VII Komplexe Zahlen und Funktionen

36) Nach Bild A-67 ist:

Jx ¼ 1 2 p r

ð

H

0

R H x

4

dx ¼

¼ 1

10p rR⁴H ¼ 3 10m R²

Kegelmasse: m ¼ rV ¼ 1

3 p rR²H

37) Nach Beispiel 1 aus Abschnitt 10.9.1 ist JS¼ 1 2 m R². Aus demSteinerschen Satzfolgt dann (siehe Bild A-68):

JM ¼ JSþm R² ¼ 1

2 m R²þ m R² ¼ 3 2 m R²

M: Mantellinie S: Schwerpunktachse

(Symmetrieachse) R: Radius

VI Potenzreihenentwicklungen

Abschnitt 1

1) aÞ q¼ 1

8, s¼ 8

9 bÞ q¼ 0,3, s¼ 10

7 cÞ q¼ 2

3, s¼ 4 3 5 ¼ 2,4 2) a) lim

n! 1

anþ1

an ¼ lim

n! 1

10

nþ 1¼ 0< 1 ) Reihekonvergiert b) lim

n! 1

anþ1

an ¼ lim

n! 1

2nþ1

4ð2nþ3Þ ¼ lim

n! 1

2þ 1=n 4ð2þ3=nÞ ¼ 1

4 < 1 ) Reihekonvergiert c) lim

n! 1

anþ1

an ¼ lim

n! 1

2nþ1 2ð2n1Þ ¼ 1

2 < 1 ) Reihekonvergiert d) lim

n! 1

anþ1

an ¼ lim

n! 1

ln 2

nþ 1¼ 0< 1 ) Reihekonvergiert H

R

x y

y = Rx H

Bild A-67

R S M

Bild A-68

3) Ansatz:

1

ðnþ1Þ ðnþ2Þ¼ A

nþ1þ B

nþ2¼ Aðnþ2Þ þBðnþ1Þ

ðnþ1Þ ðnþ2Þ ) A¼ 1, B ¼ 1 Somit: X¹

n¼1

1

ðnþ1Þ ðnþ2Þ ¼ X¹

n¼1

1

nþ1 1 nþ2

Partialsummen : s1 ¼ 1

2 1

3; s2 ¼ 1 2 1

3

þ 1 3 1

4

¼ 1 2 1

4; s₃ ¼ 1

2 1 3

þ 1 3 1

4

þ 1 4 1

5

¼ 1 2 1

5; . . .; sn ¼ 1

2 1

nþ 2 (die inneren Summanden heben sich jeweils paarweise auf).

Grenzwert(Summenwert): lim

n! 1

sn ¼ lim

n! 1

1

2 1

nþ2

¼ 1 2 Die unendliche Reihe istkonvergentund hat den Summenwert s¼1=2.

4) X¹

n¼1

ln 1 n þ1

¼ X¹

n¼1

ln 1þn n

¼ X¹

n¼1

½lnð1þnÞ lnn Partialsummen :

s1 ¼ ln 2 ln 1

|{z}0

¼ ln 2; s2 ¼ ðln 2 ln 1Þ þ ðln 3 ln 2Þ ¼ ln 3;

s3 ¼ ðln 2 ln 1Þ þ ðln 3ln 2Þ þ ðln 4 ln 3Þ ¼ ln 4; . . .; sn ¼ lnðnþ1Þ Grenzwertder Partialsummenfolge:

lim

n! 1

sn ¼ lim

n! 1

lnðnþ 1Þ ¼ 1

Der Grenzwert istnichtvorhanden, die Reihe daher (bestimmt)divergent.

