Komplexe Wechselstromlehre

(1)

(2)

KOMPLEXE WECHSELSTROMLEHRE ... 1

S

KRIPT

... 1

1. AUFBAU UND FUNKTIONSWEISE DES OSZILLOSKOPS...1

2. WICHTIGE REGELN FÜR KOMPLEXE ZAHLEN...4

2.1 Geometrische Veranschaulichung ...4

2.2 Darstellungen komplexer Zahlen...4

2.3 Komplexe Konjugation ...5

2.4 Rechnen mit komplexen Zahlen...5

2.4.1 Addition und Subtraktion ...6

2.4.2 Multiplikation und Division ...6

3. KOMPLEXE DARSTELLUNG ELEKTRISCHER GRÖßEN...8

3.1 Zeitfunktion harmonischer Wechselspannungen und Wechselströme...8

3.2 Zeigerdarstellung ...8

3.3 Ohmsches Gesetz ...9

3.4 Widerstände, Kondensatoren und Spulen im Wechselstromkreis ...10

3.5 Serien- und Parallelschaltung komplexer Widerstände ...11

3.5.1 Kirchhoffsche Regeln ...11

3.5.2 Ersatzwiderstände ...11

3.6 Darstellung in Zeigerdiagrammen ...11

3.7 Berechnung der Leistung im Wechselstromkreis ...12

3.8 Anwendung auf einfache Schaltungen ...13

3.8.1 Tiefpaß ...14

3.8.2 Verfahren zur Impedanzmessung...15

3.8.3 Reihenschwingkreis...17

V

ERSUCHSANLEITUNG

... 20

1. DARSTELLUNG EINER WECHSELSPANNUNG MIT HILFE DES OSZILLOSKOPS...21

2. PHASENVERSCHIEBUNG...21

3. IMPEDANZMESSUNG...22

4. FILTERSCHALTUNGEN...23

5. REIHENSCHWINGKREIS...24

LITERATURVERZEICHNIS ... 25

(3)

Skript

1. Aufbau und Funktionsweise des Oszilloskops

Schnell ablaufende elektrische Vorgänge, z.B. zeitlich veränderliche Spannungen, kann man mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop graphisch darstellen.

Abb. 1: Funktionsprinzip eines Kathodenstrahloszilloskops¹

Als Meßsystem dient eine Elektronenstrahlröhre (Braunsche Röhre, Abb. 1). Im Inneren des evakuierten Glaskolbens emittiert eine geheizte Kathode (a,b) Elektronen, die durch die zy- linderförmige Anode (e) beschleunigt werden. Diese liegt gegenüber der Kathode auf positi- vem Potential. Ihre kleine Öffnung wirkt als Lochblende. Der Elektronenstrahl (f) erzeugt auf dem fluoreszierenden Schirm (g) einen Leuchtfleck (h). Die Helligkeit dieses Flecks hängt von der Geschwindigkeit und der Dichte der auftreffenden Elektronen ab. Man kann sie durch eine Steuerelektrode, den sog. Wehneltzylinder (c), beeinflussen. Gegenüber der Ka- thode hat die Steuerelektrode negatives veränderliches Potential. Es gelangen deshalb nur Elektronen zur Anode, die eine ausreichend hohe Energie haben, um diese Potentialdiffe- renz zu überwinden. Je größer die Potentialdifferenz ist, desto weniger Elektronen erreichen den Leuchtschirm, und desto geringer ist die Helligkeit. Im Elektronenstrahl stoßen sich die negativ geladenen Elektronen gegenseitig ab. Mit Hilfe der Elektronenoptik aus Anode (e) und Hilfsanode (d) ist es möglich, den Elektronenstrahl mehr oder weniger stark zu bündeln.

Dies verändert den Durchmesser des Leuchtflecks (Punktschärfe) und dient zur Fokus- sierung. Durch elektrische Felder zwischen den Ablenkplatten (Abb. 2) kann der Elektronen- strahl in horizontaler (x) und vertikaler Richtung (y) abgelenkt werden. Ohne Spannung sieht

1 [13] S. 283

(4)

man in der Mitte des Schirms einen Leuchtpunkt. Legt man eine Gleichspannung an die y- Ablenkplatten an, so wird der Leuchtpunkt, je nach Polung der Spannung, nach oben oder unten verschoben. Die Auslenkung ist proportional zur angelegten Spannung. Beim Anlegen einer Wechselspannung bewegt sich der Leuchtpunkt im Takt der Wechselspannung. Ent- sprechendes gilt für die horizontalen Platten.

Abb. 2: Funktionsweise der y-Ablenkplatten²

Um den Leuchtpunkt von links nach rechts über den Bildschirm zu führen (Abb. 3), verwendet man eine veränderliche Spannung, die mit der Zeit linear ansteigt. Damit der Punkt dann wieder an das linke Ende des Schirms springt, muß die Spannung schnell wieder abfallen.

Bei dieser Rückführung wird der Elektronenstrahl verdunkelt. Eine hier beschriebene Span- nung nennt man Sägezahnspannung. Legt man an die vertikalen Platten eine sinusförmige Wechselspannung und an die horizontalen Platten eine Sägezahnspannung an, so erscheint am Bildschirm eine Sinuskurve.

Abb. 3: horizontale Ablenkplatten mit Sägezahnspannung³

Stimmen die Frequenzen der beiden Spannungen überein, so steht das Bild still. Die Auf- gabe, die Frequenz der Sägezahnspannung an die des Signals anzupassen, übernimmt die sog. Triggerung. Über- oder unterschreitet das Eingangssignal eine bestimmte Schwelle, wird die Erzeugung der Sägezahnspannung gestartet. Dabei kann man über einen Schalter festlegen, ob der Triggerimpuls bei einer positiven (+) oder negativen (-) Flanke des Signals, also bei ansteigender oder abfallender Spannung, ausgelöst werden soll. Bis zum nächsten auslösenden Signal bleibt der Strahl in der Ausgangslage. Haben die Signale die gleiche

2 [13] S. 284

3

(5)

Form, so erreicht man für periodische oder statistische Signale ein stehendes Bild. Dies bezeichnet man als interne Triggerung. Stellt man Signale dar, die z.B. von einem Sinusgene- rator erzeugt werden, ist es möglich, dem Oszilloskop von außen über den Eingang EXT den Triggerimpuls zuzuführen.

