1 Die komplexe Darstellung

(1)

Schwingungen und komplexe Zahlen

Andreas de Vries

FH S¨udwestfalen University of Applied Sciences, Haldener Straße 182, D-58095 Hagen, Germany e-mail: de-vries@fh-swf.de

Hagen, im November 2006

1 Die komplexe Darstellung

H¨aufig ist es notwendig, Summen sinusf¨ormiger Schwingungen oder Wellen zu bilden, sog. Uberla- ¨ gerungen, oft in Kombination mit Phasenverschiebungen. Das geht prinzipiell mit Hilfe der Additi- onstheoreme der Kreisfunktionen — und großem Rechenaufwand. Erstaunlich einfach wird es aber mit der komplexen Darstellung in C . Grundlage ist die Eulersche Formel:

e

^iϕ

= cos ϕ +i sin ϕ,

cos ϕ = Re e

^iϕ

, sin ϕ = Im e

^iϕ

.

(1)

In der komplexen Ebene lassen sich damit n¨amlich Schwingungen und Wellen als einfache Kreisbe- wegung auffassen (Abb. 1). Jeder sinusf¨ormige Schwingungsvorgang f (t) = a cosωt + b sin ωt mit

Abbildung 1:

Die Schwingung e^i(ωt+ϕ) ist als Graph gegen die Zeitt eine Schraubenlinie (Helix). Sie l¨asst sich ei- nerseits als Kreisbewegung in der komplexen EbeneCauffassen (rechts, Projektion auf diex-y-Ebene), andererseits als Sinusschwingung im Reellen (unten, Projektion auf diex-t-Ebene).

der Kreisfrequenz ω = 0 und den Amplituden a,b ∈ R l¨asst sich also schreiben als

¹

f (t) = a Re e

^iωt

+ b Im e

^iωt

= Re (a − ib) e

^iωt

. (2)

1Die zweite Gleichung folgt direkt, wenn man f¨ur eine beliebige Zahlz∈Cverifiziert: Re(−iz) =Imz.

(2)

Was hindert uns also daran, einfach direkt die viel einfachere komplexe Funktion f (t) = Ae

^iωt

(mit der komplexen Amplitude A = a − ib!) zu betrachten?

Vor allem durch die folgenden beiden Gleichungen wird die Eleganz und Einfachheit der komplexen Darstellung begr¨undet:

A e

^i(ωt+ϕ⁾

= B e

^iωt

mit B := A e

^iϕ

(A ∈ C ).

Ae

^iϕ

= A

₁

e

^iϕ¹

+ A

₂

e

^iϕ²

(A,A

₁

,A

₂

∈ C ),

⇐⇒

Ae

^i(ωt+ϕ⁾

= A

₁

e

^i(ωt+ϕ¹⁾

+ A

₂

e

^i(ωt+ϕ²⁾

.

(3)

Die erste Gleichung besagt, dass eine Phasenverschiebung um ϕ nichts weiter als eine Multiplika- tion mit dem Faktor e

^iϕ

ist. Die zweite Gleichung stellt eine Uberlagerung ¨ von Wellen derselben Frequenz ω und verschiedener Phase als einfache vektorielle Addition in der komplexen Ebene C dar!

Diese vektorielle Darstellung in der komplexen Ebene wird Zeigerdarstellung genannt. Was das f¨ur

Abbildung 2:

Die Addition zweier sinusf¨ormiger Schwingungen gleicher Frequenz, aber verschiedener Amplitude und Phase ist im Zeigerdiagramm viel einfacher.

eine Vereinfachung bedeutet, macht Abb. 2 deutlich: Anstatt aufwendig Additionstheoreme zu ver- wenden und nur durch Computer durchf¨uhrbare Berechnungen durchzuf¨uhren, haben wir im Prinzip bereits alle notwendigen Informationen in den komplexen Vektoren. Der Formalismus der Zeigerdar- stellung liefert sie uns

” frei Haus“.

Die komplexe Inversion. Die Inversion einer komplexen Zahl z ist die Abbildung z 7→ w = 1/z in der komplexen Ebene, also als eine Transformation in C. Am einfachsten berechnet man sie in der Polardarstellung:

z = r e

^iϕ

= ⇒ 1 z = 1

r e

^−iϕ

. (4)

Die Inversion besteht aus zwei Schritten:

1. Kehrwertbildung des (reellen!) Betrages r: r 7→ 1/r;

2. Komplexe Konjugation: Vorzeichenwechsel des Argumentes, ϕ 7→ −ϕ.

Die komplexe Inversion ist geometrisch eine Spiegelung am Einheitskreis und an der reellen Achse.

