Aufgabe 1: 20 Punkte

(1)

Klausur-Knz. BW-WST-P11-041120

Datum 20.11.2004

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: — Studienbriefe

Anzahl Aufgaben: - 5 - — HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: - 100 -

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

Notenspiegel

Note ^1,0 ^1,3 ^1,7 ^2,0 ^2,3 ^2,7 ^3,0 ^3,3 ^3,7 ^4,0 ^5,0

(2)

HFH • Hamburger Fern-Hochschule

BW-WST-P11-041120-AUFGABEN Seite 2

Aufgabe 1: 20 Punkte

In nachstehender Tabelle ist Ihnen der Gewinn (in 100 000 €) vor Steuern eines Werbe- büros für die Jahre 1997 bis 2003 gegeben.

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

27 25 24 20 18 11 8

a) Ordnen Sie dem Jahr 1997 die natürliche Zahl 1, dem Jahr 1998 die natürliche Zahl 2, ..., dem Jahr 2003 die natürliche Zahl 7 zu, und betrachten Sie für Ihre weitere Vorgehensweise die Zahlenpaare (1, 27), (2, 25), ..., (7, 8). Es wird die Vermutung geäußert, dass zwischen der natürlichen Zahl xi mit i=1,2,...,7 und dem Gewinn yi in der genannten Einheit ein tendenziell linearer Zusammenhang besteht. Berechnen Sie dazu den linearen Korrelationskoeffizienten r (3 Dezimalstellen), und schließen Sie aus dem Wert von r auf die sinnvolle Verwendbarkeit des unterstellten linearen Modells.

8 Pkte.

b) Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x (genannt Trendgerade). (Hinweis: Falls nötig 2 Dezimalstellen)

6 Pkte.

c) Nennen und interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten. 3 Pkte.

d) Welcher Gewinn (in 100 000 €) vor Steuern ist im Mittel für das Jahr 2004 zu erwar-

ten? 3 Pkte.

Aufgabe 2: 20 Punkte

In folgender Tabelle sind die Bruttomonatslöhne x von Mitarbeitern eines Zuliefererbetrie- bes für die Autoindustrie in € gruppiert aufgeführt.

von xiu bis unter xio fi

1200 − 1600 4

1600 − 2000 12

2000 − 2200 32

2200 − 2400 20

2400 − 2600 8

2600 − 3000 2

3000 − 4000 2

a) Wie viele Mitarbeiter hat der Betrieb? 1 Pkt.

b) Erweitern Sie die Tabelle so, dass Sie das arithmetische Mittel (eine Dezimalstelle), die Varianz (2 Dezimalstellen) und auf 3 Dezimalstellen gerundet die Standardabwei- chung der Bruttomonatslöhne berechnen können.

9 Pkte.

c) Erweitern Sie die obige Tabelle so, dass Sie durch Feinberechnung das erste Quartil, den Median und das dritte Quartil bestimmen können.

7 Pkte.

d) Berechnen Sie aus den in b) und c) gewonnenen Maßzahlen den auf zwei Dezimal- stellen gerundeten Wert des Schiefemaßes nach Pearson. Liegt demnach eine links- oder eine rechtsschiefe Verteilung vor?

3 Pkte.

(3)

Aufgabe 3: 20 Punkte

a) In nachstehender Tabelle sind für eine größere Unternehmung die Umsätze in der Einheit 10 000 € für die Jahre 1996 bis 2003 festgehalten.

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

590 580 525 500 460 450 425 400

a.1) Bestimmen Sie mit Hilfe der gegebenen Umsätze die Messzahlreihe bezogen auf

das Basisjahr 1999. 4 Pkte.

a.2) Berechnen Sie aus den jährlichen Umsatzzahlen die gleitenden Durchschnitte 3.

Ordnung (Ermittlung der glatten Komponente der Zeitreihe) und 4. Ordnung. 5 Pkte.

b) Für eine Firma sind in der Reihe 1 der nachstehenden Tabelle die Gewinnindizes für die Jahre 1995 bis 1999 bezogen auf das Basisjahr 1995 und in der Reihe 2 die Ge- winnindizes derselben Firma für die Jahre 1999 bis 2002 bezogen auf das Basisjahr 1999 festgehalten.

Jahr 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Reihe1 100 110,4 120 136 160

Reihe2 100 102,5 97,5 92

b.1) Verketten Sie die beiden Reihen durch Fortschreibung zu einer Reihe mit dem

Basisjahr 1995. 3 Pkte.

b.2) Verketten Sie die beiden Reihen durch Rückrechnung zu einer Reihe mit dem Basisjahr 1999.

4 Pkte.

c) Gegeben sind nachstehend die Preisindizes für die Jahre 2000 und 2002 mit dem Ba-

sisjahr 1996. 4 Pkte.

2000 2002

112 116,2

Um wieviel Prozent ist der Preisindex von 2002 bezüglich 2000 gestiegen? (Achtung:

Beide Indizes beziehen sich auf das Basisjahr 1996.)