Im Versuch wird ein Zweikanaloszilloskop verwendet. Das bedeutet, man kann zwei Signale gleichzeitig darstellen. Dabei unterscheidet man zwei Betriebsarten. Entweder werden die Spannungsverläufe nacheinander geschrieben (ALT = Alternation mode), was bei schnellen Signalen sinnvoll ist, oder es wird schnell zwischen den beiden Eingängen hin- und herge- schaltet, so daß von jeder Kurve immer ein kleines Stück gezeichnet wird (CHOP = Chopping mode), und langsame Signale gleichzeitig dargestellt werden können. Außerdem ist es mit einem Zweikanaloszilloskop möglich, das Signal des einen Kanals als Funktion des anderen darzustellen (x-y-Betrieb), z.B. zur Aufnahme von Kennlinien, bei denen der Strom über der Spannung aufgetragen wird. Dabei wird die Sägezahnspannung nicht verwendet.

Bei jedem Kanal läßt sich durch einen Drehschalter festlegen, wie groß die dargestellte Spannung in Volt pro Skalenteilung (V/DIV) sein soll. Genauso läßt sich bei Verwendung der Sägezahnspannung einstellen, in welcher Zeit der Leuchtpunkt eine Skalenteilung (TIME/DIV) überstreicht.

Ein Eingang jedes Kanals des Zweikanaloszilloskops ist geerdet. Dies ist bei der Verwen- dung von geerdeten Spannungsquellen oder Messungen, bei denen beide Kanäle verwendet werden sollen, zu beachten.

Das Oszilloskop ist geeignet, zeitabhängige Spannungsverläufe darzustellen. Auch der zeit- liche Verlauf von Strömen läßt sich sichtbar machen, indem man sie durch einen bekannten ohmschen Widerstand fließen läßt und dann die darüber abfallende Spannung (

U

=

R I

⋅ ) mit dem Oszilloskop registriert.

Zusammenfassung

! Ein Elektronenstrahl-Oszilloskop eignet sich zur Darstellung zeitlich veränderlicher Span- nungen. Im Oszilloskop wird ein Elektronenstrahl durch elektrische Felder in horizontaler und vertikaler Richtung abgelenkt und trifft dann auf einen Leuchtschirm.

! Eine Sägezahnspannung bewegt den Leuchtpunkt in horizontaler Richtung über den Bildschirm. Die Triggerung paßt die Frequenz der Sägezahnspannung an die des Signals an, so daß ein stehendes Bild entsteht.

! Ein Zweikanaloszilloskop kann zwei Signale gleichzeitig zeitaufgelöst anzeigen oder im x-y-Modus die Spannung an einem Kanal als Funktion der Spannung am anderen Kanal darstellen.

(6)

2. Wichtige Regeln für komplexe Zahlen

In der Wechselstromlehre ist es sehr vorteilhaft mit komplexen Größen, d.h., mit Größen die durch komplexe Zahlen beschrieben werden, zu rechnen. Im folgenden werden kurz die wichtigsten Definitionen und Rechenregeln für komplexe Zahlen zusammengestellt und dann die physikalische Anwendung bei der Berechnung von Strömen, Spannungen etc. dargestellt.

2.1 Geometrische Veranschaulichung

Komplexe Zahlen kann man in der Gaußschen Zahlenebene (Abb. 4) graphisch darstellen. Die Abszis- senachse des Koordinatensystems bezeichnet man als reelle Achse.

Auf ihr liegen die reellen Zahlen.

Die Ordinatenachse nennt man imaginäre Achse.

Abb. 4: Gaußsche Zahlenebene⁴

genannt. Für

b

=

0

b

² der Betrag und

b

arctan

ϕ =

a

das Argument der komplexen Zahl

z

. Mit der Eulerschen Formel

e

^j^ϕ =

cos

ϕ+

jsin

ϕ kann man auch

z

=

z e

⋅ j^ϕ (Exponentialform) schreiben.

Zwei komplexe Zahlen sind definitionsgemäß gleich, wenn jeweils ihre Real- und ihre Imagi- närteile übereinstimmen. Ansonsten sind sie ungleich. Die Begriffe größer oder kleiner sind für diese Zahlen genau wie für Vektoren nicht sinnvoll und deshalb auch nicht definiert.

2.3 Komplexe Konjugation

2.4 Rechnen mit komplexen Zahlen

Die Menge der komplexen Zahlen bildet mit den im folgenden definierten Operationen einen Körper, den man mit " bezeichnet.

5 [10] S. 33

(8)

2.4.1 Addition und Subtraktion

Da sich die komplexen Zahlen wie Vektoren in zwei Dimensionen verhalten, wird die Addition und Sub- traktion wie bei Vektoren durchgeführt (Abb. 6). D.h., es werden die Real- und Imaginärteile getrennt ver- rechnet:

( ) ( )

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

z z a jb a jb

a a j b b

z z a jb a jb

a a j b b

+ = + + +

= + + +

− = + − +

= − + −

Abb. 6: Addition komplexer Zahlen⁶

2.4.2 Multiplikation und Division

Die Multiplikation (Abb. 7) ist definiert durch:

( ) ( )

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

z z a jb a jb

a a b b j a b b a

⋅ = + ⋅ +

= − − +

bzw.