Auch diese besteht aus zwei Schritten, die genau den obigen entsprechen:

(3)

(a) Spiegelung am Einheitskreis: Die Tangentenkonstruk- tion aus der nebenstehenden Abbildung (a) liefert den Bildpunkt A

⁰

von A mit OA

⁰

= 1/OA (denn die Dreiecke OTA

⁰

und OAT sind ¨ahnlich, also OA

⁰

/OT = OT

⁰

/OA; aber OT = 1!). Da r in der komplexen Ebene genau OA ent- spricht, r = OA, bewirkt die Spiegelung am Einheitskreis genau die Transformation r e

^iϕ

7→

¹_r

e

^iϕ

.

(b) Die komplexe Konjugation entspricht genau einer Spie- gelung an der reellen Achse, die A

⁰

in A

⁰⁰

¨uberf¨uhrt.

Eine Abbildung heißt winkeltreu oder konform, wenn Win- kel unter ihr (bis auf den Drehsinn) invariant bleiben, und kreistreu, wenn sie Kreise auf Kreise transformiert; Gera- den werden dabei als Kreise mit Radius ∞ aufgefasst.

Die Inversion hat zwei sehr wichtige Eigenschaften, die wir in folgendem Lemma beweisen:

Lemma 1.1. Die komplexe Inversion ist winkeltreu und kreistreu.

Beweis. (i) Winkeltreue: Es gen¨ugt, die Erhaltung des Winkels gegen einen Radius zu beweisen, denn jeder beliebige Winkel l¨asst sich aus zwei Winkeln gegen denselben Radius zusammen setzen. Sei nun AB in obiger Abbildung (b) sehr klein. Die Dreiecke OA

⁰

B

⁰

und OBA sind ¨ahnlich, denn OA

⁰

· OA = OB

⁰

·OB = 1, also OA

⁰

/OB

⁰

= OB/OA. Es folgt α = α

⁰

, nur der Drehsinn beider Winkel ist umgekehrt.

(ii) Kreistreue: K

⁰

sei das gesuchte Bild eines Kreises K, siehe obige Abbildung (c). Wir ziehen zun¨achst den Radius OM. Drehen wir diesen Radius langsam, so w¨achst K

⁰

aus den Punkten A

⁰

und B

⁰

heraus, indem man jedesmal den Winkel ¨ubertr¨agt, den K mit diesem Radius bildet. Wegen der Winkeltreue kann also K

⁰

nichts anderes sein als ein ¨ahnliches Bild von K. Der Vergr¨oßerungsfaktor ist OB

⁰

/OA. Wenn speziell OA = 0 (d.h. K geht durch 0), so wird K

⁰

unendlich aufgebl¨aht, ist also

eine Gerade (= Kreis mit Radius ∞).

Die Inversion z 7→ w = 1/z wird oft als eine Transformation von der

” z-Ebene“ in die

” w-Ebene“

aufgefasst. Wir halten folgende Inversionsregeln fest:

Inversionsregeln

z-Ebene w-Ebene

Gerade durch 0 7→ Gerade durch 0 Gerade nicht durch 0 7→ Kreis durch 0 Mittelpunktskreis 7→ Mittelpunktskreis Kreis durch 0 7→ Gerade nicht durch 0 Kreis nicht durch 0 7→ Kreis nicht durch 0 Faustregeln:

1. Der Punkt mit dem kleinsten Abstand r vom Nullpunkt f¨uhrt zu einem Punkt mit dem gr¨oßten Abstand und umgekehrt.

2. Punkte oberhalb der reellen Achse werden in Bildpunkte unterhalb der reellen Achse transfor-

miert und umgekehrt.

(4)

2 Anwendung komplexer Zahlen bei Wechselstromwiderst¨anden

Wir betrachten im Folgenden einen Wechselstrom, der durch eine gegebene Schaltung fließt. Bei einer Spule und einem Kondensator kommt es dabei zu Phasenverschiebungen, die den sog. Blindstrom verursachen.

Es sei ein Wechselstrom mit der Spannung

U = U(t) = U

₀

cos ωt, I = I(t) = I

₀

cos(ωt + ϕ). (5) gegeben. Hierbei sind U

₀

, I

₀

> 0 die Amplitude, ϕ eine (zun¨achst unspezifizierte) Phasenverschiebung und ω > 0 die Kreisfrequenz (d.h. f = ω/(2π) die Frequenz; eine Frequenz von 50 Hz ist also ge- nau dann gegeben, wenn ω = 100π ≈ 314,15 s

⁻¹

). Wir werden oft aber ω einfach kurz

” Frequenz“

nennen, es sei denn im jeweiligen Zusammenhang kommt es auf die genaue Unterscheidung an. Der Kreisfrequenz ω entspricht die Periode oder Schwingungsdauer T = 2π/ω (= 1/ f ).

