Komplexe Zahlen und Funktionen

Komplexe Zahlen und Funktionen

1. komplexes Gleichungssystem

z1 − iz2 = i−2

z2 + 3z3 = 6−6i

−2iz1 − 3iz3 = −1−8i

2. komplexe Gleichung

Welche z∈Cerf¨ullen die Gleichung 4z²−4¯z+ 1 = 0?

3. konjugiert-komplexe Zahlen

F¨ur welche Zahlen z∈Cgilt: ¯z⁻¹=−z 4. Komplexe Gleichungen

Welche z∈Cerf¨ullen die folgenden Gleichungen?

(a) z= _2z−2i^2z−i (b) z⁴−iz²+ 2 = 0

(c) z=i−_zⁱ

5. nochmals komplexe Gleichungen

Welche z∈Cerf¨ullen die folgenden Gleichungen?

(a) 4z²−4¯z+ 1 = 0 (b) ^z−i_¯z+i = 1

6. Untersuchung der L¨osungsmenge

Gegeben ist die quadratische Gleichnungaz²+ 2z+a= 0. F¨ur welche Werte von a ist die Gleichung l¨osbar, wenn folgende Bedingungen gelten sollen. Gib jeweils die entsprechenden L¨osungen an.

(a) a∈INund die L¨osungsmenge ist Teilmenge vonIN (b) a∈ZZund die L¨osungsmenge ist Teilmenge vonZZ (c) a∈IRund die L¨osungsmenge ist Teilmenge vonIR (d) a∈IRund die L¨osungsmenge ist Teilmenge vonC 7. Gerade und Kreis abbilden

Gegeben ist die komplexe Funktion w=f(z) = (4 + 2i)z sowie die Gerade g : y =xund der Kreis k: |z+ 1|=q

1

2 in der Gauss’schen Ebene.

(a) Bestimme die Bilder g⁰ undk⁰ die bei der Abbildung der Geradeg resp. des Kreisesk mit der Funktionf(z) entstehen.

(b) Beweise: Die Geradeg ber¨uhrt den Kreiskundg⁰ ber¨uhrtk⁰. 8. abgebildetes Dreieck

Gegeben sind die drei Eckpunke eines Bilddreiecks A’(2), B’(5+2i) und C’(1+2i). Das Dreieck wurde mit der Funktionw=f(x) =−¹₂iz−7 + 9iabgebildet.

(a) Wie lauten die Originalpunkte A, B und C?

(b) Welchen Fl¨acheninhalt hat das Bilddreieck A’B’C’ ?(Tipp: Skizze!)

(c) Wie kann auf einfache Weise aus dem Fl¨acheninhalt des Bilddreiecks und der Funktionsgleichung der Fl¨acheninhalt des Originaldreiecks berechnet werden? Begr¨unde und f¨uhre es konkret aus.

9. Schnittmenge

Gegeben ist der Kreis K:|z−2−2i|= 5 und die Funktion w =f(z) =−i(z+i)−i. Der Kreis K werde mit der Funktionf(z) abgebildet.

(a) Wie lautet die Kreisgleichung des abgebildeten Kreises K’ ? (b) K und K’ schneiden sich. Wie gross ist die gemeinsame Fl¨ache?

10. Drehzentrum gesucht

Von einer Drehung kennt man den Originalpunkt P(-3+3i) und den zugeh¨orige Bildpunkt P’(√ 3+√

3i).

Wo liegt das Drehzentrum, wenn der Drehwinkelϕ=−120^◦betr¨agt?

11. abbilden!

Gegeben ist die ganz-lineare Funktionw=f(z) = (−1−i)z−2−2i.

(a) Gesucht ist der Fixpunkte von f(z).

(b) Wie lautet die Gleichung des Bildes des Kreises|z−1|= 2?

(c) Welche Gerade wird auf die imagin¨are Achse abgebildet?

12. Halbmond

Von einer halbkreisf¨ormigen Figur (’Halbmond’) weiss man, dass...

... sein (Kreis-)Mittelpunkt im Punkt M(4+2i) ist, ... seine gerade Seite parallel zur reellen Achse liegt und ... sein Fl¨acheninhalt 3πbetr¨agt.

(a) Wie lauten die Gleichungen des Kreises und der Gerade, welche den Halbkreis begrenzen?