( )

1 2 1 2

j j j

( ) ( )

1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

z a jb a jb a jb a a b b a b a b

z a jb a jb a jb a b j a b

+ + ⋅ − + −

= = = +

+ + ⋅ − + +

Es bietet sich wieder die exponentielle Darstellung an:

6 [10] S. 33

7

(9)

( )

1

1 2

2

1 1 j 1 j

2 2 j 2

z z e z

z z e z e

ϕ ϕ −ϕ

= ϕ = ⋅

Hier wird der Zeiger

z

₁ im Uhrzeigersinn um den Winkel ϕ₂ gedreht und die Länge des Zei- gers mit dem Faktor

2

1 z

verkürzt.

Zusammenfassung

! Jeder komplexen Zahl entspricht genau ein Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene.

! Komplexe Zahlen kann man in verschiedenen Formen schreiben:

( ) ^j

z

= +

a jb

=

z

⋅

cos

ϕ+

jsin

ϕ =

z e

⋅ ^ϕ

! Für die vier Grundrechenarten gilt (

z

₁ =

a

₁ +

jb

₁ =

z e

₁ ^j^ϕ¹,

z

₂ =

a

₂ +

jb

₂ =

z e

# ¹ ¹ ^j⁽ ¹ ²⁾

2 2

z z

z z e

= ⋅ ϕ −ϕ

(10)

3. Komplexe Darstellung elektrischer Größen

3.1 Zeitfunktion harmonischer Wechselspannungen und Wechselströme

Nun beschäftigen wir uns mit zeitabhängigen Spannungen und Strömen. Ändert sich nicht nur der Betrag, sondern auch die Richtung der entsprechenden Größen, so spricht man von Wech- selspannungen oder Wechselströmen. Wir be- schränken uns dabei auf den quasistationären Zu- stand, d.h. Einschwingvorgänge, die z.B. beim Ein- schalten von Spannungsquellen entstehen, sollen bereits abgeklungen sein und werden nicht behan- delt.

Abb. 8: harmonische Wechselspannung⁸

Die Spannungen sollen außerdem harmonisch sein, also durch eine Sinus- oder Kosinus- funktion (Abb. 8) beschrieben werden:

( )

ˆ

( u) ^{( )}

ˆ (

i

)

U t

=

U cos

ω

t

+ϕ

, I t

=

I cos

ω

t

+ϕ

Die Phasenwinkel ϕ_u und ϕ_i kennzeichnen den Zeitpunkt des Nulldurchgangs von Span- nung und Strom. Häufig wählt man den Ursprung des Koordinatensystems so, daß einer der Phasenwinkel verschwindet, z.B. ϕ_u =

0

. Definiert man ϕ = ϕ − ϕ_u _i, dann kann man auch

U t

^{( )} =

U cos t, I t ˆ

ω ^{( )} =

ˆ I cos

(ω − ϕ

t

) schreiben. Ist ϕ >

0

, so sagt man, daß der Strom der Spannung nachläuft. Im anderen Fall eilt der Strom der Spannung voraus.

3.2 Zeigerdarstellung

Läßt man auf dem Einheitskreis einen Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotieren und projiziert ihn auf die x-Achse, so erhält man den zeitlichen Verlauf einer Kosinusfunktion (Abb. 9). Umgekehrt kann man aber auch harmonische Wechselspannungen oder –ströme durch rotierende Zeiger darstellen. Der Momentanwert der Spannung entspricht der Projek- tion auf die x-Achse. Die Phasenverschiebung von Strom und Spannung wird durch einen

8

(11)

konstanten Winkel zwischen dem Strom- und dem Spannungszeiger repräsentiert. Nun deu- tet man die Ebene als Gaußsche Zahlenebene. Dabei soll die x-Achse der reellen Achse entsprechen. Die Zeiger werden dann formal beschrieben durch:

( ) [ ( ) ( )]

( )

[ ( ) ( ) ]

u

i

j t u u

j t i i

ˆ ˆ

u U e U cos t jsin t

ˆ ˆ

i I e I cos t jsin t

ω+ϕ ω+ϕ

= ⋅ = ω +ϕ + ω +ϕ

Der Momentanwert der Wechselgröße entspricht dem Realteil der komplexen Größe, z.B.

( ) ( )

( ˆ

^{j t}⁽ ^u⁾

) ˆ

⁽ u⁾

U t

=

Re u

=

Re Ue

^ω^+ϕ =

U cos

ω

t

+ϕ .

Abb. 9: Zeigerdarstellung harmonischer Größen⁹

3.3 Ohmsches Gesetz

Bildet man den Quotienten aus Spannung und Strom, so erhält man eine konstante Größe, den komplexen Widerstand (Impedanz)

Z

. Dies nennt man das Ohmsche Gesetz des Wechselstromkreises:

( )

( ^u) ( u i)

i

j t j j j

j t

ˆ ˆ ˆ

u Ue U U

Z i ˆ Ie ˆ I e ˆ I e Ze R jX

ω+ϕ

ϕ −ϕ ϕ ϕ

ω+ϕ

= = = = = = +

9 [14] S. 11

(12)

Dabei heißt

R

der Wirkwiderstand,

X

der Blindwiderstand und

Z

der Scheinwiderstand. Auch bei anderen komplexen Größen wird diese Nomenklatur beibehalten. Mit der Vorsilbe „Wirk“ wird immer der Realteil, mit „Blind“ der Imaginärteil und mit „Schein“

der Betrag der Größe bezeichnet (Abb. 10). Das Inverse der

Impedanz

1 Y

=

Z

nennt man den komplexen Leitwert. Abb. 10: Bezeichnungen¹⁰

3.4 Widerstände, Kondensatoren und Spulen im Wechselstromkreis

Nun wird diese Beschreibung auf Widerstände, Kondensatoren und Spulen angewandt.

Am ohmschen Widerstand

R

sind Strom und Spannung bekanntlich in Phase. Deshalb ist

R j 0

ˆ ˆ

U U

Z ˆ I e ˆ I R

= ⋅ = = .