F¨ur den Grenzfall ω = 0 erhalten wir einen Wechselstrom mit konstanter Spannung, also einen Gleich- strom.

Wir werden nun, ganz nach unserer nach Gleichung (2) gewonnen Erkenntnis, Spannung und Strom gem¨aß (5) schreiben als komplexe Funktionen:

U = U

₀

e

^iωt

, I = I

₀

e

^i(ωt+ϕ)

(U

0

,I

0

∈ R, U

₀

, I

₀

> 0). (6) Wir definieren f¨ur U und I die komplexe Konstante Z durch

Z := U

₀

/I

0

e

^−iϕ

. (7)

Sie heißt Scheinwiderstand. Mit ihr gilt das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik

U = ZI, (8)

wie man direkt mit (6) nachrechnet. Der Realteil des Scheinwiderstandes ist der Wirkwiderstand R, w¨ahrend der Imagin¨arteil X der Blindwiderstand ist:

Z = R + iX = (U

₀

/I

₀

) e

^iϕ

. (9)

Es gilt R = Re (U/I ) = ( U

₀

/I

0

) cosϕ, und X = Im (U/I ) = ( U

₀

/I

0

) sinϕ . Bei Phasengleichheit zwi- schen Spannung U und Strom I, also ϕ = 0, ist der Scheinwiderstand Z reell.

Der Leitwert Y eines Scheinwiderstandes Z ist einfach sein Kehrwert:

Y = 1 Z = I

₀

U

₀

e

^−iϕ

. (10)

Er entsteht also einfach durch komplexe Inversion. Mit dem Leitwert ergibt sich f¨ur die Leistung P = U I einfach P = YU

²

.

(a) Wechselstrom durch eine Spule. Betrachten wir folgende elementare Schaltung mit einer Spu- le der Induktivit¨at L: ◦———

L

——— ◦ Der Strom durch die Spule stellt sich bei gegebener Spannung so ein, dass die induzierte Gegenspannung −L I ˙ genau dem Negativen der Spannung U entspricht, also: L I ˙ = U. Mit (6) ist also

I (t) =

Z t

0

U

L dτ = U (t)

iω L bzw. reell: I(t) =

^R₀^t^U_L

dτ =

_ωL^U⁰

cos ωt −

^π₂

. (11)

Im Reellen ist also der Strom I gegen¨uber der Spannung U aus (5) um die Phase ϕ = −

^π₂

verschoben,

s. Abb. 3.

(5)

1 2 3 4 π

−1 1

Abbildung 3:

Die Kreisfunktionen gehen durch Phasenverschiebungen umϕ= +^π₂ bzw.ϕ=−^π₂ auseinander hervor:

sinα=cos(α−^π₂),−sinα=cos(α+^π₂). Der Graph der cos-Funktion ist die dunklere Kurve.

(b) Wechselstrom durch einen Kondensator. Betrachten wir die elementare Schaltung mit einem Kondensator der Kapazität C: ◦ —— | | —— ◦ Bei einem Kondesator gilt allgemein für die Spannung U, die Ladungsmenge Q und die Kapazität C: U = Q/C. Da für den Strom immer I = Q ˙ gilt, ist I = C U, ˙ oder mit (6) bzw. (5)

I(t) = iωCU (t), bzw. reell: I(t) = −ωCU

₀

sin ωt = ωCU

₀

cos ωt +

^π₂

, (12)

¨ahnlich wie bei Gleichung (11). Der Kondensator im Reellen bewirkt also eine Phasenverschiebung des Stroms um ϕ = +

^π₂

.

(c) Wechselstrom durch einen Ohmschen Widerstand. Gegeben sei folgende Schaltung mit ei- nem Ohmschen Widerstand R: ◦———

R

———◦ Nach dem Ohmschen Gesetz gilt U = RI, also I = U/R, oder mit (6) bzw. (5):

I(t) = RU (t), bzw. reell: I(t) = U

₀

R cosω t. (13)

Ein Ohmscher Widerstand bewirkt bei Wechselstrom keine Phasenverschiebung!

Welche physikalischen Konsequenzen hat eine Phasenverschiebung um ϕ? Dazu betrachten wir z.B. die Leistung P, die durch unsere obige Spulenschaltung mit der Phasenverschiebung ϕ = −

^π₂

umgesetzt wird. Nach dem Joule’schen Gesetz gilt P = U I . Mit dem Additionstheorem

sin ωt cosω t =

¹₂

sin 2ωt

und mit den Gleichungen (5) und (11) f¨ur U und I haben wir somit: P =

₂^U_ωL⁰²

sin 2ωt. Uber eine ¨ Periode T = 2π/ω ergibt dies einen zeitlichen Mittelwert ¯ P von ¯ P =

_T¹^R₀^T

P dt, also

P ¯ = U

₀²

2 ω L · ω

2π ·

Z 2π/ω

0

sin 2 ωt dt = U

₀²

8π ωL cos 2 ωt

2π/ω

0

= 0. (14)

Die mittlere Leistung ist Null! Dies illustriert graphisch die Abb. 4. D.h. die Leistung, die die Spule in der ersten und der dritten Viertelperiode erzeugt, verbraucht sie exakt in den restlichen Viertelperi- oden. Es wird keine

” Wirkleistung“ verbraucht, nur

” Blindleistung“.

