9.1 Komplexe Funktionen

9.1 Komplexe Funktionen

9.1.1 Grundfunktionen

Gebiet

zusammenh¨angende offene Teilmenge D des Rⁿ oderCⁿ

Rand ∂D gen¨ugend glatt; i.a. lokal als Graph einer Lipschitz-stetigen Funktion darstellbar Komplexe Funktion

C⊇D3z 7→w=f(z)∈C reelle Darstellung

f(z) =u(x, y) + iv(x, y), z =x+ iy

M¨obius-Transformation

f : z 7→w= az+b

cz+d, ad−bc6= 0 Umkehrabbildung

w7→z = −dw+b cw−a Invarianz von Kreisen (gegebenenfalls als Geraden entartet)

eindeutig durch Bilderwj von drei Punktenzj bestimmt und mit Hilfe des Doppelverh¨altnisses darstellbar w−w₂

w−w3

: w₁−w₂ w1−w3

= z−z₂ z−z3

: z₁−z₂ z1−z3

Exponentialfunktion

e^z = e^x(cosy+ i siny), z =x+ iy 2π-periodisch bzgl. y

Streifen Imz ∈[s, s+ 2π) → gelochte Gauß-Ebene C\{0} horizontale Geraden z =t+ iy, t∈R → Halbgeraden w=se^iy, s∈R⁺ vertikale Geraden z =x+ it,t ∈R → Kreise |w|= e^x

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Komplexer Logarithmus

Umkehrfunktion der Exponentialfunktion z = exp(w) Polardarstellung z =re^iϕ, r=|z|,ϕ= arg(z)

Ln(z) = ln(r) + i(ϕ+ 2πk) f¨ur eink ∈Z mit r =p

x²+y², ϕ= arctan(y/x) Standardbereich (Hauptzweig)

ϕ= arg(z)∈(−π, π], k = 0

singularit¨atenfreie Definition der Logarithmusfunktion nur auf Gebieten, die weder 0 noch eine geschlossene Kurve um 0 enthalten, m¨oglich

Potenzen einer komplexen Zahl ganzzahlige Exponenten m ∈Z

z^m =r^me^imϕ, z =re^iϕ rationale Exponenten p/q ∈Q

z^p/q =r^p/qexp (ipϕ/q)w_q^kp, k = 0, . . . , q−1 mit w^k_q = exp (2πi/q)^k den q-ten Einheitswurzeln

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