Für den Spannungsabfall an einer Induktivität

L

(Spule) gilt

dI

U L

=

dt

. Nun setzt man in diese Gleichung einen harmonischen Wechselstrom ein:

^j2

cos jsin j

2 2

π = π + π = .

An einer Kapazität

C

(Kondensator) gilt

Q Q 1

C U Idt

U C C

= ⇒ = =

∫

^.

Nun werden Spannung und Strom in komplexer Form eingesetzt:

( _i) ( _i)

j t j t

C

1 1 ˆ 1 ˆ 1 1 j

u idt Ie dt Ie i Z

C C j C j C j C C

ω+ϕ ω+ϕ

= = = = ⇒ = = −

ω ω ω ω

∫ ∫

Deshalb ist _C

1 Z

=

C

ω ^und ^C ^u ⁱ

2

ϕ = ϕ − ϕ = −π, denn

e

^j2

cos j sin j

2 2

−π = π− π = − .

10

(13)

3.5 Serien- und Parallelschaltung komplexer Widerstände

Enthält eine Schaltung Induktivitäten und Kapazitäten und geht man bei der Berechnung der Spannung von den Gleichungen

dI

U L

=

dt

bzw.

1 U Idt

=

C ∫

aus, so ergeben sich Diffe- rentialgleichungen. Beschreibt man die Bauteile aber durch komplexe Widerstände, was für harmonische Spannungen und Ströme erlaubt ist, dann erhält man komplexe algebraische Gleichungen. In der komplexen Darstellung lassen sich die für Gleichstromkreise aufgestell- ten Gesetze auf Wechselstromkreise anwenden.

3.5.1 Kirchhoffsche Regeln

Die Kirchhoffschen Gesetze übertragen sich auf komplexe Ströme und Spannungen.

! Knotenregel:

Die Summe aller zu- und abfließenden komplexen Ströme in einem Leistungsknoten ist Null.

! Maschenregel:

Die Summe aller komplexen Spannungen entlang einer Leistungsmasche ist Null.

Dabei bedeutet die Aussage „die Summe ist Null“, daß die Zeiger der entsprechenden komplexen Größe eine geschlossene Kette in der komplexen Ebene bilden.

3.5.2 Ersatzwiderstände

Man kann auch die Ersatzwiderstände für Serien- und Parallelschaltung nach den bekannten Rechenregeln bestimmen:

Bei der Serienschaltung werden alle Schaltungselemente vom gleichen Strom durchflossen und der komplexe Gesamtwiderstand ist gleich der Summe der komplexen Einzelwider- stände.

Bei der Parallelschaltung liegt an allen Schaltungselementen die gleiche Spannung an, und der komplexe Gesamtleitwert ist gleich der Summe der komplexen Einzelleitwerte.

Der Vorteil der komplexen Darstellung liegt darin, daß man bei Induktivitäten und Kapazitä- ten keine Differentialgleichungen lösen muß und bei der Serien- oder Parallelschaltung von Impedanzen formal wie bei ohmschen Widerständen vorgehen kann.

3.6 Darstellung in Zeigerdiagrammen

Oft werden komplexe Ströme, Spannungen und Widerstände in einem sog. Zeigerdiagramm dargestellt. Da die Wahl der Nullphase willkürlich ist, wählt man zweckmäßig ϕ_i =

0

und damit ϕ = ϕ − ϕ_u _i = ϕ_u, d.h., der Stromzeiger liegt auf der reellen Achse. Mit dem Ohm-

(14)

schen Gesetz

u

Z u Z i

=

i

⇔ = ⋅ erkennt man, daß dann der Widerstands- und der Span- nungszeiger in die gleiche Richtung zeigen, nur die Länge der Zeiger ist verschieden. Man erhält z.B. für Schaltung 1 das Zeigerdiagramm Abb. 11. Hier kann man auch die Kirchhoff- sche Maschenregel nachprüfen. Die Gesamtspannung

u

ist gleich der Zeigersumme der Spannungen u_R, u_L und u_C.

Schaltung 1: Reihenschwingkreis¹¹ Abb. 11: Zeigerdiagramm zu Schaltung 1¹²

3.7 Berechnung der Leistung im Wechselstromkreis

In Wechselstromkreisen kann man bekanntlich die Momentanleistung

P

_mom( )

t

mit der Glei- chung

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ ]

mom

ˆ ˆ ˆˆ

P t U t I t U cos t I cos t UI cos t cos t 1 ˆˆ UI cos cos 2 t

2

= ⋅ = ω ⋅ ω +ϕ = ⋅ ω ω +ϕ

= ⋅ ϕ + ω +ϕ ⁽¹⁾

berechnen.

P

_mom( )

t

ist zeitabhängig und zeigt je nach Richtung der Wechselspannung und des Wechselstroms positive oder negative Energieflüsse. Man interessiert sich meist für die effektive Leistung

P

_eff, die man erhält, wenn man die Momentanleistung über eine Periode

mittelt: ( ) ( ) ( )

T

eff mom eff eff

0

1 1 ˆˆ

P P t dt UI cos U I cos

T 2

=

∫

= ⋅ ϕ = ⋅ ϕ

Will man die Leistung aus komplexen Größen berechnen, so kann man die komplexe Span- nung

u

mit dem konjugiert Komplexen

i

^* des komplexen Stroms multiplizieren. Dabei heben sich die Zeitabhängigkeiten von Spannung und Strom gegenseitig weg. Man braucht deshalb keinen zeitlichen Mittelwert zu berechnen:

11 [14] S. 15

12

(15)

( ) ( )

*

ˆ

j t

ˆ

j t

ˆˆ

j

ˆˆ

u i

⋅ =

Ue

^ω ⋅

Ie

^{− ω}^+ϕ =

UI e

⋅ ^{− ϕ} =

UI cos

ϕ −

jsin

ϕ (2) Vergleicht man den Realteil von (2) mit

P

_eff, so stellt man eine Übereinstimmung bis auf

einen Faktor

1

2

fest. In diesem Skript wurde die Darstellung der Zeigergrößen in Scheitel- werten gewählt. Deshalb erhält man die effektive Leistung als Realteil der Gleichung

1

*

S u i

=

2

⋅ .