(b) Mit welcher ganz-linearen Funktion mit DrehzentrumZ0(1−i) wird der Halbkreismittelpunkt in den Ursprung abgebildet? Wie gross wird der Radius?

13. Drehstreckung

Die komplexe Funktion f(z) = (5−12i)·z−8i stellt als Abbildung eine Drehstreckung dar. Vom Punkt P weiss man, dass er auf den Punkt P’(-3) abgebildet wird. Bestimme das Drehzentrum (=Fixpunkt der Abbildung!), den Streckungsfaktor sowie den Punkt P.

14. Quadrat

Gegeben ist die komplexe Funktion f(z) = i− i

z mit z 6= 0. Die Eckpunkte A(1 +i);B(−1 + i);C(−1−i);D(1−i) eines Quadrates werden mit f(z) abgebildet. Die Bildpunkte A⁰;B⁰;C⁰;D⁰ anschliessend wieder miteinander verbunden. Welche Art Figur entsteht? Wieviel Prozent der ur- spr¨unglichen Quadratfl¨ache misst die Bildfl¨ache?

15. Komplexe Abbildung

Gegeben ist die komplexe Funktionw=u+iv =f(z) =z²+iz−i.

(a) Bestimme die Fixpunkte vonf(z)

(b) Die reelle Achse soll mitf(z) abgebildet werden. Welche Beziehung gilt zwischen den Koeffizienten u und v. Wie sieht das Bild aus?

16. Abbilden eines Kreises

Der KreisK: |z+ 7−i|= 1 soll mit der Funktionf(z) = (−3−i)z−15−8iabgebildet werden. Wie lautet die Gleichung des Bildkreises?

17. Komplexe Gleichungen

Bestimme alle L¨osungen der komplexen Gleichungen:

(a) iz⁴−106−8i=iz²−2z²

(b) (1 +i)·z+ (1−i)·z¯= ¹₂ (Achtung: Interpretiere das Resultat!)

18. Abbilden von Geraden

Im Abstand 2 werden Parallelen zur imagin¨aren Achse gezogen. Diese beiden Geraden werden mit der Funktionf(z) =iz+ 2−iabgebildet. Wie lauten die Gleichungen der Bildgeraden? Welchen Abstand haben sie voneinander?

19. Gerade und Kreis abbilden

Gegeben ist die komplexe Funktion w=f(z) = (4 + 2i)z sowie die Gerade g : y =xund der Kreis k: |z+ 1|=

q1

2 in der Gauss’schen Ebene.

(a) Bestimme die Bilder g⁰ undk⁰ die bei der Abbildung der Geradeg resp. des Kreisesk mit der Funktionf(z) entstehen.

(b) Beweise: Die Geradeg ber¨uhrt den Kreiskundg⁰ ber¨uhrtk⁰.

L¨ osung zu: Komplexe Zahlen und Funktionen

1. komplexes Gleichungssystem z1= 1 +i

z2=−3i z3= 2−i

2. komplexe Gleichung z1,2=−¹₂±i

Zuerst z = x+yi und ¯z = x−yi ersetzen. Anschliessen kann die Gleichung durch Real- resp.

Imagin¨arteil-Vergleich gel¨ost werden.

3. konjugiert-komplexe Zahlen z_1,2=±i

In der Gleichung z durchx+yiersetzten und anschliessend durch Vergleich der Real- resp. Imagin¨arteile l¨osen.

4. Komplexe Gleichungen (a) ¹₂+¹₂i

(b) z₁= 1 +i z₂=

√2 2 −

√2 2 i

(c) z1= 0.62−0.3i z2=−0.62 + 1.3i 5. nochmals komplexe Gleichungen

(a) −¹₂±i

(b) z=a+i mit a beliebig∈IR 6. Untersuchung der L¨osungsmenge

(a) nicht l¨osbar

(b) a=−1 und z= 1 odera= 1 undz=−1 (c) −1≤a≤1 mit den L¨osungenz_1,2=^−2±

√4−4a² 2a

(d) beliebigesa∈IRmit den L¨osungenz_1,2= ^−2±

√4−4a² 2a

7. Gerade und Kreis abbilden

(a) g⁰ : v= 3u;k⁰ : |w+ (4 + 2i)|=√ 10

Die Kreisabbildung erh¨alt man am einfachsten, wenn man zuerst den Mittelpunkt mit der gegebe- nen Funktion abbildet und anschliessend den Radius mit dem Streckungsverh¨altnis berechnet.