5) Wir zeigen, dass die Reihen die fu¨r die Konvergenz notwendige Bedingung lim

n! 1

an ¼ 0 nichterfu¨llen und somitdivergentsind.

a) an ¼ nþ1 n

n

¼ 1þ 1 n

n

¼ 1 1þ 1

n

n

lim

n! 1an ¼ lim

n! 1

1 1þ 1

n

n ¼ 1

lim

n! 1

1þ 1 n

n ¼ 1

e > 0

(der Grenzwert im Nenner ist definitionsgema¨ß dieEulerscheZahl e).

b) lim

n! 1

an ¼ lim

n! 1

ln 3þ 1 2n

¼ ln 3 > 0

6) a) lim

n! 1

anþ1

an ¼ lim

n! 1

10ⁿþ1 10^nþ1 þ1¼ lim

n! 1

1þ10ⁿ 10þ10ⁿ ¼ 1

10 < 1 ) Reihekonvergiert

b) lim

n! 1

anþ1

an ¼ lim

n! 1

ðnþ 1Þ 5ⁿ 5^nþ1n ¼ lim

n! 1

nþ 1 5n ¼ 1

5 < 1 ) Reihekonvergiert

c) lim

n! 1

anþ1

an ¼ lim

n! 1

2²ⁿ

2^2nþ2 ¼ lim

n! 1

1 4 ¼ 1

4 < 1 ) Reihekonvergiert

d) lim

n! 1

anþ1

an ¼ lim

n! 1

ðnþ 1Þ 1 2

n

n 1 2

n1 ¼ lim

n! 1

nþ1 2n ¼ lim

n! 1

1þ1=n

2 ¼ 1

2 < 1 ) Reihekonvergiert

e) lim

n! 1

anþ1

an ¼ lim

n! 1

2^nþ1n

ðnþ 1Þ 2ⁿ ¼ lim

n! 1

2n

nþ1¼ lim

n! 1

2

1þ1=n¼ 2 > 1 ) Reihedivergiert

f) lim

n! 1

anþ1

an ¼ lim

n! 1

3^2nþ2 ð2nÞ! ð2nþ2Þ!3²ⁿ ¼ lim

n! 1

3²ⁿ3² ð2nÞ!

ð2nÞ!ð2nþ1Þ ð2nþ2Þ 3²ⁿ ¼

¼ lim

n! 1

9

ð2nþ1Þ ð2nþ 2Þ ¼ 0< 1 ) Reihekonvergiert 7) a) lim

n! 1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi janj pn

¼ lim

n! 1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n ðnþ1Þⁿ

n

r

¼ lim

n! 1

ffiffiffiffin pn

nþ1 ¼ 0< 1

(der Za¨hler strebt gegen 1, der Nenner gegen 1). Die Reihe ist somitkonvergent.

b) an ¼ 5ⁿ

4ⁿn² ¼ 5 4

n

1

n² ¼ 1,25ⁿ n² lim

n! 1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi janj pn

¼ lim

n! 1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1,25ⁿ n²

n

r

¼ lim

n! 1

1,25ffiffiffiffiffiffiffi n²

pn ¼ 1,25 lim

n! 1

ffiffiffiffiffiffiffi n²

pn ¼ 1,25 lim

n! 1

ffiffiffiffin pn

ffiffiffiffi

nn p ¼

¼ 1,25

lim

n! 1

ffiffiffiffin pn

lim

n! 1

ffiffiffiffin pn

¼ 1,25 > 1

(unter Beru¨cksichtigung von lim

n! 1

ffiffiffiffin pn

¼ 1). Die Reihe ist somitdivergent.

c) an ¼ nþ1 n

n²

¼ 1þ 1 n

n²

¼ 1

1þ 1 n

n²

lim

n! 1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi janj pn

¼ lim

n! 1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1þ 1

n

n²

n

vu uu

t ¼ lim

n! 1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 1þ 1

n

n²

n

s ¼

¼ 1

lim

n! 1

1þ 1 n

n ¼ 1

e < 1

(der Grenzwert im Nenner ist dieEulersche Zahl e). Die Reihe ist somitkonvergent.