Es ist aber auch möglich, eine Zeigerdarstellung in Effektivwerten zu verwenden, d.h.

( ) ( )

j t j t j t j t

eff eff

ˆ ˆ

U I

u U e e , i I e e

2 2

ω ω ω+ϕ ω+ϕ

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ . Dann kann man mit

S

=

u i

[ ]

{ }

⁽ ⁾

( )

j t j t j 2 t

mom

ˆ ˆ ˆˆ

Re u i Re Ue Ie Re UI e

ˆˆ ˆˆ

Re UI cos 2 t jsin 2 t UI cos 2 t

P t

ω ω+ϕ ω+ϕ

⋅ = ⋅ = ⋅

= ⋅ ω +ϕ − ω +ϕ = ⋅ ω +ϕ

≠

Eine Unterscheidung zwischen der Darstellung in Effektiv- oder Scheitelwerten ist nur bei der Berechnung der Leistung relevant, da hier ein Produkt aus zwei komplexen Größen gebildet wird. Beim Berechnen eines komplexen Widerstandes dagegen, tritt stets ein Quotient aus einer komplexer Spannung und einem komplexem Strom auf, so daß sich die Faktoren 2 gegenseitig herausheben.

3.8 Anwendung auf einfache Schaltungen

Nun soll das bisher dargestellte Wissen zur Berechnung einfacher Schaltungen, eines sog.

Tiefpasses, einer Meßanordnung für Impedanzen und eines Reihenschwingkreises ange- wendet werden.

(16)

3.8.1 Tiefpaß

Schaltung 2: Tiefpaß

Wählt man für die Wechselspannung in Schaltung 2 eine große Frequenz, dann wird der Scheinwiderstand _C

1 Z

=

C

ω klein. Am Kondensator fällt nur eine geringe Spannung ab und die Ausgangsspannung ist klein.

Ist dagegen die Frequenz klein, so ist der Scheinwiderstand des Kondensators groß und die Ausgangsspannung gleich der Eingangsspannung. Der Tiefpaß läßt bevorzugt tiefe Fre- quenzen passieren. Derartig Schaltungen dienen als Komponenten von Frequenzfiltern.

Es handelt sich um eine Serienschaltung. Deshalb erhält man den Gesamtwiderstand durch Addition der Einzelwiderstände: _R _C

1 Z Z Z R

= + = +

j C

ω . Nach dem Ohmschen Gesetz gilt für den Strom

u

ⁱⁿ

i

=

Z

. Dieser fließt durch den Kondensator und man kann die Span- nung am Kondensator _out _C

1 u

ⁱⁿ

1 u iZ i

j C Z j C

= = =

ω ω berechnen. Man stellt das Verhältnis aus Ausgangs- und Eingangsspannung (Übertragungsfunktion)

g

⁽ω⁾ als Funktion der Fre- quenz dar:

( )

out in

2

u 1 1 1 1 1 j RC

g u Z j C R 1 j C j RC 1 1 j RC 1 j RC

j C 1 j RC

1 RC

ω = = ⋅ ω =  + ω  ω = ω + = + ω ⋅ − ω− ω

= − ω + ω

Für den Betrag

g

⁽ω⁾ und das Argument ϕ ω⁽ ⁾ der Übertragungsfunktion gilt:

( ) ( )

( )

⁽ ⁾

out out

in in 2

U ˆ

u 1

g g u U ˆ RC 1

arctan Im g arctan RC Re g

ω = ω = = =

ω +

ϕ ω = ω = −ω

ω

Abb. 12 und Abb. 13 zeigen den Verlauf von

g

⁽ω⁾ und ϕ ω⁽ ⁾ für

R

=

47

Ω und

C

= µ

1 F

.

(17)

Abb. 12: Betrag von

g

⁽ω⁾ in Abhängigkeit der Fre- quenz ω

Abb. 13: Argument von

g

⁽ω⁾ in Abhängigkeit der Frequenz ω

3.8.2 Verfahren zur Impedanzmessung

Eine Methode zur Bestimmung von Impedanzen nützt die Darstellung von zwei Spannungs- momentanwerten im x-y-Modus des Oszilloskops.

Die Serienschaltung (Schaltung 3) aus einer unbekannten Impedanz

Z

=

Z e

⋅ ^j^ϕ und einem bekannten Widerstand

R

wird mit einer Wechselspannung versorgt. Diese verursacht einen Strom

i

=

ˆ I cos t

ω . Am Widerstand fällt die Spannung

u

_y =

RI cos t ˆ

ω ab, die mit dem Strom in Phase ist. Diese wird an die y-Ablenkung des Oszilloskops angeschlossen. Die an der Impedanz

Z

abfallende Spannung

u

_x =

Z I cos ˆ

(ω

t

+ϕ) dient zur x-Ablenkung. Die beiden Spannungen beschreiben durch

( )

ZI cos ˆ t RI cos ˆ t

 ⋅ ω +ϕ 

 

 ⋅ ω 

 

 

eine zum Ursprung symmetri- sche, aber gedrehte Ellipse auf dem Bildschirm des Oszilloskops (Abb. 14). Für ϕ =

0

und

ϕ = π entartet diese zu einer Geraden.

t 2

ω +ϕ = + π. Dann gilt

2k 1

t 2

ω = + π − ϕ und deshalb:

( ^2k ¹ ) ( ^2k ¹ )

^{( )}

( ^2k ¹ )

^{( )}

cos t cos cos cos sin sin sin

2 2 2

+ + +

ω = π − ϕ = π ϕ − π ϕ = ± ϕ

.