Allgemein ist ein gegen die Spannung U um die Phase ϕ verschobener Strom I gegeben durch (5).

Mit dem Additionstheorem haben wir speziell

cos(ωt + ϕ) = cos ωt cosϕ − sin ωt sin ϕ. (15)

(6)

Abbildung 4:

Die LeistungPeiner Spule im Wechselstromkreis. Der zeitliche Mittelwert der Leistung ¯Pverschwindet, denn das Integral vonP, d.h. die Summe über die eingefärbten Flächen, ist Null.

Damit spalten wir die phasenverschobene Funktion auf in eine Schwingung (der erste Summand), die genau in Phase mit der Spannung U ist, und in eine, die genau um

^π₂

verschoben ist. Der physikalische Effekt davon ist ersichtlich, wenn man die Leistung P betrachtet,

P = U I =

(15)

U

₀

I

₀

cos

²

ωt cos ϕ −U

₀

I

₀

sin ωt cosωt sin ϕ.

Bei der zeitlichen Mittelung von P sieht man sofort, dass der erste Term der letzten einen nichtver- schwindenden Beitrag liefert (solange die Phasenverschiebung ϕ 6= ±

^π₂

), w¨ahrend der zweite Term

¨uber die Periode gemittelt verschwindet, wie wir oben bei Gleichung (14) gesehen haben. In der Tat errechnet sich ¯ P =

¹₂

U

₀

I

₀

cos ϕ.

²

Definieren wir f¨ur einen um ϕ phasenverschobenen Strom also den Wirkstrom I

_W

und den Blindstrom I

_B

durch

I

_W

:= I

₀

cos ωt cos ϕ, und I

_B

:= −I

₀

sin ωt sinϕ , (16) und ferner die Wirkleistung P

W

und die Blindleistung P

B

:

P

W

:= U I

W

= U I cosϕ , und P

B

:= U I

B

= U I sin ϕ. (17) Der zeitliche Mittelwert der Blindleistung P

B

¨uber eine Periode ergibt immer Null, w¨ahrend die Wirk- leistung P

_W

f¨ur ϕ 6= ±

^π₂

nicht verschwindet. Insbesondere gilt ¯ P = P

_W

, d.h. die gemittelte Leistung ist exakt die gemittelte Wirkleistung.

F¨ur unseren obigen nur aus einer Spule bestehenden Stromkreis beispielsweise haben wir mit Glei- chung (11) eine Phasenverschiebung um ϕ = −

^π₂

, und also P

W

= I

W

= 0.

Die Wirkleistung ist diejenige Leistung, die physikalisch verbraucht bzw. erzeugt wird. Sie wird von den ¨ublichen Stromz¨ahlern gemessen und abgerechnet.

Definiert man die Wirkleistung P

W

als den Realteil der Leistung P, und die Blindleistung P

B

als deren Imagin¨arteil, d.h.

P = P

W

+ iP

B

(18)

Entsprechend definieren wir Wirkstrom I

_W

und Blindstrom I

_B

durch I

W

= I

₀

U

₀

Re [U e

^iϕ

], I

B

= I

₀

U

₀

Im [U e

^iϕ

]. (19)

Es gilt einfach I = I

W

+ iI

B

.

Entsprechend den oben angegebenen Beziehungen zwischen Spannung U und Strom I f¨ur die drei elementaren Schaltelemente bestimmen wir nun die entsprechenden komplexen Widerst¨ande Z, die Leitwerte Y und die jeweilige Leistung P:

³

2Denn (mitT=2π/ω):

ZT 0

cos²ωtdt= t

2+ 1 4ωsin 2ωt

T

0

=T

2, also P¯= 1 T

ZT 0

Pdt=U0I0

2 cosϕ.

3Beachte: 1/i=−i, was sofort ersichtlich ist, wenn man zugibt:i·(−i) =1=i·(1/i).

(7)

Z Y P = YU

²

bei t = 0

Ohmscher Widerstand

U = RI R 1

R

U

²

R

Spule

U = L I ˙ = iω LI iωL 1

iωL − iU

²

ω L

Kondensator I = C U ˙ = iωCU

1 iωC iωC iωCU

²