I MPEDANZMESSUNG

Durch Kombination der drei Spannungen erhält man:

2 2

Das Vorzeichen der Phasenverschiebung bestimmt man aus dem Umlaufsinn der Ellipse

( )

U

3 annimmt. Also ist der Umlaufsinn gegen den Uhrzeigersinn. Ist dagegen ϕ <

0

, so wird die Ellipse im Uhrzeigersinn durchlaufen. Bei Frequenzen, die größer als

10 Hz

sind, ist es unmöglich, den Umlaufsinn zu erkennen. Wenn man jedoch durch schnelles Vergrößern der Wechselspannungsamplitude die Ellipse zu einer Spirale auseinanderzieht, kann man den Umlaufsinn sichtbar machen.

13

In Schaltung 3 ist die Erdung durch die Verwendung des Oszilloskops festgelegt. Deshalb muß eine massefreie Spannungsquelle benutzt werden. Außerdem ist der Kanal von

u

_y zu invertieren, da ansonsten das Bild auf dem Kopf steht.

3.8.3 Reihenschwingkreis

Schaltung 4: Reihenschwingkreis

Schaltung 4 zeigt einen Reihen- oder Serienschwing-kreis. Für den Gesamtwiderstand gilt:

( )

Die Wechselspannung

u

sorgt dafür, daß in allen Bauteilen der gleiche Strom

u

i

=

Z

fließt.

Die Spannung u_C wird am Kondensator abgegriffen, deshalb gilt:

C C C Beträge, dann erhält man das Verhältnis

g

⁽ω⁾ der Spannungsamplituden:

( )

Stellt man diese Verhältnisse für nicht zu große Widerstände graphisch als Funktion der Frequenz ω (

R

=

47

Ω,

L

=

2 mH

,

C

= µ

4 F

) dar, so erkennt man, daß die Kurven ein Maximum haben (Abb. 15, Abb. 16). Es tritt Resonanz auf.

Abb. 15: Spannungsverhältnis am Kondensator in Ab-hängigkeit der Frequenz ω

Abb. 16: Spannungsverhältnis am Widerstand in Ab-hängigkeit der Frequenz ω

Nun muß man noch das jeweilige Maximum bestimmen. Dabei genügt es, mit Hilfe der Diffe-rentialrechnung das Minimum der Funktion unter dem Wurzelzeichen zu ermitteln. Die Wur-zelfunktion ist streng monoton wachsend, d.h., man kann die Extremwerte der Funktion unter dem Wurzelzeichen bestimmen und dann schließen, daß an dieser Stelle auch die Wurzel-funktion ein Extremum hat. Da das Wurzelzeichen im Nenner steht, und der Zähler nicht von

ω abhängt, hat der Betrag der Übertragungsfunktion

g

⁽ω⁾ an der Stelle ω_r ein Maximum, wenn die Wurzelfunktion bei ω_r ein Minimum hat.

Am Kondensator gilt:

Die negative Lösung und die Lösung ω =

0

entfallen, da sie physikalisch nicht sinnvoll sind.

Die Ableitung hat an der Stelle

Cr

ω einen Vorzeichenwechsel von - nach +, d.h., der Nenner des Spannungsverhältnisses hat dort ein Minimum. Aus diesem Grund liegt bei

Cr

ω das Ma-ximum des Spannungsverhältnisses.

Cr

ω heißt Resonanzfrequenz des Schwingkreises.

Betreibt man den Schwingkreis ohne Widerstand, d.h.

R

=

0

, so geht obige Formel für

Cr

ω über in die bekannte Thompsongleichung für die Eigenfrequenz des Schwingkreises

e

1

ω =

LC

. Verwendet man einen großen Widerstand, dann wird

2 2

1 R

LC

−

2L

<

0

, und es tritt keine Schwingung mehr auf (Kriechfall).

Eine analoge Rechnung liefert für die Resonanzfrequenz beim Abgriff der Spannung am Wi-derstand

Rr

1

ω =

LC

.

