a A 1 0 a A 2 1 a A 3 2 a A 4 a 3 5 A a 4 6 A a 5 7 A a 6 8 A 7 A 8 r () n = 8 a k k A A A A ,..., ... A a Mr ,0 1 0 0 n 0 n n

Hans Walser, [20160527]

Sehnenvieleck 1 Worum geht es?

In (Köchli 2016) wird eine elegante Konstruktion des Sehnenviereckes vorgestellt. Das wirft die Frage nach dem Sehnenvieleck mit beliebiger Eckenzahl auf. Wir besprechen eine MINT-Einschiebelösung.

2 Konstruktion

Zu gegebenen Seitenlängen a₁,...,a_n soll das Sehnen-n-Eck konstruiert werden.

Wir zeichnen einen Kreis k mit Mittelpunkt M r,0

( )

durch den Ursprung. Den Punkt A₀ setzen wir in den Ursprung und tragen die gegebenen Seiten sukzessive auf dem Kreis k ab. So erhalten wir einen Streckenzug A₀...A_n. Die Abbildung 1 zeigt die Situ- ation für n=8.

Abb. 1: Abtragen des Streckenzuges

Nun verändern (verkleinern) wir den Radius r bis der Punkt A_n mit A₀ zusammen- fällt. In der Abbildung 2 sind Ausgangslage, eine Zwischenlage und die Endlage ange- geben, ebenso in blau die Bahnkurven der einzelnen Punkte.

M

A₁

A₂

A₃ A₄

A₅ A₆

A₇ A₈

A₀ a₁

a₂

a₃ a₄ a₅ a₆

a₇ a₈ k

Hans Walser: Sehnenvieleck 2 / 3

Abb. 2: Das Sehnenvieleck

3 Exaktheit

Für Zirkel-und-Lineal-Fetischisten ist dieses Vorgehen natürlich ein Horror. Die Kon- struktion sei nicht „exakt“.

Dem ist zu widersprechen. Mit dem Vorgehen „bis der Punkt A_n mit A₀ zusammen- fällt“ entsteht ein gedanklich exaktes Sehnenvieleck. Dass dieses Zusammenfallen in der Praxis nicht machbar ist, ändert nichts an der Stimmigkeit der Überlegung.

Auch das Zeichnen einer Geraden durch zwei gegebene Punkte mit einem angelegten Lineal (ebenfalls ein Einschiebeverfahren) ist nur gedanklich exakt.

Qualitativ besteht also kein Unterschied zwischen unserem MINT-Verfahren und einem klassischen Zirkel-und-Lineal-Verfahren.

4 Umlaufszahl

Wir können „überdrehen“ und nach dem ersten Zusammenfallen von A_n mit A₀ den Kreisradius r weiter verkleinern, bis die beiden Punkte ein zweites Mal zusammenfal- len (Abb. 3). Es entsteht ein Sehnenvieleck mit der Umlaufszahl 2. Und so weiter.

Hans Walser: Sehnenvieleck 3 / 3

Abb. 3: Umlaufszahlen 1 und 2

5 Fragen

Gibt es ein Sehnenviereck mit der Umlaufszahl 2?

Wann ist bezüglich Umlaufszahl die Zitrone ausgepresst?

Macht es Sinn, von der Umlaufszahl ¹₂ zu reden?

Bei gerader Eckenzahl ist die alternierende Winkelsumme null. Beweis? Ist dies kenn- zeichnend für ein Sehnenvieleck gerader Eckenzahl?

Isoperimetrisches Problem: Zu gegebenen Seitenlängen hat das Sehnenvieleck den größten Flächeninhalt. Beweis?

Was kann über die blauen Bahnkurven (Abb. 2) gesagt werden?

Literatur

Köchli, Willi (2016): Einfache Konstruktion des Sehnenviereckes. VSMP-Bulletin, 131, Mai 2016, S. 22-23.