8) a) janj ¼ j0,5ⁿcosð2nÞ j ¼ 0,5ⁿ jcosð2nÞ j

|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}

1

0,5ⁿ

Die Reihenglieder sind (betragsma¨ßig) nicht gro¨ßer als die entsprechenden Glieder der konvergenten geometrischenReihe mit q¼ 0,5 (Majorante). Die Reihe ist somitkon- vergent.

b) an ¼ 2

ðnþ 3Þ² < 2

n² ¼ 2 1

n² ðf ¨ur n 1Þ Die konvergente Reihe X¹

n¼1

2

n² ist somit eineMajoranteder vorgegebenen Reihe, dieser daherkonvergent.

9) a) Es ist n^a n fu¨r a 1. Daraus folgt:

an ¼ n^a ¼ 1 n^a 1

n

Die Reihenglieder sind also nicht kleiner als die entsprechenden Glieder derdivergenten harmonischen Reihe(Minorante), d. h. die vorliegende Reihe istdivergent.

b) Wegen nþ1> lnðnþ 1Þ fu¨r alle n 1 gilt:

an ¼ 1

lnðnþ 1Þ > 1 nþ1

Die Reihenglieder sind gro¨ßer als die entsprechenden Glieder der divergenten harmo- nischen Reihe, die somit eineMinoranteder vorgegebenen Reihe ist. Die Reihe ist daher divergent:

10) a) 1 1! > 1

2! > 1

3! > . . . und lim

n! 1

1

n! ¼ 0 ) Reihekonvergiert b) 1> 1

3 > 1

5 > . . . und lim

n! 1

1

2n 1¼ 0 ) Reihekonvergiert

c) 1 1 > 1

4 > 1

9 > . . . und lim

n! 1

1

n² ¼0 ) Reihekonvergiert d) 1

5 > 1

25³ > 1

35⁵ > . . . und lim

n! 1

1

n5²ⁿ¹ ¼ 0 ) Reihekonvergiert

Abschnitt 2

1) a) r ¼ lim

n! 1

an

anþ1 ¼ lim

n! 1

n

nþ1¼ lim

n! 1

1 1þ1=n ¼ 1

Die ReihedivergiertinbeidenRandpunkten.Konvergenzbereich: jxj < 1 b) r ¼ lim

n! 1

an

anþ1 ¼ lim

n! 1

nþ1 n ¼ lim

n! 1

1þ 1 n

¼ 1

Die Reihe divergiert fu¨r x ¼ 1 (harmonische Reihe) und konvergiert fu¨r x ¼ 1 (alternierende harmonische Reihe).Konvergenzbereich: 1 < x 1

c) r ¼ lim

n! 1

an

anþ1 ¼ lim

n! 1

ðnþ1Þ² n² ¼ lim

n! 1

nþ1 n

2

¼ lim

n! 1

1þ 1 n

2

¼ 1 Die ReihekonvergiertinbeidenRandpunkten.Konvergenzbereich: jxj 1 d) r ¼ lim

n! 1

an

anþ1 ¼ lim

n! 1

2^nþ1 2ⁿ ¼ lim

n! 1

2¼ 2

Die ReihedivergiertinbeidenRandpunkten.Konvergenzbereich: jxj < 2

e) r ¼ lim

n! 1

an

anþ1 ¼ lim

n! 1

nðnþ2Þ

ðnþ1Þ ðnþ 1Þ ¼ lim

n! 1

1 1þ 2 n

1þ 1 n

1þ 1 n

¼1

Die ReihedivergiertinbeidenRandpunkten.Konvergenzbereich: jxj < 1 f) r ¼ lim

n! 1

an

anþ1 ¼ lim

n! 1

ðnþ1Þ ðnþ 1Þ! n!ðnþ2Þ ¼ lim

n! 1

ðnþ 1Þn!ðnþ1Þ n!ðnþ2Þ ¼

¼ lim

n! 1

ðnþ1Þ ðnþ1Þ

nþ2 ¼ lim

n! 1

1þ 1 n

ðnþ1Þ 1þ 2

n

¼ 1

Die Reihekonvergiert besta¨ndig, d. h. fu¨r jedes x 2 R. 2) r ¼ 1. Konvergenzbereich: jxj < 1

