L¨ohr/Winter Wintersemester 2015/16
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 7¨
Martingale & Stoppzeiten
Aufgabe 7.1 (Deterministische & station¨are Martingale). (4 Punkte) (a) SeiXnintegrierbar und (Xn)n∈Nein deterministischer stochastischer Prozess, das heißt es gibt messbare Funktionen fn:R→ R mitXn+1 =fn(Xn) f.s. Gib eine notwendige und hinreichende Bedingungen an die fn an, unter denen (Xn)n∈N ein Martingal ist.
(b) Sei der stochastische Prozess (Xn)n∈N station¨ar, d.h. (Xn+k)n∈N hat f¨ur alle k ∈ N dieselbe Verteilung hat wie (Xn)n∈N. Ferner seiX1quadratintegrierbar. Zeige: (Xn)n∈N
ist genau dann ein Martingal, wenn es f.s. konstant ist, alsoX1=Xnf.s. f¨ur allen∈N. Hinweis: Benutze: Ist (Xn)n∈N station¨ar, so ist E(Xn2) unabh¨angig von n.
Aufgabe 7.2 (Diskretes stochastisches Integral). (4 Punkte) Sei (Xn)n∈NeinF-Martingal, und (Yn)n∈Nein beschr¨ankter,F-adaptierter Prozess. Definiere Zn:=Pn−1
k=1Yk(Xk+1−Xk).
(a) Zeige, dass (Zn)n∈N einF-Martingal ist.
(b) Sei nun E (Xn+1−Xn)2 Fn
= 1 f.s. BerechneE(Zn) undE(Zn2).
Aufgabe 7.3 (Galton-Watson Prozess). (4 Punkte)
Seien Nn,k,n, k ∈ Nunabh¨angig, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in N0 und E(N1,1)<∞. Wir definieren den Galton-Watson Prozess Z = (Zn)n∈N0 durch
Z0 = 1 und Zn =
Zn−1
X
k=1
Nn,k ∀n∈N.
SeiF = (Fn)n∈N die kanonische Filtration von Z.
Bemerkung: Z ist ein einfaches Populationsmodell, in dem Zn die Gr¨oße der n-ten Generation angibt.Nn,k ist die Anzahl der Nachkommen des k-ten Individuums aus Generation n−1.
(a) Zeige: E(Zn) =E(N1,1)n. (b) Definiere
Zn∗ := Zn
E(Zn). Zeige, dass (Zn∗)n∈N einF-Martingal ist.
Bitte wenden!
Aufgabe 7.4 (Stoppzeiten). (4 Punkte) SeiF = (Ft)t∈I eine Filtration auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P).
(a) Zeige: Ist τ eine F-Stoppzeit, so ist Fτ eine σ-Algebra.
(b) Zeige: IstI abz¨ahlbar, so ist eineI-wertige Zufallsvariableτ genau dann eineF-Stopp- zeit, wenn {τ =t} ∈ Ft f¨ur alle t∈I gilt.
Bemerkung: Auf die Abz¨ahlbarkeit von I kann hier nicht verzichtet werden.
Sei nun I =R+ und τ eineF-Stoppzeit. Wir definieren f¨ur s≥0:
τs := τ∧s, Gs := Fτs und G := (Gs)s≥0. (c) Zeige, dassG eine Filtration ist.
(d) Zeige, dass τ auch eineG-Stoppzeit ist.
Abgabe Mi, 09.12. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 01.12.gibt Alexey Muravlev (Steklov Mathematical Institute, Moscow) einen Vortrag.
Am08.12.gibt Mikhail Zhitlukhin (Steklov Mathematical Institute, Moscow) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung.Di, 16:15 – 17:15in WSC-S-U-3.03