Dies funktioniert, weil es sich bei der (linear komplexen) Abbildung um eine ¨Ahnlichkeitsabbildung handelt.

(b) Der Beweis wird am einfachsten mit der Hess’schen Normalform gef¨uhrt.

8. abgebildetes Dreieck

(a) A(18+18i); B(14+24i); C(14+16i) (b) A’ = 4

Die eine Seite des Dreiecks liegt parallel zur x-Ache, daraus lassen sich Grundlinie und H¨ohe bestimmen.

(c) A = 16

Der Streckungsfaktor der Umkehrfunkion ist 2, somit ¨andert sich die Fl¨ache mit Faktor 4.

9. Schnittmenge (a) |w−(3−3i)|= 5

Es handelt sich bei der Abbildung um eine Drehung, daher r=r’=5 (b) A≈29.85

Da Original- und Bildkreis gleich gross sind kann mit dem Satz von Pythagoras und Trigonometrie der Zentriwinkel berechnet werden. Damit l¨asst sich dann die Schnittmenge berechnen.

10. Drehzentrum gesucht Z(i-1)

11. abbilden!

(a) z=−1.2−0.4i (b) |w+ 3 + 3i|= 2√

2 (c) y=x+2

12. Halbmond

(a) k: |z−4−2i|=√

6 und g: y= 2 (b) w= ¹₃iz+²₃−⁴₃i;r=

√6 3

13. Drehstreckung

DrehzentrumD(−0.6 + 0.2i); Streckungsfaktor 13;P −¹¹¹₁₆₉+₁₆₉⁴ i Um P zu bestimmen soll zuerst die Umkehrfunktion ermittelt werden.

14. Quadrat A⁰ −¹₂+¹₂i

;B⁰ −¹₂+³₂i

;C^{0 1}₂ +³₂i

;D^{0 1}₂+¹₂i

Es entsteht wieder ein Quadrat. Seine Fl¨ache ist 25% der urspr¨unglichen Quadratfl¨ache.

15. Komplexe Abbildung

(a) z1=−iundz2= 1 sind die Fixpunkte.

(b) Es giltu= (v+ 1)²

Durch Einsetzen vonz=x+vi, sowiey= 0 (reelle Achse) lassen sich f¨ur u und v zwei Gleichungen in x herleiten, aus denen dann x eliminiert werden kann.

16. Abbilden eines Kreises K⁰: |w−(−7 + 4i)|=√

10

Da die lineare komplexe Abbildung eine ¨Ahnlichkeitsabbildung ist kann zuerst der Mittelpunkt abge- bildet werden. Anschliessend das Streckungsverh¨altnis bestimmen und damit die L¨ange von r’ berech- nen.

17. Komplexe Gleichungen

(a) z1= 3−i; z2=−3 +i; z3= 1.35 + 2.97i; z4=−1.35−2.97i

Die Gleichung kann durch Substitution gel¨ost werden. Stichwort biquadratische Gleichung.

(b) Alle Punkte der Geradey=x−¹₄ erf¨ullen die Gleichung.

Zum L¨osen istz=x+yiund ¯z=x−yizu setzen.

18. Abbilden von Geraden

g₁⁰ : v=−3 undg₂⁰ : v= 1. Der Abstand der Geraden ist 4.

Aus der Abbildungsgleichung kann zuerst die Umkehrfunktion bestimmt werden. Es ergeben sich f¨ur x und y je eine Gleichung in u und v. Die Geradenx= 2 und x=−2 in der x-Gleichung eingesetzt ergibt die L¨osungen.

19. Gerade und Kreis abbilden

(a) g⁰ : v= 3u;k⁰ : |w+ (4 + 2i)|=√ 10

Die Kreisabbildung erh¨alt man am einfachsten, wenn man zuerst den Mittelpunkt mit der gegebe- nen Funktion abbildet und anschliessend den Radius mit dem Streckungsverh¨altnis berechnet.

Dies funktioniert, weil es sich bei der (linear komplexen) Abbildung um eine ¨Ahnlichkeitsabbildung handelt.

(b) Der Beweis wird am einfachsten mit der Hess’schen Normalform gef¨uhrt.