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=(-2)a =10+(5-1)*(-3) =a +(n-1)*da a1 = 10a =a +dd= (-3)a Folgen und Reihen Finanzmathematik

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Academic year: 2021

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1

Finanzmathematik

Folgen und Reihen

bearbeitet von

Andreas Reinfeld und Sven Gutsche

Andreas Reinfeld Sven Gutsche

2

Aufgabe 1

Wie lautet das 5. Glied einer arithmetischen Folge mit a1=10 und d =(-3)

a1 = 10 a

n+1

=a

n

+d d= (-3) a

n

=a

1

+(n-1)*d a

5

=(-2) a

5

=10+(5-1)*(-3)

a1 a2 a3 a4 a5

d=(-3)

10 -2

unbeschränkt, monoton fallend (d<0), divergent

(2)

Andreas Reinfeld Sven Gutsche

3

Aufgabe 2

Wie lautet das 74. Glied einer arithmetischen Folge mit a1=1 und d=4 ?

a

1

= 1 a

n+1

=a

n

+d

d = 4 a

n

=a

1

+(n-1)*d

a

74

=1+(74-1)*4 a

74

=293

untere Grenze: 1

unbeschränkt, monoton wachsend, divergent

In einer arithmetischer Folge mit dem Anfangsglied 1 (a1)hat das 25. Glied (a25)den Wert 73. Wie groß ist d?

a

n

=a

1

+(n-1)*d d= (a

n

-a

1

)/(n-1)

d= (73-1)/(25-1)

d = 3

(3)

3

Andreas Reinfeld Sven Gutsche

5

Wie viele Glieder hat einen arithmetische Folge mit Anfangsglied a1 = 5, Endglied at = 209 und d = 12 ?

a

n

=a

1

+(n-1)*d (a

t

-a

1

)/d+1=n (209-5)/12+1=18

Andreas Reinfeld Sven Gutsche

6

Bestimmen Sie die Summe einer arithmetischen Reihe mit 10 Gliedern, a1= 2 Endglied a10= 38 !

s

n

=1/2*n*(a

1

+a

n

) d= (a

n

-a

1

)/(n-1) s

n

= n/2*(2a

1

+(n-1)*d) d= (38-2)/(10-1) s

n

= 10/2*(2*2+(10-1)*4) d=4

s

n

=

10 n n 1

a 200

=

∑ =

(4)

Andreas Reinfeld Sven Gutsche

7

Bestimmen Sie die Summe einer arithmetischen Reihe mit a1 = 2, d = 4, und n = 10 ?

s

n

=1/2*n*(a

1

+a

n

) a

n

=2+(10-1)*4 s

n

= n/2*(2a

1

+(n-1)*d) a

n

= 38

s

n

= 10/2*(2*2+(10-1)*4) s

n

=

10 n n 1

a 200

=

∑ =

Welchen Wert hat d in einer arithmetischen Reihe mit a1= 2 und n = 10 und

s

n

= n/2*(2a

1

+(n-1)*d) d=2

10 i i 1

a 110 ?

=

∑

=

n 1

2s 2a

d = n * (n 1) − (n 1)

− −

(5)

5

Andreas Reinfeld Sven Gutsche

9

Gegeben ist eine arithmetische Reihe von 9 Gliedern mit dem Endglied a9= 29, dem konstanten Summanden d = 3 und dem Wert der Summe von 153. Bestimmen Sie das Anfangsglied a1!

s

n

= n/2*(2a

1

+(n-1)*d) a

1

=a

n

-(n-1)*d a

1

=29-(9-1)*3 a

1

= 5

„Kurzform möglich“

n 1

S d

a (n 1) *

n 2

= − −

Andreas Reinfeld Sven Gutsche

10

Gegeben sei die geometrische Folge mit 5 Gliedern , dem Anfangsglied a1 = 5 und dem konstanten Faktor q = 3 . Welchen Wert hat das letzte Glied dieser Folge ?

q=a

n+1

/a

n

Das allgemeine Glied a

n

= f

(n)

der geometrischen Folge ist a

n

= a

1

*q

n-1

a

n

= 5*3

5-1

a

n

=405

monoton wachsend, unbeschränkt, divergent

(6)

Andreas Reinfeld Sven Gutsche

11

Zusammenfassung

arithmetische Folge arithmetische Reihe

a

n

=a

1

+(n-1)*d s

n

= n/2*(2a

1

+(n-1)*d)

geometrische Folge geometrische Reihe

d

q=(a

n+1

)/a

n

S

n

=a

1

*(1-q

n

)/(1-q)

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A A A 1 2 3

Das kann man sich so überlegen: Wir wählen einen von den acht Punkten und nehmen die drei anderen Endpunkte der von diesem Punkt ausgehenden Kanten.. In der Abbil- dung 7 sind die

() 2 a a a a a a a n a a = 2 a + 2 a − a n 2 2 n − 2 n () 15 () n n + 1 ⎛⎝⎞⎠ n n − 1 n − 2 n 1 + 52 F = 2 F + 2 F − F 15 1 a F = = lim = 2 Φ + 2 − 2 − − 1 + = Φ 2 + 2 − n + 12 n n − 12 n − 22 F n = Φ −− , Φ = a a a a a a a n Φ n →∞

Insbesondere kommen die Fibonacci-Folge und die Lucas-Folge

2 1 1 1 1 a a a a ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ = = − , = − + 1 121 1 () () 1 2 = = n a a = + a + a n a a n n + 2 2 a − a a a n − 1 − a n − 2 a a a a a

Die Abbildungen 3 und 4 geben im Vergleich dazu eine Kreisschar, deren Radien im Sinne einer geometrischen Folge abnehmen.. 3: Geometrisch

2 4 12 ()= ()+ ()() a a e e A A A , A , = A , a k k A A = A , = a A 1,..., 1,..., , a n n , A 1 1 1 k 1 k 3 2 4 2 , 1 3 1 3 3 4 a a sin a a sin 2 4 1 2 2 3 4 4

Da es kein Sehnenviereck ist, vergrößert sich sein Flächeninhalt, wenn wir es unter Beibehaltung der Seitenlängen in ein Sehnenviereck bewegen.. Da die grünen Vielecke starr sind,

12 12 a = pa + qa a n = a n − 1 + a n − 2 n n − 1 n − 2

Jedes Folgenglied ist also eine Linearkombination der beiden vorangehenden Folgen- glieder (Walser 2012, S.15).. Der Grenzwert der Folge soll aber von null

a , a , … , a , a m n m m + 1 n − 1 n a a

Diese Festlegung hat eine Pari- tätsunterscheidung zur Folge: Bei einer ungeraden Anzahl von Folgengliedern ist dann das größte Folgenglied in der Mitte und das zweitgrößte

a a a a = = = = 1, a 5 5 a a a + = 5 + a 0, 5 a a − − a a = 1 n − n − + − 1 n 1 2 n n n 0 − 1 n − 1 n 1 n n − + 2 1

Im Folgenden (39) die ersten 11 Folgenglieder a n in allgemeiner Form. Die Spalten sind je mit einem zusätzlichen Versatz nach unten verschoben. Die Zeilensummen

a A 1 0 a A 2 1 a A 3 2 a A 4 a 3 5 A a 4 6 A a 5 7 A a 6 8 A 7 A 8 r () n = 8 a k k A A A A ,..., ... A a Mr ,0 1 0 0 n 0 n n

Wir können „überdrehen“ und nach dem ersten Zusammenfallen von A n mit A 0 den Kreisradius r weiter verkleinern, bis die beiden Punkte ein zweites Mal zusammenfal-