1 a)
Lagrangefunktion:
L = 1
2 m(_r)
2
e(r)+ e
A(r)r_ = X
i=x;y;z 1
2 m(x_
i )
2
e+ e
X
i=x;y;z A
i _ x
i
Furdie Bewegungsgleihung:
d
dt L
x_
i
= d
dt
mx_
i +
e
A
i
=mx
i +
e
X
k=x;y;z A
i
x
k _ x
k
; L
x
i
= e
x
i +
e
X
k=x;y;z _ x
k A
k
x
i
Zusammen )
mx
i
= e
x
i +
e
X
k=x;y;z A
k
x
i
A
i
x
k
!
_ x
k
(1)
Einsetzen: A=A
1
=(0;xB;0); = xE+
0 )
mx = eE + e
By_
my = e
Bx_
mz = 0
) mr=eE 0
B
B
1
0
0 1
C
C
A +
e
B
0
B
B
_ y
_ x
0 1
C
C
A
(2)
Einsetzen: A=A
2
=( yB;0;0); = xE+
0
) wieder Gl.(2)!
Einsetzen: A=A
3
= 1
3 (A
1 +2A
2
); = xE+
0
) wiederGl.(2), denn Gl.(1) istlinear in
den A
i .
Diese Bewegungsgleihungen enthalten die Felder:
E= r= 0
B
B
E
0
0 1
C
C
A
; B =rA
1;2;3
= 0
B
B
0
0
B 1
C
C
A
Eihfreiheit: Diese physikalishe
Aquivalenz vershiedener Vektorpotentiale nennt sih
Eihfreiheit (siehe Theorie C). Imallgemeinen fuhrenzwei Vektorpotentiale A und f
A
mit
f
A=A+r(r) ) B =rA=r f
A
auf dasselbe B-Feld.
Die Bewegungsgleihung ist auh eihunabhangig, denn dort geht (naturlih) nur das
physikalishe B-Feld ein: Man kann sih
uberzeugen, da Gl.(1) geshrieben werden
kann als
mx
i
= e
x
i +
e
[v(rA)℄
i
also mr = eE+ e
vB F
L
Lorentzkraft
b)
FurE =0lauten die Bewegungsgleihungen (2)
x=!
C _
y ; y= !
C _
x ; z=0 mit der Zyklotronfrequenz !
C
= eB
m
(3)
In z-Rihtung: gleihformige Bewegung: z(t)=z
0 +v
0
z t.
In x-y-Ebene:Leite 1.Gl. einmalnah t ab, um rehts y_ zu bekommen. Benutze dazu Geshwin-
digkeiten:
_ v
x
= !
C v
y
_ v
y
= !
C v
x )
v
x
= !
C _ v
y
_ v
y
= !
C v
x 9
>
>
=
>
>
;
) v
x +!
2
C v
x
=0
Harmonisher Oszillator (das
Ublihe ...), allgemeine Losung: v
x
(t)=v
0 os (!
C t+'
0 ).
Aus v
y
= 1
!
C _ v
x
ergibtsihjetzt v
y
= v
0 sin (!
C t+'
0
),und darausx(t);y(t)durhintegrieren:
x(t)=x
0 +
Z
dtv
x
(t), also
x(t) = x
0 +
v
0
!
C sin(!
C t+'
0 )
y(t) = y
0 +
v
0
!
C os(!
C t+'
0 )
z(t) = z
0 +v
0
z t
Die Integrationkonstanten sind x
0
;y
0
;z
0
;v
0
;'
0
;v 0
z
, also 6 Stuk, wie erforderlih (3 DGLs 2.
Ordnung).
Furz =onst: gilt
[x(t) x
0
℄ 2
+[y(t) y
0
℄ 2
=(v
0
=!
C )
2
d.h.,die Bewegunginderx-y-Ebeneverlauftaufeiner KreisbahnumdenMittelpunkt (x
0
;y
0 )mit
dem sog. Zyklotronradius R
= v
0
!
C
= v
0 m
eB .
Fur v 0
z
6= 0 wird dem eine gleihformige Bewegung in z-Rihtung
uberlagert, das Teilhen fuhrt
eine Spiralbahnaus.
)
FurE 6=0lauten die Bewegungsgleihungen (2)
x=
eE
+!
C _
y ; y= !
C _
x ; z=0 mit der Zyklotronfrequenz !
C
= eB
Mit der Substitution y(t)= e
y(t) E
B
t wird daraus
x=!
C
_
e
y E
B
+ eE
m
=!
C _
e
y ;
e
y= !
C _
x ; z=0
also genaudie Gleihungen(3) vonoben. Dieallgemeine Losunglautetalso, nahdem e
y(t) wieder
in y(t) eingesetzt wurde,
x(t) = x
0 +
v
0
!
C sin(!