Abschnitt 3

1) a) sinhx ¼ X¹

n¼0

x^2nþ1

ð2nþ1Þ!; Konvergenzbereich: jxj< 1 b) arctanx ¼ X¹

n¼0

ð1Þⁿ x^2nþ1

2nþ1; Konvergenzbereich: jxj 1 c) lnð1þx²Þ ¼ x²x⁴

2 þx⁶

3 þ. . . ¼ X¹

n¼1

ð1Þ^nþ1x²ⁿ n Konvergenzbereich: jxj 1

2) a) coshx ¼ 1þx² 2!þx⁴

4!þ. . . ¼ X¹

n¼0

x²ⁿ

ð2nÞ!; Konvergenzbereich: jxj < 1 b) coshx ¼ 1

2 ðe^x þe^xÞ ¼

¼ 1

2 1þxþ x² 2!þx³

3!þx⁴ 4!þ. . .

þ 1 xþx² 2!x³

3!þx⁴

4! þ. . .

¼

¼ 1

2 2þ 2x²

2!þ2x⁴ 4!þ . . .

¼ 1þx² 2!þx⁴

4!þ. . . ¼ X¹

n¼0

x²ⁿ ð2nÞ!

3) fðxÞ ¼ 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

1x³

p ¼ ð1x³Þ¹⁼² ¼ 1þ 1 2 x³þ 3

8 x⁶ þ 5

16x⁹þ . . .

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |ffl{zffl}

Na¨herungsfunktion Fehler fð0,2Þ 1þ 1

2 ð0,2Þ³ þ 3

8 ð0,2Þ⁶ ¼ 1,004 024 (auf 6 Dezimalstellen genau) Fehler: 5

16ð0,2Þ⁹ ¼ 0,1610⁶ 4) a) fðxÞ ¼ e^2x cosx ¼ 1 2xþ 3

2 x² 1 3 x³ 7

24x⁴þ. . . Konvergenzbereich: jxj < 1

b) fðxÞ ¼ sin²x ¼ x² x⁴ 3 þ 2

45x⁶ þ. . .; Konvergenzbereich: jxj< 1

c) Der Faktor ð1þ x²Þ¹ wird nach derBinomischen Formelentwickelt (Substitution x ! x²,n¼ 1Þ:

fðxÞ ¼ sinhx

1þx² ¼ ð1þ x²Þ¹sinhx ¼ x 5

6 x³ þ101

120x⁵ þ. . .

Konvergenzbereich: jxj < 1

5) a) fðxÞ ¼ cosx ¼ 1 2 1

2 ffiffiffiffi3 p x p

3

1

1 4 x p

3

2

þ 1 12

ffiffiffiffi3 p x p

3

3

þ. . . Konvergenzbereich: jxj< 1

b) fðxÞ ¼ ffiffiffiffi px

¼ 1þ 1

2 ðx 1Þ¹ 1

8 ðx1Þ² þ 1

16ðx 1Þ³þ . . . Konvergenzbereich: 0 x 2

c) fðxÞ ¼ 1 x² 2

x ¼ 1þ 1ðx 1Þ² 2ðx 1Þ³þ3ðx 1Þ⁴ þ. . .

Konvergenzbereich: 0 < x< 2 6) fðxÞ ¼ xe^x ¼ x 1 xþx²

2! þ. . .

¼ xx²þx³

2! þ. . .

