 1} .

Dies gilt allgemeiner f¨ ur eine in D absolut konvergente Laurent-Reihe f (z ) =

∞

X

n= −∞

c _n (z − a) ⁿ ,

d.h. Res _a f = c _{− 1} auch im Falle einer wesentlichen Singularit¨ at.

Residuenkalk¨ ul Residuum 69-2

Beweis:

(i) Unabh¨ angigkeit vom gew¨ ahlten Kreis C : zwei entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte Kreise

C _k : t 7→ z + r e ^it , 0 ≤ t ≤ 2π , mit r ₀ < r ₁ beranden einen Kreisring R : ∂R = C ₁ − C ₀ Cauchys Theorem = ⇒

0 = Z

C 1 − C 0

f (z ) dz = Z

C 0

f (z) dz − Z

C 1

f (z) dz d.h. die Unabh¨ angigkeit vom gew¨ ahlten Radius r

Residuenkalk¨ ul Residuum 70-1

(ii) Konsistenz der Definition f¨ ur die Spezialf¨ alle:

(z − a) ⁿ , n 6 = − 1, besitzt die Stammfunktion (z − a) ⁿ⁺¹ /(n + 1) = ⇒ Z

C

(z − a) ⁿ dz = 0

Cauchys Theorem f¨ ur eine analytische Funktion g = ⇒ Z

C

g(z) dz = 0

= ⇒

Res a f = 1 2πi

Z

C

c _{− 1}

z − a dz = c _{− 1} n(C , a)

| {z }

Umlaufzahl

= c _{− 1} sowohl f¨ ur Polstellen als auch f¨ ur wesentliche Singularit¨ aten mit konvergenten Laurent-Entwicklungen

Residuenkalk¨ ul Residuum 70-2

Beispiel:

typische F¨ alle

Rationale Funktion:

f (z ) = 1

z ³ − z ² = 1 z − 1 − 1

z ² − 1 z Residuen an den Polstellen: Res

0 f = − 1 und Res

0 f = 1 Funktion mit einer wesentlicher Singularit¨ at:

f (z) = e ^1/z Laurent-Entwicklung

f (z) = X ∞ n=0

1 n! z ^{− n} Residuum: Res

0 f = 1

Residuenkalk¨ ul Residuum 71-1

Funktion mit expliziter Stammfunktion:

f (z ) = sin(1/z )

z ² , F (z ) = cos(1/z ) Integral ¨ uber geschlossene Kurven null,

Z

C

f dz = 0 ,

= ⇒ Res

0 f = 0

Residuenkalk¨ ul Residuum 71-2

Berechnung von Residuen

F¨ ur eine einfache Polstelle a einer Funktion f gilt Res a f = lim

z → a (z − a)f (z ) und f¨ ur eine Polstelle n-ter Ordnung ist

Res a f = lim

z → a

1 (n − 1)!

"

d dz

n − 1

((z − a) ⁿ f (z ))

# .

Residuenkalk¨ ul Residuum 72-1

Beweis:

(i) Einfache Polstelle:

f (z ) = c _{− 1}

z − a + g(z)

| {z }

analytisch

, Res

a f = c _{− 1} Ubereinstimmung mit ¨

z lim → a (z − a)f (z ) = lim

z → a (c _{− 1} + (z − a)g (z )) = c _{− 1} (ii) Polstelle n-ter Ordnung:

f (z ) = c _{− n}

(z − a) ⁿ + · · · + c _{− 1}

z − a + g (z)

| {z }

analytisch

, Res

a f = c _{− 1} alternative Formel f¨ ur Res

a f

(d /dz ) ^{n − 1} ((z − a) ⁿ f (z )) = (d /dz ) ^{n − 1} · · · + c _{− 1} (z − a) ^{n − 1} + (z − a) ⁿ g (z )

→ (n − 1)! c _{− 1} f¨ ur z → a, d.h. Bilden des Grenzwertes liefert ebenfalls

Res a f = c Residuenkalk¨ _{− 1} ul Residuum 73-1

Beispiel:

f (z ) = 1 z sin z Polstellen:

zweiter Ordnung bei z = 0, erster Ordnung bei z = kπ, k ∈ Z\{ 0 } (i) Doppelte Polstelle:

Res 0 f = lim

z → 0

d dz

z sin z

= lim

z → 0

sin z − z cos z sin ² z

L’Hospital

= lim

z → 0

cos z − cos z + z sin z 2 cos z sin z = lim

z → 0

z 2 cos z = 0 (ii) Einfache Polstellen:

Res kπ f = lim

z → kπ

z − kπ z sin z

L’Hospital

= lim

z → kπ

1

sin z + z cos z = ( − 1) ^k kπ

Residuenkalk¨ ul Residuum 74-1