Aufgabe 4: 20 Punkte

Mit einer Abfüllmaschine wird hochkonzentrierter Mangosaft in Packungen abgefüllt. Die eingefüllte Menge x ist erfahrungsgemäß normalverteilt mit dem Mittelwert µ_x=500 (ml) und der Standardabweichung σx=1,2 (ml). Der umfangreichen Produktion wird zufällig eine Packung mit dem Mangosaft entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die eingefüllte Mangosaftmenge

a) wenigstens 497,3 ml? (3 Dezimalstellen) 4 Pkte.

b) höchstens 501,14 ml? (3 Dezimalstellen) 4 Pkte.

c) mindestens 499,1 ml und höchstens 502,1 ml? (3 Dezimalstellen) 4 Pkte.

(4)

BW-WST-P11-041120-AUFGABEN Seite 4

Aufgabe 5: 20 Punkte

Ein Versicherungsmakler hat langjährig die Erfahrung gemacht, dass er bei einem Kun- denbesuch mit 25%-iger Wahrscheinlichkeit erfolgreich zu einem Abschluss kommen wird. An einem bestimmten Tag will er 8 Kunden aufsuchen, die sich in ihrer Entscheidung nicht beeinflussen. Es beschreibe x die Anzahl der erfolgreichen Abschlüsse an diesem bestimmten Tag unter den 8 Versuchen.

a) Wie viele verschiedene Werte kann x annehmen? 1 Pkt.

b) Wie ist die Zufallsvariable x verteilt? Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahr-

scheinlichkeiten notwendigen Parameter. 1,5 Pkte.

c) Bestimmen Sie den Erwartungswert (Mittelwert), die Varianz und die auf 3 Dezimal-

stellen gerundete Standardabweichung. 3 Pkte.

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Versicherungsmakler an dem bestimmten Tag mit 8 Kunden genau einmal erfolgreich zu einem Abschluss kommen? (4 Dezi- malstellen)

3,5 Pkte.

e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Makler an dem bestimmten Tag mit 8 Kunden

genau zweimal erfolgreich sein? (4 Dezimalstellen) 3,5 Pkte.

f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Makler an dem bestimmten Tag höchs-

tens zweimal erfolgreich ist? (4 Dezimalstellen) 5,5 Pkte.

g) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Makler mindestens zweimal an dem be-

stimmten Tag mit 8 Kunden erfolgreich sein? (4 Dezimalstellen) 2 Pkte.

Viel Erfolg!

(5)

Studiengang Betriebswirtschaft

Fach Wirtschaftsstatistik

Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. BW-WST-P11-041120

Datum 20.11.2004

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stossen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen:

Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5–0

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

08.12.2004

an Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine

Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrums- leiter anzuzeigen.

(6)

BW-WST-P11-041120-Korrekturrichtlinie Seite 2

Lösung Aufgabe 1: 20 Punkte

a)

x

i

y

_i

x

_i−

x y

_i−

y (x

_i−

x)

²

(y

_i−

y)

²

(x

_i−

x) (y

⋅ _i −

y)

1 27 -3 8 9 64 −24

2 25 −2 6 4 36 −12

3 24 −1 5 1 25 −5

4 20 0 1 0 1 0

5 18 1 −1 1 1 −1

6 11 2 −8 4 64 −16

7 8 3 −11 9 121 −33

28 133 28 312 −91

x 28 4 7

y 133 19 7

r 91 0,974

28 312

= =

= − ≈ −

⋅

1 Pkt.

Da r sehr nahe an −1 liegt, ist das lineare Modell relativ gut brauchbar. 1 Pkt.

b)

yx

yx yx

b 91 3,25 28

a y b x 19 ( 3,25) 4 32

= − = −

= − ⋅ = − − ⋅ =

2 Pkte.

Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet:

ˆy 32 3,25x

= − ^{2 Pkte.}

c) Der Regressionskoeffizient ist −3,25. Mit der Zunahme der Jahreszahl um 1 ist im Mittel eine Abnahme des Gewinns vor Steuern um 3,25 Einheiten verbunden.

3 Pkte.

d)

2004 8 → y(8) 32 3,25 8 6 ˆ = − ⋅ =

Im Jahr 2004 ist im Mittel ein Gewinn von 6 (in der Einheit 100 000 €) zu erwarten. 3 Pkte.

1,5 P 1 P

1,5 P

(7)

Lösung Aufgabe 2: 20 Punkte

a) Der Betrieb hat 80 Mitarbeiter. 1 Pkt.

b)

u o

i i

von x bis unter x x

_i

f

_i

x f

_{i i}

(x

_i−

x)

²

(x

_i−

x) f

² _i

1200−1600 1400 4 5600 581406,25 2325625

1600−2000 1800 12 21600 131406,25 1576875

2000−2200 2100 32 67200 3906,25 125000

2200−2400 2300 20 46000 18906,25 378125 4 Pkte.