Na¨herungsfunktionen(Bild A-69):

f1ðxÞ ¼x f₂ðxÞ ¼x x² f3ðxÞ ¼x x² þ 1

2 x³

7) fðxÞ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x

p ¼ ð1xÞ¹⁼² wird nach derBinomischen Formelentwickeltðn¼ 1=2Þ:

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 10,05

p ¼ ð1 0,05Þ¹⁼² ¼

¼ 1 1

2 ð0,05Þ 11

24ð0,05Þ² 113

246ð0,05Þ³ 1135

2468ð0,05Þ⁴ . . . ¼

¼ 10,025 0,000 312 50,000 007 810,000 000 24

|fflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl}

<0,510⁶

. . .

Abbruch der Reihe nach dem 4. Glied: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 10,05

p 0,974 679 (auf 6 Dezimalstellen nach dem Komma genau)

1 1

x y

–1

–1

y = f (x)₁

y = f (x)1

y = f (x)₂

y = f (x)₂

y = f (x)₃

y = f (x)₃

y = x · e^{– x}

y = x · e^{– x} Bild A-69

8) 8 ¼b 0,139 626

cos 8 ¼ cos 0,139 626 ¼ 1 1

2!ð0,139 626Þ² þ 1

4!ð0,139 626Þ⁴ þ. . . ¼

¼ 10,009 784 þ 0,000 016

|fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl}

<0,510⁴

þ. . .

Abbruch nach dem2. Glied: cos 8 0,9902 (auf 4 Dezimalstellen genau) 9) sinx ¼ 1 1

2! x p 2

2

þ 1

4! x p 2

4

þ. . .

Na¨herungsparabel: sinx 1 1 2! x p

2

2

¼ 1 2 x² þ p

2 xþ1p² 8 10) Man erha¨lt diebi-quadratischeGleichung

1þx² 2!þx⁴

4! ¼ 4x² oder x⁴ þ36x²72 ¼ 0 mit den reellen Lo¨sungen x1=2 ¼ 1,378.

11) FðxÞ ¼ ð^x

0

1 1þt² dt ¼

ð^x

0

ð1t²þt⁴ t⁶ þ . . .Þdt ¼

¼ t 1 3 t³ þ 1

5 t⁵ 1

7 t⁷þ . . .

x

0¼ x 1 3 x³ þ 1

5 x⁵ 1

7 x⁷ þ . . .

Wegen ð^x

0

1

1þ t² dt ¼ h arctant

ix

0 ¼ arctanx arctan 0¼ arctanx0 ¼ arctanx handelt es sich um die Mac Laurinsche Reihe von fðxÞ ¼arctanx. Sie konvergiert fu¨r jxj 1.

12) a) In der Mac Laurinschen Reihe von cosz wird z ¼ ffiffiffiffi px

gesetzt und anschließend gliedweiseintegriert:

0ð,5 0

cosð ffiffiffiffi px

Þdx ¼

0ð,5 0

1 x 2!þx²

4! x³

6!þ . . .

dx ¼

¼ x x²

22!þ x³

34! x⁴

46!þ . . .

0,5

0

¼

¼ 0,5 0,5²

22!þ 0,5³

34! 0,5⁴

46!þ . . . ¼

¼ 0,5 0,0625þ0,001 736 0,000 021

|fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl}

<0,510⁴

þ . . .

Durch Abbruch der Reihe nach dem3. Gliedfolgt:

0ð,5 0

cosð ffiffiffiffi px

Þdx ¼ 0,4392 (auf 4 Dezimalstellen genau)

b) Die Mac Laurinschen Reihen von e^x und 1

x þ1¼ ðxþ 1Þ¹ ¼ ð1þxÞ¹ werden gliedweiseausmultipliziert, anschließend wird integriert:

0ð,2 0

e^x xþ1 dx ¼

0ð,2 0

e^x ð1þxÞ¹dx ¼

0ð,2 0

1þ 1 2 x² 1

3 x³ þ 9

24x⁴ þ. . .

dx ¼

¼ xþ 1 6 x³ 1

12x⁴þ 9

120x⁵þ . . .