Durch Kombination der drei Spannungen erhält man:

2 2

3

1 1

3

U U

arcsin RI ˆ arcsin U

U U

Z Z ˆ I R U

ϕ = ± = ±

= = =

Das Vorzeichen der Phasenverschiebung bestimmt man aus dem Umlaufsinn der Ellipse

( )

ZI cos ˆ t RI cos ˆ t

 ⋅ ω +ϕ 

 

 ⋅ ω 

 

 

. Ist ϕ >

0

, so erreicht

u

_x den Maximalwert

U

₁, bevor

u

_y den Wert

U

3 annimmt. Also ist der Umlaufsinn gegen den Uhrzeigersinn. Ist dagegen ϕ <

0

, so wird die Ellipse im Uhrzeigersinn durchlaufen. Bei Frequenzen, die größer als

10 Hz

sind, ist es unmöglich, den Umlaufsinn zu erkennen. Wenn man jedoch durch schnelles Vergrößern der Wechselspannungsamplitude die Ellipse zu einer Spirale auseinanderzieht, kann man den Umlaufsinn sichtbar machen.

13

(19)

In Schaltung 3 ist die Erdung durch die Verwendung des Oszilloskops festgelegt. Deshalb muß eine massefreie Spannungsquelle benutzt werden. Außerdem ist der Kanal von

u

_y zu invertieren, da ansonsten das Bild auf dem Kopf steht.

3.8.3 Reihenschwingkreis

Schaltung 4: Reihenschwingkreis

Schaltung 4 zeigt einen Reihen- oder Serienschwing- kreis. Für den Gesamtwiderstand gilt:

( )

R C L

1 Z Z Z Z R j L

j C R j L 1

C

= + + = + + ω ω

= + ω − ω

Die Wechselspannung

u

sorgt dafür, daß in allen Bauteilen der gleiche Strom

u

i

=

Z

fließt.

Die Spannung u_C wird am Kondensator abgegriffen, deshalb gilt:

C C C

C C

Z u Z

u Z i u

Z u Z

= ⋅ = ⇒ = . Analog ergibt sich

u

^R

Z

^R

u

=

Z

. Bildet man jeweils die Beträge, dann erhält man das Verhältnis

g

⁽ω⁾ der Spannungsamplituden:

( )

( ) ⁽ ⁾

( )

C C 2 4 2 2 2 2 2

2

R R 2

2

ˆ 1

U C 1

g U ˆ 1 L C R C 2LC 1

R L

C

U ˆ R

g U ˆ 1

R L

C

ω = = ω =

ω +ω − +

+ ω − ω

ω = =

+ ω − ω

Stellt man diese Verhältnisse für nicht zu große Widerstände graphisch als Funktion der Frequenz ω (

R

=

47

Ω,

L

=

2 mH

,

C

= µ

4 F

) dar, so erkennt man, daß die Kurven ein Maximum haben (Abb. 15, Abb. 16). Es tritt Resonanz auf.

(20)

Abb. 15: Spannungsverhältnis am Kondensator in Ab- hängigkeit der Frequenz ω

Abb. 16: Spannungsverhältnis am Widerstand in Ab- hängigkeit der Frequenz ω

Nun muß man noch das jeweilige Maximum bestimmen. Dabei genügt es, mit Hilfe der Diffe- rentialrechnung das Minimum der Funktion unter dem Wurzelzeichen zu ermitteln. Die Wur- zelfunktion ist streng monoton wachsend, d.h., man kann die Extremwerte der Funktion unter dem Wurzelzeichen bestimmen und dann schließen, daß an dieser Stelle auch die Wurzel- funktion ein Extremum hat. Da das Wurzelzeichen im Nenner steht, und der Zähler nicht von

ω abhängt, hat der Betrag der Übertragungsfunktion

g

⁽ω⁾ an der Stelle ω_r ein Maximum, wenn die Wurzelfunktion bei ω_r ein Minimum hat.

Am Kondensator gilt:

( )

{ } ( )

r

4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 !

2 2 2

C 2

d L C R C 2LC 1 4L C 2R C 4LC 0

d

4LC 2R C 1 R

2LC LC 2L

ω +ω − + = ω ω + − =

ω

⇒ ω = − = −

Die negative Lösung und die Lösung ω =

0

entfallen, da sie physikalisch nicht sinnvoll sind.

Die Ableitung hat an der Stelle

Cr

ω einen Vorzeichenwechsel von - nach +, d.h., der Nenner des Spannungsverhältnisses hat dort ein Minimum. Aus diesem Grund liegt bei

Cr

ω das Ma- ximum des Spannungsverhältnisses.

Cr

ω heißt Resonanzfrequenz des Schwingkreises.

Betreibt man den Schwingkreis ohne Widerstand, d.h.

R

=

0

, so geht obige Formel für

Cr

ω über in die bekannte Thompsongleichung für die Eigenfrequenz des Schwingkreises

e

1

ω =

LC

. Verwendet man einen großen Widerstand, dann wird

2 2

1 R

LC

−

2L

<

0

, und es tritt keine Schwingung mehr auf (Kriechfall).

Eine analoge Rechnung liefert für die Resonanzfrequenz beim Abgriff der Spannung am Wi- derstand

Rr

1

ω =

LC

.

(21)

Zusammenfassung

! Wechselspannungen und Wechselströme lassen sich durch Zeiger beschreiben:

( ) [ ( ) ( )]

( )

[ ( ) ( ) ]

u

i

j t u u

j t i i

ˆ ˆ

u U e U cos t jsin t

ˆ ˆ

i I e I cos t jsin t

ω+ϕ ω+ϕ

= ⋅ = ω +ϕ + ω +ϕ

Dabei entspricht der Realteil der komplexen Größe dem Momentanwert der Wechsel- größe.