Zusammenfassung

! Wechselspannungen und Wechselströme lassen sich durch Zeiger beschreiben:

( ) [ ( ) ( )]

Dabei entspricht der Realteil der komplexen Größe dem Momentanwert der Wechsel-größe.

! Der Quotient aus Spannung und Strom ist konstant (Ohmsches Gesetz):

( )

Die Summe aller zu- und abfließenden komplexen Ströme in einem Leistungsknoten ist Null.

# Maschenregel:

Die Summe aller komplexen Spannungen entlang einer Leistungsmasche ist Null.

! Für die Berechnung von Ersatzwiderständen gilt:

# Parallelschaltung:

ers k k

1 1

Z

=

∑ Z

# Serienschaltung: _{ers k}

k

Z

=

∑ Z

! Komplexe Widerstände und Spannungen stellt man oft in Zeigerdiagrammen dar. Meist wählt man ϕ_i =

0

, und deshalb zeigen der Widerstands- und der Spannungszeiger in die gleiche Richtung.

! Für die Berechnung der zeitlich gemittelten Leistung mit komplexen Größen gilt:

# Darstellung in Effektivwerten:

S

=

u i

⋅ ^* =

P

+

jQ

# Darstellung in Scheitelwerten:

1

^*

S u i P jQ

=

2

⋅ = +

Versuchsanleitung

Vorbereitung

Aufbau und Funktionsweise eines Oszilloskops; komplexe Darstellung elektrischer Größen;

Ohmsches Gesetz; Widerstände, Kondensatoren und Spulen im Wechselstromkreis;

Kirchhoffsche Regeln; Ersatzwiderstände bei Serien- und Parallelschaltung; Darstellung von Kapazitäten, Induktivitäten und ohmschen Widerständen in Zeigerdiagrammen; Tiefpaß, Hochpaß, Bandpaß; Reihenschwingkreis; Verfahren zur Impedanzmessung

Literatur

Für den Versuch notwendige Kenntnisse:

! Skript „Komplexe Wechselstromlehre“

Zur Vertiefung:

! Beuth, Klaus; Beuth, Olaf; Elementare Elektronik: Mit Grundlagen der Elektrotechnik, 5.

überarb. Aufl., Würzburg: Vogel, 1997

! Eichler, Hans; Kronfeldt, Heinz-Detlef; Sam, Jürgen; Das neue physikalische Grundpraktikum, 1. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 2001

! Hering, Ekbert; Bressler, Klaus; Gutekunst, Jürgen; Elektronik für Ingenieure, 1. Aufl., Düsseldorf: VDI, 1992

! Hering, Ekbert; Martin, Rolf; Stohrer, Martin; Physik für Ingenieure, 6. Aufl., Berlin u.a.:

Springer, 1997

! Rost, Albrecht; Grundlagen der Elektronik: Ein Einstieg für Naturwissenschaftler und Techniker, 3. vollst. überarb. und erg. Aufl., Berlin: Akademie, 1992

! Schwetlick, Horst; Kessel, Werner; Elektronikpraktikum für Naturwissenschaftler, hrsg.

von Bethge, Klaus, 1. Aufl., Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1992

! Straumann, Marc; Heidelberg, 22. April 1999, http://mathphys.fsk.uni-heidelberg.de/skripte/Files/Physik/Elektronik/elektronik_straumann.ps

! Weddigen, Christian; Jüngst, Wolfgang; Elektronik: Eine Einführung für

Naturwissenschaftler und Ingenieure mit Beispielen zur Computer-Simulation, 2.

neubearb. und erw. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 1993 Hinweis zur Bedienung des Oszilloskops

Beachten Sie bei der Verwendung des Oszilloskops, daß am Oszilloskop je ein Eingang je-des Kanals geerdet ist, und bauen Sie die Schaltungen so auf, daß die verwendete

Span-nungsquelle nicht kurzgeschlossen ist. Dazu ist es bei der Verwendung eines Adapters von der BNC-Buchse auf Laborkabel notwendig, zu testen, welcher Anschluß mit dem geerdeten äußeren Metallring des BNC-Kabels verbunden ist.