0,2

0 ¼

¼ 0,2 þ 1

6 ð0,2Þ³ 1

12ð0,2Þ⁴ þ 9

120ð0,2Þ⁵ þ. . . ¼

¼ 0,2 þ0,001 333 0,000 133þ 0,000 024

|fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl}

<0,510⁴

þ. . .

Durch Abbruch nach dem3. Gliedfolgt:

0ð,2 0

e^x

xþ1 dx ¼ 0,2012 (auf 4 Dezimalstellen genau)

c) Die Mac Laurinsche Reihe von sinx wird zuna¨chstgliedweise durch x dividiert und anschließend integriert.

ð¹

0

sinx x dx ¼

ð¹

0

1x² 3!þx⁴

5!x⁶

7!þ . . .

dx ¼

¼ x x³

33!þ x⁵

55! x⁷

77!þ . . .

1

0¼

¼ 1 1

33!þ 1

55! 1

77!þ . . .¼

¼ 10,055 555 þ0,001 666 0,000 028

|fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl}

<0,510⁴

þ . . .

Durch Abbruch der Reihe nach dem3. Gliedfolgt:

ð¹

0

sinx

x dx ¼ 0,9461 (auf 4 Dezimalstellen genau)

13) Es ist 1

1x ¼ d

dx½lnð1xÞ ¼ d

dx xx² 2 x³

3 x⁴

4 . . .

¼

¼ 1þx þx² þx³ þ. . . (konvergentfu¨r jxj< 1) .

14) pðhÞ ¼ p0 1 h 7991 mþ 1

2 h 7991 m

2

þ. . .

!

LineareNa¨herung: pðhÞ ¼ p0 1 h 7991 m

Der (absolute) Fehler Dp liegt in der Gro¨ßenordnung des vernachla¨ssigten quadratischen Gliedes, fu¨r den relativen Fehler gilt dann (mit p in derlinearenNa¨herung):

Dp p ¼

1 2

h 7991 m

2

1 h

7991 m

0,01 ) h 1053 m, d:h: hmax ¼ 1053 m

Einebessere Abscha¨tzung fu¨r den relativen Fehler erha¨lt man, wenn man fu¨r den Druck p die exakte Exponentialformel verwendet. Dies fu¨hrt allerdings zu einer transzendenten Glei- chung (bzw. Ungleichung), die sich jedoch mit dem Tangentenverfahren von Newton leicht lo¨sen la¨sst. Ergebnis:

Dp p ¼

1 2

h 7991 m

2

e^{7991 mh}

0,01 ) h ¼ 1058m, d:h: hmax ¼ 1058 m

15) cosj wird in eine Mac Laurinsche Reihe entwickelt, Abbruch nach demkonstantenGlied:

T ¼ 2p

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l g cosj s

¼ 2p

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l

g 1j² 2! þj⁴

4! þ. . .

s

2p ffiffiffiffiffiffi

l g s

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

vernachla¨ssigbar in 0. Na¨herung!

Die Schwingungsdauer entspricht jetzt der Schwingungsdauer einesFadenpendelsðj¼ 0Þ! 16) a) T0 ¼ 2p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

L0C0

p ¼ 6,28310³s¼ 6,283 ms

b) TðCÞ ¼ 2p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L₀C

p ¼ 2p ffiffiffiffiffiffi L₀ p ffiffiffiffiffi

pC Die Funktion fðCÞ ¼ ffiffiffiffiffi

pC

wird um die Stelle C0 in eineTaylor-Reiheentwickelt:

fðCÞ ¼ ffiffiffiffiffi pC

¼ ffiffiffiffiffiffiffiffi C0

p þ 1

2 ffiffiffiffiffiffiffiffi C0

p ðC C0Þ þ . . .

TðCÞ ¼ 2p ffiffiffiffiffiffiffi L0

p fðCÞ ¼ 2p ffiffiffiffiffiffiffi L0

p ffiffiffiffiffi

pC

¼

¼2p ffiffiffiffiffiffiffi L0

p ffiffiffiffiffiffiffiffi C0

p þ 1

2 ffiffiffiffiffiffiffiffi C0

p ðC C0Þ þ. . .