! Der Quotient aus Spannung und Strom ist konstant (Ohmsches Gesetz):

( )

( ^u) ( u i)

i

j t j j j

j t

ˆ ˆ ˆ

u Ue U U

Z i ˆ Ie ˆ I e ˆ I e Ze R jX

ω+ϕ

ϕ −ϕ ϕ ϕ

ω+ϕ

= = = = = = +

Für ideale Bauteile gilt:

#

Z

_R =

R

#

Z

_L =

j L

ω

# _C

1 Z

=

j C

ω

! Kirchhoffsche Regeln:

# Knotenregel:

Die Summe aller zu- und abfließenden komplexen Ströme in einem Leistungsknoten ist Null.

# Maschenregel:

Die Summe aller komplexen Spannungen entlang einer Leistungsmasche ist Null.

! Für die Berechnung von Ersatzwiderständen gilt:

# Parallelschaltung:

ers k k

1 1

Z

=

∑ Z

(22)

Versuchsanleitung

Vorbereitung

Aufbau und Funktionsweise eines Oszilloskops; komplexe Darstellung elektrischer Größen;

Ohmsches Gesetz; Widerstände, Kondensatoren und Spulen im Wechselstromkreis;

Kirchhoffsche Regeln; Ersatzwiderstände bei Serien- und Parallelschaltung; Darstellung von Kapazitäten, Induktivitäten und ohmschen Widerständen in Zeigerdiagrammen; Tiefpaß, Hochpaß, Bandpaß; Reihenschwingkreis; Verfahren zur Impedanzmessung

Literatur

Für den Versuch notwendige Kenntnisse:

! Skript „Komplexe Wechselstromlehre“

Zur Vertiefung:

! Beuth, Klaus; Beuth, Olaf; Elementare Elektronik: Mit Grundlagen der Elektrotechnik, 5.

überarb. Aufl., Würzburg: Vogel, 1997

! Eichler, Hans; Kronfeldt, Heinz-Detlef; Sam, Jürgen; Das neue physikalische Grundpraktikum, 1. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 2001

! Hering, Ekbert; Bressler, Klaus; Gutekunst, Jürgen; Elektronik für Ingenieure, 1. Aufl., Düsseldorf: VDI, 1992

! Hering, Ekbert; Martin, Rolf; Stohrer, Martin; Physik für Ingenieure, 6. Aufl., Berlin u.a.:

Springer, 1997

! Rost, Albrecht; Grundlagen der Elektronik: Ein Einstieg für Naturwissenschaftler und Techniker, 3. vollst. überarb. und erg. Aufl., Berlin: Akademie, 1992

! Schwetlick, Horst; Kessel, Werner; Elektronikpraktikum für Naturwissenschaftler, hrsg.

von Bethge, Klaus, 1. Aufl., Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1992

! Straumann, Marc; Heidelberg, 22. April 1999, http://mathphys.fsk.uni- heidelberg.de/skripte/Files/Physik/Elektronik/elektronik_straumann.ps

! Weddigen, Christian; Jüngst, Wolfgang; Elektronik: Eine Einführung für

Naturwissenschaftler und Ingenieure mit Beispielen zur Computer-Simulation, 2.

neubearb. und erw. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 1993 Hinweis zur Bedienung des Oszilloskops

Beachten Sie bei der Verwendung des Oszilloskops, daß am Oszilloskop je ein Eingang jedes Kanals geerdet ist, und bauen Sie die Schaltungen so auf, daß die verwendete Span-

(23)

nungsquelle nicht kurzgeschlossen ist. Dazu ist es bei der Verwendung eines Adapters von der BNC-Buchse auf Laborkabel notwendig, zu testen, welcher Anschluß mit dem geerdeten äußeren Metallring des BNC-Kabels verbunden ist.

1. Darstellung einer Wechselspannung mit Hilfe des Oszilloskops

Der Transformator dient als Spannungsquelle. Geben Sie nacheinander

6 V

und

12 V

Wechselspannung auf einen Eingang des Oszilloskops. Bringen Sie das Bild zum Stehen, und machen Sie eine Periodendauer der Sinusschwingung sichtbar, indem Sie eine geeig- nete Zeitablenkung (TIME/DIV), Triggerung und Amplitudenverstärkung (V/DIV) wählen.

a)

Lesen Sie die Amplitude der Wechselspannung am Oszilloskop ab, und vergleichen Sie sie mit der Ausgangsspannung des Transformators. Messen Sie die Wechselspannung zusätzlich mit dem Multimeter. Erklären Sie, warum sich die Werte unterscheiden.

b)

Bestimmen Sie am Oszilloskop die Frequenz der angelegten Spannung, und vergleichen Sie diese mit dem erwarteten Wert.

2. Phasenverschiebung

Verwenden Sie nun beide Eingänge des Oszilloskops, um die Phasenbeziehung der Spannungen an verschiedenen Bauteilen zu untersuchen. Ein Kanal des Oszilloskops muß invertiert werden, da sonst eine Pha- senverschiebung der Spannungen von

180°

durch die Schaltung hervorgerufen wird, weil je ein Eingang jedes Kanals geerdet ist.