2400−2600 2500 8 20000 113906,25 911250

2600−3000 2800 2 5600 406406,25 812812,5

3000−4000 3500 2 7000 1788906,25 3577812,5

80 173000 9707500

2x

x

173000

x 2162,5

80 9707500

s 121343,75

80 s 348,344

= =

≈

2 Pkte.

1 Pkt.

c)

u o

i i

von x bis unter x f

_i

ci

f

1200−1600 4 4

1600−2000 12 16

2000−2200 32 48

2200−2400 20 68 1 Pkt.

2400−2600 8 76

2600−3000 2 78

3000−4000 2 80

1

2

3

20 16

0,25 80 20 Q 2000 (2200 2000) 2025 48 16

40 16

0,50 80 40 Q 2000 (2200 2000) 2150 48 16

60 48

0,75 80 60 Q 2200 (2400 2200) 2320 68 48

⋅ = → = + − ⋅ − =

−

⋅ = → = + − ⋅ − =

−

⋅ = → = + − ⋅ − =

−

2 Pkte.

(8)

BW-WST-P11-041120-Korrekturrichtlinie Seite 4

Lösung Aufgabe 3: 20 Punkte

1996 1997 1998 1999 2000 2001

590 580 525 500 460 450

a1) 118 116 105 100 92 90 4 Pkte.

a2) gl. Durch. 3. Ord. 565 535 495 470 445 3 Pkte.

gl. Durch. 4. Ord. 532,5 500 471,25 446,25 2 Pkte.

Jahr 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

b1) Reihe1 100 110,4 120 136 160 164 156 147,2 3 Pkte.

b2) Reihe2 62,5 69 75 85 100 102,5 97,5 92 4 Pkte.

c) Ich basiere die beiden Preisindizes auf das Basisjahr 2000 um. Das liefert:

2000 2002

112 116,2

100 103,75

Damit ist der Preis für 2002 bezüglich des Preises für 2000 im Mittel um 3,75%

gestiegen. 4 Pkte.

Lösung Aufgabe 4: 20 Punkte

497,3 500

a) p(x 497,3) p z p(z 2,25)

1,2

0,5 p(0 z 2,25) 0,5 0,488 0,988

≥ = ≥ − = ≥ − =

= + ≤ ≤ ≈ + ≈

 

 

 

4 Pkte.

501,14 500

b) p(x 501,14) p z p(z 0,95) 1,2

0,5 p(0 z 0,95) 0,5 0,329 0,829

≤ = ≤ − = ≤ =

= + ≤ ≤ ≈ + ≈

 

 

 

4 Pkte.

499,1 500 502,1 500

c) p(499,1 x 502,1) p z p( 0,75 z 1,75)

1,2 1,2

p(0 z 0,75) p(0 z 1,75) 0,273 0,460 0,733

− −

≤ ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤ =

= ≤ ≤ + ≤ ≤ ≈ + ≈

 

 

 

4 Pkte.

d) p(x 501) 0 = =

^{2 Pkte.}

2,58 2,58

e) p(500 2,58 x 500 2,58) p z p( 2,15 z 2,15)

1,2 1,2

2 p(0 z 2,15) 2 0,484 0,968

− 

− ≤ ≤ + =  ≤ ≤ = − ≤ ≤ =

= ⋅ ≤ ≤ ≈ ⋅ ≈

4 Pkte.

f) p(Lieferbedingungen nicht erfüllt) ≈ 1 − 0,968 ≈ 0,032. Es werden im Mittel 3,2% der Packungen der Lieferung die Bedingungen nicht erfüllen.

2 Pkte.

(9)

Lösung Aufgabe 5: 20 Punkte

a) x kann 9 verschiedene Werte annehmen, nämlich 0, 1, 2,... , 8. 1 Pkt.

b) x ist binomialverteilt mit den Parametern n=8 und p=0,25, kurz B(8; 0,25)-verteilt. 1,5 Pkte.

x 2x

x

c) E(x) 8 0,25 2 8 0,25 0,75 1,5 1,225

= µ = ⋅ =

σ = ⋅ ⋅ =

σ ≈

1 Pkt.

1 7

d) p(x 1) 8 0,25 0,75 0,2670 1

= =     ⋅ ⋅ ≈

 

3,5 Pkte.

2 6

e) p(x 2) 8 0,25 0,75 0,3115 2

= =     ⋅ ⋅ ≈

 

3,5 Pkte.

0 8

f ) p(x 0) 8 0,25 0,75 0,1001 0

p(x 2) 0,1001 0,2670 0,3115 0,6786

= =     ⋅ ⋅ ≈

 

≤ ≈ + + ≈

3,5 Pkte.

2 Pkte.

Hinweis: Bei einer Zwischenrechnung mit 5 Dezimalstellen erhält man den Wert 0,6785.

g) p(x 2) 1 p(x 1) 1 (0,1001 0,2670) 0,6329 ≥ = − ≤ ≈ − + ≈

^{2 Pkte.}