1. Darstellung einer Wechselspannung mit Hilfe des Oszilloskops

Der Transformator dient als Spannungsquelle. Geben Sie nacheinander

6 V

und

12 V

Wechselspannung auf einen Eingang des Oszilloskops. Bringen Sie das Bild zum Stehen, und machen Sie eine Periodendauer der Sinusschwingung sichtbar, indem Sie eine geeig-nete Zeitablenkung (TIME/DIV), Triggerung und Amplitudenverstärkung (V/DIV) wählen.

a)

Lesen Sie die Amplitude der Wechselspannung am Oszilloskop ab, und vergleichen Sie sie mit der Ausgangsspannung des Transformators. Messen Sie die Wechselspannung zusätzlich mit dem Multimeter. Erklären Sie, warum sich die Werte unterscheiden.

b)

Bestimmen Sie am Oszilloskop die Frequenz der angelegten Spannung, und vergleichen Sie diese mit dem erwarteten Wert.

2. Phasenverschiebung

Verwenden Sie nun beide Eingänge des Oszilloskops, um die Phasenbeziehung der Spannungen an ver-schiedenen Bauteilen zu untersuchen. Ein Kanal des Oszilloskops muß invertiert werden, da sonst eine Pha-senverschiebung der Spannungen von

180°

durch die Schaltung hervorgerufen wird, weil je ein Eingang jedes Kanals geerdet ist.

Schaltung 5

Bestimmen Sie die Phasenverschiebung

R Z

U U

ϕ = ϕ − ϕ zwischen den Spannungen am Widerstand und an der Impedanz

Z

. Messen Sie außerdem die Amplituden der abfallenden Spannungen. Vergleichen Sie Ihre Beobachtung mit Ihren Erwartungen (Zeigerdiagramm) für folgende Kombinationen von Widerstand und Impedanz in Schaltung 5:

a) R

=

47

Ω und

R

=

1 k

Ω als Impedanz

Z

b) R

=

1 k

Ω und

C

= µ

4 F

als Impedanz

Z

c) R

=

47

Ω und

L

=

2 mH

als Impedanz

Z

(3. Impedanzmessung) Aufgabe 3 ist nicht durchzuführen!!!!!

Verwenden Sie Schaltung 6 zur Impedanzmessung. Einer der Eingänge des Oszilloskops ist zu invertieren. Lesen Sie die nötigen Spannungswerte ab, um den Betrag und die Phasen-verschiebung der Impedanz

Z

berechnen zu können.

a)

Verwenden Sie den

6 V

-Ausgang des Transformators als Spannungsquelle und einen

1 kΩ

-Widerstand. Als Impedanz dient ebenfalls ein ohmscher Widerstand mit dem Wi-derstandswert

R

=

47

Ω. Erklären Sie Ihre Beobachtung.

b)

Als Spannungsquelle dient der Funktionsgenerator, der über den

12 V

-Ausgang des Transformators versorgt wird. Verwenden Sie als ohmschen Widerstand

R

=

1 k

Ω und eine Serienschaltung aus

R

=

470

Ω und

C

= µ

4 F

als Impedanz. Wählen Sie zu-nächst eine sinusförmige Spannung der Frequenz

100 Hz

, und lesen Sie die Span-nungswerte

U

₁,

U

₂ und

U

₃ ab. Stellen Sie dann eine kleine Frequenz ein, um den Umlaufsinn der Ellipse erkennen zu können. Berechnen Sie unter der Annahme, daß der ohmsche Widerstand tatsächlich einen Wert von

R

=

470

Ω hat, die Kapazität und den ohmschen Widerstandsanteil des Kondensators.

c)

Als Spannungsquelle dient wieder der Funktionsgenerator. Stellen Sie bei Schalterstel-lung „Sinus“

4 kHz

ein. Verwenden Sie als ohmschen Widerstand

R

=

47

Ω und

L

=

2 mH

als Impedanz. Berechnen Sie aus Ihrer Messung die Induktivität der Spule.

Schaltung 6

Im Dokument Komplexe Wechselstromlehre (Seite 18-25)