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d.h.exp( z )istbez¨uglichdesImagin¨arteils y von z periodisch. z +2 π i)=exp( z ) , z = x +i y definieren.Esgiltexp( =e (cos y +isin y )mit l¨asstsichdiekomplexeExponentialfunktiondurche =cos ϕ +isin ϕ, AufgrundderFormelvonEuler-Moivre,e Exponentialfunktio

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Academic year: 2021

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(1)

Exponentialfunktion

Aufgrund der Formel von Euler-Moivre,

e

iϕ

= cos ϕ + i sin ϕ , l¨ asst sich die komplexe Exponentialfunktion durch

e

z

= e

x

(cos y + i sin y) mit z = x + iy definieren.

Es gilt

exp(z + 2πi) = exp(z ) ,

d.h. exp(z ) ist bez¨ uglich des Imagin¨ arteils y von z periodisch.

Komplexe Exponentialfunktion 1-1

(2)

Weiter folgt, dass jeder durch Im z ∈ [s, s + 2π) definierte Streifen bijektiv auf die gelochte Gauß-Ebene C \{0} abgebildet wird.

Horizontale Geraden z = t + iy, t ∈ R , werden auf Halbgeraden w = se

iy

, s ∈ R

+

, und vertikale Geraden z = x + it, t ∈ R, auf Kreise |w | = e

x

abgebildet.

Komplexe Exponentialfunktion 1-2

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