!

¼

¼2p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi L0C0

q

|fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

T₀

þp ffiffiffiffiffiffiffiffi

L0

C₀ s

ðCC0Þ þ. . . ¼ T0þp

ffiffiffiffiffiffiffiffi L0

C₀ s

ðC C0Þ þ . . .

LineareNa¨herung (linearisierteFunktion):

T T0 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffi

L₀ C0

s

ðCC0Þ oder DT ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffi

L₀ C0

s DC

(mit DT ¼ T T0 und DC ¼ CC0)

c) DT ¼ 1,8910⁴s¼ 0,189 ms, DTexakt ¼ 1,8610⁴s¼ 0,186 ms

17) Mit x ¼ v c

2 erha¨lt man aus derBinomischen Formel(fu¨r n¼ 1=2):

m ¼ m₀ 1 v c

21=2

¼ m₀ð1xÞ¹⁼² ¼ m₀ 1þ 1 2 xþ. . .

¼

¼ m₀ 1þ 1 2

v c

2þ. . .

m₀ 1þ v² 2c²

18) a) 1 b) 0 c) 1 d) 1 e) naⁿ¹

f) 0 g) 3

2 h) 1 i) 0

j) NachdreimaligerAnwendung der Bernoulli-de L’Hospitalschen Regel folgt:

lim

x! 1

x³ 2 e^2x ¼ lim

x! 1

3x²

2e^2x ¼ lim

x! 1

3x

2e^2x ¼ lim

x! 1

3 4e^2x ¼ 0

k) lim

x!0

tanhð ffiffiffiffi px ffiffiffiffi Þ

px ¼ lim

x!0

1 cosh²ð ffiffiffiffi

px Þ 1

2 ffiffiffiffi px 1 2 ffiffiffiffi

px ¼ lim

x!0

1 cosh²ð ffiffiffiffi

px Þ ¼ 1

19) a) Typ 0⁰; ð2xÞ^x ¼ e^lnð2xÞx ¼ e^xlnð2xÞ Der Grenzwert wird imExponentengebildet:

lim

x!0½xlnð2xÞ ¼ lim

x!0

lnð2xÞ 1=x ¼ lim

x!0

1 2x2 1=x² ¼ lim

x!0ðxÞ ¼0

Somit: lim

x!0ð2xÞ^x ¼ e ^{xlim!0½xlnð2xÞ}

¼ e⁰ ¼ 1

b) Typ 1⁰; 1 x

x

¼ e^{ln 1x}

x

¼ e^{xln 1x} ¼ e^{xðln 1lnxÞ} ¼ e^xð0lnxÞ ¼ e^xlnx Weiterer Lo¨sungsweg wie in a):

lim

x!0ðxlnxÞ ¼ 0; lim

x!0

1 x

x

¼ e ^{xlim!0ðxlnxÞ}

¼ e⁰ ¼ 1

c) Typ 0 ð 1Þ lim

x!0ðx²lnxÞ ¼ lim

x!0

lnx 1 x²

¼ lim

x!0

1 x 2

x³

¼ lim

x!0

x³ 2x ¼ lim

x!0 x² 2

¼ 0

d) Typ 0 1 lim

x! 1ðe^x ffiffiffiffi px

Þ ¼ lim

x! 1

ffiffiffiffix p

e^x ¼ lim

x! 1

1 2 ffiffiffi

px e^x ¼ lim

x! 1

1 2 ffiffiffiffi px

e^x ¼ 0 e) Typ 0 1

lim

x!pðx pÞ tanðx=2Þ ¼ lim

x!p

tanðx=2Þ 1 x p

¼ lim

x!p

1 cos²ðx=2Þ 1

2

1

ðxpÞ²

¼

¼ lim

x!p

ðxpÞ²

2cos²ðx=2Þ ¼ lim

x!p

2ðxpÞ

22cosðx=2Þ ðsinðx=2ÞÞ 1 2

¼

¼ lim

x!p

x p

cosðx=2Þ sinðx=2Þ ¼ 2 lim

x!p

xp

sinx ¼ 2 lim

x!p

1

cosx ¼ 2 ð1Þ ¼ 2

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

ð1=2Þ sinx

(nach 3-maligerAnwendung der Grenzwertregel von Bernoulli-de L’Hospital)

