Methoden der Laurent-Entwicklung
Einige Methoden der Laurent-Entwicklung sind:
direkte Berechnung der Koeffizienten
gliedweise Differentiation oder Integration bekannter Reihen Koeffizientenvergleich
Summe oder Produkte bekannter Reihen
Substitutionz → z−a1 in bekannten Taylor-Reihen
Hintereinanderschaltung von Funktionen durch Einsetzen einer Reihe als Argument
Methoden der Laurent-Entwicklung 1-1
Beispiel:
Laurent-Entwicklung der Arcustangens-Funktion durch gliedweise Integration der Reihendarstellung der Ableitung
d
dzarctanz = 1 1 +z2
|z|<1:
1 1 +z2 =
∞
X
n=0
−z2n
Taylor-Entwicklung arctanz =
∞
X
n=0
(−1)n
2n+ 1z2n+1 =z−z3 3 + z5
5 − · · · (arctan(0) = 0)
Methoden der Laurent-Entwicklung 2-1
|z|>1:
1
1 +z2 = 1 z2
1
1 + 1/z2 = 1 z2
∞
X
n=0
−z2−n
Laurent-Entwicklung arctanz = π
2 −
∞
X
n=0
(−1)n
2n+ 1z−2n−1= pi 2 −1
z + 1 3z3 − · · · (Integrationskonstanteπ/2 durch Vergleich der Werte bei z =∞)
Methoden der Laurent-Entwicklung 2-2
Beispiel:
geometrische Reihen 1 1−z =
∞
X
n=0
zn, |z|<1 1
1−z = −1 z
1
1−1/z =−
∞
X
n=0
1
zn+1, |z|>1 Differenzieren Taylor- bzw. Laurent-Reihen
1
(1−z)2 =
∞
X
n=1
nzn−1 = 1 + 2z+ 3z2+· · · , |z|<1 1
(1−z)2 =
∞
X
n=0
n+ 1 zn+2 = 1
z2 + 2 z3 + 3
z4 +· · ·, |z|>1 weiteres Differenzieren Reihen von (1−z)−m
Methoden der Laurent-Entwicklung 3-1