Schaltung 5

Bestimmen Sie die Phasenverschiebung

R Z

U U

ϕ = ϕ − ϕ zwischen den Spannungen am Widerstand und an der Impedanz

Z

. Messen Sie außerdem die Amplituden der abfallenden Spannungen. Vergleichen Sie Ihre Beobachtung mit Ihren Erwartungen (Zeigerdiagramm) für folgende Kombinationen von Widerstand und Impedanz in Schaltung 5:

a) R

=

47

Ω und

R

=

1 k

Ω als Impedanz

als Impedanz

in

U

halblogarithmisch als Funktion der Frequenz auf, und zeichnen Sie jeweils die theoretisch erwarteten Werte ein.

c)

Stellen Sie am Funktionsgenerator die maximale Ausgangsspannung ein, und überzeu- gen Sie sich, daß diese bei Schaltung 9 im interessanten Frequenzbereich (ab

10 Hz

) im wesentlichen konstant bleibt. Betrachten Sie nun die Ausgangsspannung des Filters und bestimmen Sie so den Frequenzbereich, in dem diese ansteigt bzw. absinkt. Folgern Sie daraus, um welche Art Filter es sich handelt, und überlegen Sie, wie Schaltung 9 mit Schaltung 7 und Schaltung 8 zusammenhängt.

d)

Mit welchen Schaltungen, kann man ähnliche Filtereigenschaften erzielen (nur prinzi- piellen Aufbau erklären, keine Größen etc. berechnen)?

(26)

5. Reihenschwingkreis

Bei Schaltung 10 treten im Resonanzbe- reich hohe Spannungen auf. Verwenden Sie als Ausgangsspannung des Funk- tionsgenerators konstant

U

=

1 V

!

Schaltung 10

a)

Messen Sie für die Widerstandswerte

0

Ω,

23, 5

Ω (Parallelschaltung aus zwei

47

Ω Widerständen) und

47

Ω das Verhalten von ^out

in

U

(Frequenzbereich

50 Hz

…

20 kHz

, mindestens 20 Meßpunkte) in Schaltung 10. Greifen Sie dabei die Ausgangsspannung einmal am Widerstand (für

23, 5

Ω und

47

Ω) und einmal am Kondensator ab.

b)

Prüfen Sie, ob die ermittelte Resonanzfrequenz mit der theoretisch berechneten Fre- quenz übereinstimmt.

c)

Tragen Sie Ihre Meßwerte und die theoretisch erwarteten Werte für die Spannung am Widerstand und die Spannung am Kondensator in halblogarithmischen Diagrammen auf.

d)

Welche Unterschiede erkennen Sie zwischen der Meßkurve beim Abgriff der Spannung am Widerstand und am Kondensator.

e)

Ordnen Sie den Meßkurven die Ihnen z.B. aus der Mechanik bekannten Begriffe für eine gedämpfte Schwingung zu.

(27)

Literaturverzeichnis

[1] Bergmann, Ludwig; Schäfer, Clemens; Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 6 Festkörper, hrsg. von Raith, Wilhelm, Autoren Freyhardt, Herbert et al., 1. Aufl., Berlin, New York: de Gruyter, 1992

[2] Best, Christoph et al.; Taschenbuch der Physik: Formeln, Tabellen, Übersichten, hrsg.

von Stöcker, Horst, 3. völlig überarb. und erw. Aufl., Frankfurt am Main, Thun: Deutsch, 1998

[3] Beuth, Klaus; Beuth, Olaf; Elementare Elektronik: Mit Grundlagen der Elektrotechnik, 5.

überarb. Aufl., Würzburg: Vogel, 1997

[4] Bronstein, I.N. et. al.; Taschenbuch der Mathematik, 4. überarb. und erw. Aufl. der Neubearb., Frankfurt am Main, Thun: Deutsch, 1999

[5] Dobrinski, Paul; Krakau, Gunter; Vogel, Anselm; Physik für Ingenieure, 8. überarb. und erw. Aufl., Stuttgart: Teubner, 1993

[6] Eckstein, Peter; Repetitorium Statistik: Deskriptive Statistik, Stochastik, Induktive Stati- stik, 4. vollst. überarb. und erw. Aufl., Wiesbaden: Gabler, 2001

[7] Eichler, Hans; Kronfeldt, Heinz-Detlef; Sam, Jürgen; Das neue physikalische Grund- praktikum, 1. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 2001

[8] Goerth, Joachim; Bauelemente und Grundschaltungen, 1. Aufl., Stuttgart, Leipzig:

Teubner, 1999

[9] Goßner, Stefan; Grundlagen der Elektronik: Halbleiter, Bauelemente und Schaltungen, 1. Aufl., Aachen: Shaker, 2001

[10] Hering, Ekbert; Bressler, Klaus; Gutekunst, Jürgen; Elektronik für Ingenieure, 1. Aufl., Düsseldorf: VDI, 1992

[11] Hering, Ekbert; Martin, Rolf; Stohrer, Martin; Physik für Ingenieure, 6. Aufl., Berlin u.a.:

Springer, 1997

[12] Koß, Günther; Reinhold, Wolfgang; Lehr- und Übungsbuch Elektronik, 2. bearb. Aufl., München, Wien: Carl Hanser, 2000

[13] Meister, Heinz; Elektrotechnische Grundlagen: Mit Versuchsanleitungen und Rechen- beispielen, 9. überarb. Aufl., Würzburg: Vogel, 1991

[14] Rost, Albrecht; Grundlagen der Elektronik: Ein Einstieg für Naturwissenschaftler und Techniker, 3. vollst. überarb. und erg. Aufl., Berlin: Akademie, 1992

[15] Schwetlick, Horst; Kessel, Werner; Elektronikpraktikum für Naturwissenschaftler, hrsg.

von Bethge, Klaus, 1. Aufl., Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1992

(28)

[16] Straumann, Marc; Heidelberg, 22. April 1999, http://mathphys.fsk.uni- heidelberg.de/skripte/Files/Physik/Elektronik/elektronik_straumann.ps

[17] Tietze, Ulrich; Schenk, Christoph; Halbleiterschaltungstechnik, 8. überarb. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 1986

[18] Vogel, Helmut; Gerthsen Physik, 19. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 1997

[19] Weddigen, Christian; Jüngst, Wolfgang; Elektronik: Eine Einführung für Naturwissen- schaftler und Ingenieure mit Beispielen zur Computer-Simulation, 2. neubearb. und erw. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 1993

Komplexe Wechselstromlehre