C t+'
0 )
y(t) = y
0 +
v
0
!
C os(!
C t+'
0 )
E
B t
z(t) = z
0 +v
0
z t
Fur ein E-Feld in x-Rihtung kommt zu der Kreisbewegung in der x-y-Ebene also eine Driftbe-
wegung in y-Rihtung dazu; Halleekt.
2 a)
Bogenlangenelement:
ds= q
(dx) 2
+(dy) 2
; dy = dy
dx
dxy 0
dx ) ds=dx q
1+(y 0
) 2
Energie: E = 1
2 mv
2
+mgh ; h=jy
B
j+y ; y<0.
Energieerhaltung: Bei t=0;x=0;y=0:nur potentiell: E
0
=mgjy
B
j, ) mv 2
= 2mgy,
jvj= q
2gy
Die Rutshzeit vonA nah B lautet damit:
T
AB
= Z
x
B
x
A dx
q
1+(y 0
) 2
p
2gy
, K(y;y 0
)= q
1+(y 0
) 2
p
2gy
b)
Euler{Lagrange-Gleihung, beliebiges K:
d
dx K
y 0
K
y
=0
Herleitung: Mit y(x) = Testfunktion, e
y(x) = Funktion, die K extremalisiert, (x) =
beliebige Funktion (\Storung")mit (x
A
)=(x
B
)=0: y(x)= e
y(x)+"(x).
Suhe Extremum des Funktionals:
dT
AB
d"
= Z
x
B
x
A dx
(
K
y
(x)+ K
y 0
0
(x) )
=0
mit y 0
(x)= e
y 0
(x)+"
0
(x).
Z
x
B
x
A dx
K
y 0
0
(x)= (x) K
y 0
x
B
x
A Z
x
B
x
A dx
d
dx K
y 0
!
(x)
Der Randterm ist 0,da (x) anden Randernvershwinden soll, also
dT
AB
d"
= Z
x
B
x
A dx
(
K
y d
dx K
y 0
)
(x)=0
Dies soll fur beliebige (x) null sein, also mu die geshweifte Klammer null sein !
Euler{Lagrange-Gleihung.
ImFolgenden wird die extremale Bahn e
y(x) auh mit y(x)bezeihnet.
\Erhaltungsgroe": I = K
y 0
y 0
K
Allgemein, beliebiges K:
dI
dx
= d
dx K
y 0
!
y 0
+ K
y 0
y 00
dK
dx
dK
dx
= K
y y
0
+ K
y 0
y 00
Einsetzen )
dI
dx
= d
dx K
y 0
K
y
!
y 0
Die extremale Bahn erfullt die Euler{Lagrange-Gleihung, daher ist fur diese Bahn der obige
Ausdruk =0.
Furdas Rutshenproblem gilt
K
y 0
=
y 0
q
1+(y 0
) 2
p
2gy
und es folgt I =
1
q
1+(y 0
) 2
p
2gy
)
Da I =onst: ist, kann es alsParameter/Konstantefest gewahlt werden, der die Bahn y(x)
harakterisiert; z.B.I =I
B
;dann:
I 2
B
=
1
(1+(y 0
) 2
)( 2gy)
) y
0
dy
dx
= s
+y
y
; = 1
2gI 2
B
Naturlih mu I
B
so gewahlt werden, da stets jyj < gilt. Dies ist der Fall, wenn an die
Randbedingung angepat wird, siehe d).
Losungsansatz: Parameterdarstellung: y()=
2
[1 os ()℄ ; x()=?? ; 0< <
B
Trik:
dy
dx
= dy
d d
dx
; dy
d
=
2
sin () ) dx
d
=
2 sin()
dy
dx
!
1
Mit s
y
+y
= v
u
u
t
1 os()
1+os()
=
1 os ()
sin ()
(Bronstein) folgt dx
d
=
2
[1 os()℄
Einmal integrieren, x() x
A
= Z
0 d
dx
d , x
A
= 0, x() =
2
[ sin ()℄. Da x() > 0
zumindest furkleine gelten sollte,ist das pos.Vorzeihen das rihtige, also:
x() =
2
[ sin ()℄
y() =
2
[1 os ()℄
Diese \Bahn" ist eine Zykloide,
(x
2 )
2
+(y+
2 )
2
=(
2 )
2
d)
Die Rehnung besherte uns2 Konstanten, I
B und
B
,die zuden verbleibendenRandwerten
x
B
;y
B
aquivalent sind:
y
B
x
B
= y(
B )
x(
B )
= os(
B ) 1
B
sin (
B )
= 2
)
B
=
Und: y
B
=
2
[1 os(
B
)℄= = h ) I 2
B
= 1
2gh
Kleine x;y;: sin ()'
3
6
; os()'1
2
2
) x()'
2
3
6
; y()'
2
2
2 ,
y(x)'
4
12x
2=3
