11.1 Komplexe Funktionen
Gebiet
zusammenh¨angende offene Teilmenge D des Rn oderCn
Rand ∂D gen¨ugend glatt; i.a. lokal als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion darstellbar Komplexe Funktion
C⊇D3z 7→w=f(z)∈C reelle Darstellung
f(z) =u(x, y) + iv(x, y), z =x+ iy
M¨obius-Transformation
f : z 7→w= az+b
cz+d, ad−bc6= 0 Umkehrabbildung
w7→z = −dw+b cw−a Invarianz von Kreisen (gegebenenfalls als Geraden entartet)
eindeutig durch Bilderwj von drei Punktenzj bestimmt und mit Hilfe des Doppelverh¨altnisses darstellbar w−w2
w−w3
: w1−w2
w1−w3
= z−z2
z−z3
: z1−z2
z1−z3
Exponentialfunktion
ez = ex(cosy+ i siny), z =x+ iy 2π-periodisch bzgl. y
Streifen Imz ∈[s, s+ 2π) → gelochte Gauß-Ebene C\{0} horizontale Geraden z =t+ iy, t∈R → Halbgeraden w=seiy, s∈R+ vertikale Geraden z =x+ it,t ∈R → Kreise |w|= ex
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Komplexer Logarithmus
Umkehrfunktion der Exponentialfunktion z = exp(w) Polardarstellung z =reiϕ, r=|z|,ϕ= arg(z)
Ln(z) = ln(r) + i(ϕ+ 2πk) f¨ur eink ∈Z mit r =p
x2+y2, ϕ= arctan(y/x) Standardbereich (Hauptzweig)
ϕ= arg(z)∈(−π, π], k = 0
singularit¨atenfreie Definition der Logarithmusfunktion nur auf Gebieten, die weder 0 noch eine geschlossene Kurve um 0 enthalten, m¨oglich
Potenzen einer komplexen Zahl ganzzahlige Exponenten m ∈Z
zm =rmeimϕ, z =reiϕ rationale Exponenten p/q ∈Q
zp/q =rp/qexp (ipϕ/q)wqkp, k = 0, . . . , q−1 mit wkq = exp (2πi/q)k den q-ten Einheitswurzeln
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