f) Typ 1 1

lim

x!0

1 tanx 1

x

¼ lim

x!0

xtanx x tanx ¼ lim

x!0

1 1

cos²x 1tanxþ 1

cos²xx

¼

¼ lim

x!0

cos²x1

tanx cos²xþ x¼ lim

x!0

cos²x1 sinxcosxþx ¼

¼ lim

x!0

2cosxsinx

cos²x sin²xþ 1¼ 0

10þ 1¼ 0 2 ¼ 0

(nach 2-maligerAnwendung der Grenzwertregel von Bernoulli-de L’Hospital und Beach- tung von tanx ¼ sinx=cosx).

20) a) lim

x!0

1cosx x² ¼ lim

x!0

1 1x² 2!þx⁴

4! þ. . .

x² ¼ lim

x!0

x² 2!x⁴

4!þ . . .

x² ¼

¼ lim

x!0

1 2! x²

4!þ . . .

¼ 1 2

b) lim

x!0

2ðx sinxÞ e^x 1þsinx¼

¼ lim

x!0

2 x x x³ 3!þx⁵

5!x⁷

7!þ . . .

1þxþx² 2!þ x³

3!þx⁴ 4!þ. . .

1þ xx³ 3!þx⁵

5!þ . . .

¼

¼ lim

x!0

2 x³ 3!x⁵

5!þx⁷

7! þ. . .

2x þx² 2!þx⁴

4!þ. . .

¼ lim

x!0

2 x² 3!x⁴

5!þx⁶

7! þ. . .

2þ x 2!þx³

4!þ. . .

¼ 0

c) lim

x!0

coshx1

x ¼ lim

x!0

1þx² 2!þx⁴

4!þx⁶ 6!þ. . .

1

x ¼

¼ lim

x!0

x² 2!þx⁴

4!þx⁶ 6!þ. . .

x ¼ lim

x!0

x 2!þx³

4!þx⁵ 6!þ . . .

¼ 0

d) lim

x!0

sin²x x ¼ lim

x!0

xx³ 3!þx⁵

5! þ. . .

2

x ¼

¼ lim

x!0

x 1x² 3!þx⁴

5! þ. . .

2

x ¼ lim

x!0

x² 1x² 3!þx⁴

5! þ. . .

2

x ¼

¼ lim

x!0x 1x² 3!þx⁴

5! þ. . .

2

¼ 01¼ 0

21) lim

x! 1ðx e^xÞ ¼ lim

x! 1

e^x x e^x 1

¼ lim

x! 1

e^x lim

x! 1

x e^x 1

¼

¼ lim

x! 1

e^x lim

x! 1

x e^x lim

x! 1

1

¼ 1 ð01Þ ¼ 1

|fflfflffl{zfflfflffl} |fflfflfflffl{zfflfflfflffl} |fflfflffl{zfflfflffl}

1 0 1

Berechnung des zweiten Grenzwertes nach der Regel vonBernoulli-de L’Hospital

Typ 1 1

:

lim

x! 1

x e^x ¼ lim

x! 1

1 e^x ¼0

VII Komplexe Zahlen und Funktionen

Abschnitt 1

1) Siehe Bild A-70

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

–1–1

–2 – 3 – 4 – 2 – 3 – 4

– 5 Re(z)

Im(z)

z₂

z₁ z₃

z₆ z₈

z₄ z₇

z₅

Bild A-70